This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
തിയറം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
തിയറം
Theorem
ഗണിത പ്രക്രിയയിലൂടെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവന. ഓരോ ഗണിതശാഖയിലും തനതായ ചില അടിസ്ഥാന പ്രമാണങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകും. ആ ശാഖയെ നിര്‍ണയിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഈ പ്രസ്താവനകള്‍ തെളിവുകള്‍ ആവശ്യമില്ലാതെതന്നെ അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്. ഇവയെ പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങള്‍ (axioms) എന്നു പറയുന്നു. പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങളില്‍നിന്ന് യുക്തിയുടെ പ്രയോഗത്തിലൂടെ എത്തിച്ചേരാവുന്ന നിഗമനങ്ങള്‍ എന്നും തിയറത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം. ഗണിതം, സാംഖ്യികം തുടങ്ങിയ വിജ്ഞാനമേഖലകളിലാണ് ഈ സംജ്ഞ കൂടുതലായി പ്രചാരത്തിലുള്ളത്.
ബി.സി. 600-200 കാലഘട്ടത്തില്‍ ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞ രാണ് തിയറത്തിന് വ്യക്തമായ ഘടന നിര്‍ദേശിച്ചത്. പ്രായോഗിക ജ്യാമിതിയിലെ വിവിധ നിയമങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഒരു കൂട്ടം പ്രത്യക്ഷപ്രമാണങ്ങളെ അവലംബിച്ച് യുക്തിസഹമായി എത്തിച്ചേരാവുന്ന നിഗമനങ്ങളായി രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഗ്രീക്ക് ഗണിതവിജ്ഞാനിയായ യൂക്ളിഡ് ആണ് (ബി.സി. 3-ാം ശ.). ജ്യാമിതിയുടെ ഈ രീതിയിലുള്ള അവതരണം ഗണിതമേഖലയില്‍ ആകെത്തന്നെ പുതിയ ഒരു പ്രതിപാദനരീതിക്ക് തുടക്കംകുറിച്ചു. അഞ്ച് പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങളെ ആധാരമാക്കി യൂക്ളിഡ് അഞ്ഞൂറോളം തിയറങ്ങള്‍ തന്റെ പ്രാമാണിക ഗ്രന്ഥമായ എലിമെന്റ്സില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചിട്ടുണ്ട്. യൂക്ളിഡിനുശേഷം ജീവിച്ചിരുന്ന ആര്‍ക്കിമിഡിസ്, അപ്പൊളോണിയസ് തുടങ്ങിയവര്‍ നൂറുകണക്കിന് തിയറങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാക്കളാണ്.
ആദ്യ കാലഘട്ടങ്ങളില്‍ പ്രത്യക്ഷപ്രമാണങ്ങളെ സ്വയം തെളിയുന്ന സത്യങ്ങള്‍ ആയിട്ടാണ് കണക്കാക്കിയിരുന്നത്. എന്നാല്‍ പില്ക്കാലത്ത് അവ ഒരു സൈദ്ധാന്തിക ശാഖയ്ക്ക് ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായി ഉണ്ടാകേണ്ട ആശയങ്ങള്‍ എന്ന നിലയില്‍ പരിഗണിക്കപ്പെട്ടു.
സാധാരണ അംഗീകരിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു തിയറത്തിന്റെ ഘടന, ഒരു അനുമാനഭാഗവും ഒരു നിഗമനഭാഗവും ചേര്‍ന്നതാണ്. അനുമാന ഭാഗത്തെ സങ്കല്പനം അഥവാ പരികല്പന (hypothesis) എന്നു പറയും. നിഗമനമായി കൊടുക്കുന്ന വസ്തുതയെ പരികല്പന, പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങള്‍ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായി തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയണം. പ്രായോഗികതലത്തില്‍ തെളിവു നല്കുമ്പോള്‍ പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങള്‍ നേരിട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു പകരം അവ ഉപയോഗിച്ച് നേരത്തേ തെളിയിച്ച തിയറങ്ങള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്താറുണ്ട്.
തിയറത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം താഴെ കൊടുക്കുന്നു. 'ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് കോണുകള്‍ തുല്യമായാല്‍ അവയ്ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും'. ഇവിടെ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് കോണുകള്‍ തുല്യം എന്നത് സങ്കല്പനവും എതിരെയുള്ള രണ്ട് വശങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും എന്നത് നിഗമനവും ആണ്.
ഒരു തിയറത്തെ ആശ്രയിച്ചുനില്ക്കുന്നതും അതില്‍നിന്ന് എളുപ്പത്തില്‍ തെളിയിക്കാവുന്നതുമായ മറ്റൊരു തിയറത്തെ അനുപ്രമേയം (corollary) എന്നു പറയുന്നു. മുഖ്യ തിയറം തെളിയിക്കുന്നതിനാവശ്യമായ ചെറിയ തിയറങ്ങള്‍ക്ക് ലഘുപ്രമേയം (Lemma) എന്നാണ് സംജ്ഞ.
ഒരു തിയറത്തിന്റെ സങ്കല്പനവും നിഗമനവും പരസ്പരം മറിച്ചിട്ടാല്‍ കിട്ടുന്ന പ്രസ്താവനയെ പ്രതിലോമ പ്രമേയം (converse) എന്നു പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് മുകളില്‍ കൊടുത്ത തിയറത്തിന്റെ പ്രതിലോമ പ്രമേയം ഇപ്രകാരമാണ്. 'ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങള്‍ തുല്യമായാല്‍ അവയ്ക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകള്‍ തുല്യമായിരിക്കും'.ഈ പ്രസ്താവനയും ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു തിയറം ആണ്.
ഓരോ തിയറത്തിന്റേയും പ്രതിലോമ പ്രമേയം ഒരു തിയറം ആകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് 'രണ്ട് ത്രികോണങ്ങള്‍ സമഭുജങ്ങള്‍ ആണെങ്കില്‍ അവ സമാനമായിരിക്കും'എന്നത് ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു തിയറം ആണ്. ഇതിന്റെ പ്രതിലോമ പ്രമേയം, 'രണ്ട് ത്രികോണങ്ങള്‍ സമാനമാണെങ്കില്‍ അവ സമഭുജങ്ങള്‍ ആയിരിക്കും' എന്നത് ശരിയായ ഒരു പ്രസ്താവന അല്ല. അതായത് മുന്‍ തിയറത്തിന്റെ പ്രതിലോമ പ്രമേയം ഒരു തിയറം അല്ല.
പ്രധാനപ്പെട്ട ചില തിയറങ്ങള്‍ ചുവടെ ചേര്‍ക്കുന്നു:
1. അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന തിയറം (Fundamental Theorem of Arithmetic) : ഒന്നിനു മുകളിലുള്ള ഓരോ പൂര്‍ണ സംഖ്യയേയും അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായി എഴുതാന്‍ സാധിക്കും. (ഉദാ. 60 = 2 ×2×3×5).
2. പിത്താഗെറസ് തിയറം (Pythagoras theorem) : ഒരു മട്ടത്രികോണത്തില്‍ കര്‍ണത്തിന്റെ വര്‍ഗം മറ്റു രണ്ട് വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.
3. ബീജഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന തിയറം (Fundamental Theorem of Algebra) : ഏതൊരു പരിമേയ ബഹുപദ സമവാക്യത്തിനും ഒരു മൂല്യമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.
4. ഘടകപ്രമേയം (Factor Theorem) : f (x) എന്ന ബഹുപദത്തിന് (x-a) എന്ന ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കില്‍ f (a) = 0 ആയിരിക്കും.
5. ശിഷ്ട പ്രമേയം (Remainder Theorem) : f(x) എന്ന ബഹുപദത്തിനെ (x-a) കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം p(a) എന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും. [p(x) എന്ന ബഹുപദത്തില്‍ x-ന് a എന്ന വില കൊടുത്താല്‍ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആണ് p(a)].
തെളിയിക്കപ്പെടാത്തതും തെളിവു ലഭിക്കാന്‍ സാധ്യതയുണ്ടെന്നു പ്രഖ്യാപിക്കപ്പെടുന്നതുമായ പ്രമേയങ്ങളെ കണ്‍ജെക്ച്ചര്‍ (conjecture) എന്നു പറയുന്നു. തെളിയിക്കപ്പെട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ തിയറം ആയി കണക്കാക്കപ്പെടും. പല കണ്‍ജെക്ച്ചറുകളും കുറേക്കാലം കഴിയുമ്പോള്‍ ശരിയെന്നോ തെറ്റെന്നോ തെളിയിക്കപ്പെടാറുണ്ട്. പല ശാഖകളിലും വളര്‍ച്ചയുടെ ഘട്ടങ്ങളില്‍ ഇത്തരം കണ്‍ജെക്ച്ചറുകള്‍ കാണപ്പെടാറുണ്ട്.
ഉദാഹരണത്തിന് "xn + yn = zn എന്ന സമവാക്യത്തിന് n ≥ 3 ആണെങ്കില്‍ എണ്ണല്‍ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങള്‍ ഇല്ല എന്ന പ്രസ്താവന ഫെര്‍മ (Fermat)യുടെ കണ്‍ജെക്ച്ചര്‍ എന്നാണ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്. ഇത് ശരിയായ ഒരു പ്രസ്താവന ആണെന്ന് ഫെര്‍മ അവകാശപ്പെട്ടിരുന്നു. എന്നാല്‍ നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കുശേഷം 1990-കളിലാണ് ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ് എന്നു തെളിയിക്കപ്പെട്ടത് (Andrew Wiles). അതോടെ ഈ പ്രസ്താവന ഫെര്‍മയുടെ തിയറം ആയി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു.
പ്രത്യക്ഷ പ്രമാണങ്ങള്‍ക്കും തിയറങ്ങള്‍ക്കും പരസ്പരം സ്ഥാനമാറ്റം ഉണ്ടാകുന്ന സാഹചര്യം ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് ഗണസിദ്ധാന്തത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന തിരഞ്ഞെടുക്കല്‍ പ്രമാണം (Axiom of choice), ക്രമീകരണ സിദ്ധാന്തം (Well-ordering principle), സോണിന്റെ ലഘു പ്രമേയം (Zorn's Lemma) തുടങ്ങിയവയില്‍ ഏതു പ്രസ്താവനയും മറ്റൊന്നില്‍ നിന്ന് തെളിയിക്കാവുന്നതാണ്. ഇവയില്‍ ഒന്ന് പ്രത്യക്ഷപ്രമാണമായി സ്വീകരിച്ചാല്‍ മറ്റുള്ളവ തിയറങ്ങള്‍ ആകും.
(ഡോ. എ.ആര്‍. രാജന്‍, സ.പ.)
