This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
കാലശ്രണി വിശ്ലേഷണം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
കാലശ്രണി വിശ്ലേഷണം
Time Series Analysis
സാധനങ്ങളുടെ വില, തൊഴിലാളികളുടെ കൂലി, കാര്‍ഷികവ്യാവസായികോത്‌പന്നങ്ങളുടെ ഉത്‌പാദനം തുടങ്ങി എല്ലാ കാര്യങ്ങളിലുമുള്ള നിരക്കുകളില്‍ കാലക്രമമനുസരിച്ച്‌ വരുന്ന മാറ്റത്തിന്റെ സാംഖ്യികപഠനം. മാറ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കാന്‍ താരതമ്യപഠനം ആവശ്യമാണ്‌. ഒരു പ്രത്യേക സന്ദര്‍ഭത്തിലെ പ്രതീക്ഷയില്‍നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം അനാശാസ്യമായിരിക്കാം. എന്നാല്‍ ഒരു പ്രത്യേക പ്രതിഭാസത്തിന്റെ ലഭ്യമായ സ്ഥിതിവിവരങ്ങള്‍ ആ വിവരങ്ങളുടെ തന്നെ പ്രമുഖ പ്രവണത (central tendency) യില്‍നിന്ന്‌ എത്രമാത്രം വ്യതിചലിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത്‌ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരന്വേഷണമാണ്‌. നിലവിലുള്ള സ്ഥിതിവിവരങ്ങള്‍ സംഗതമായ മുന്‍കാല വിവരങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതുകൊണ്ടു വ്യത്യാസം മനസ്സിലാക്കാമെന്നു മാത്രമല്ല, പ്രയുക്തമായ മാര്‍ഗങ്ങളുടെ പ്രസക്തിയും തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും. ഇപ്രകാരം തിട്ടപ്പെടുത്തിയ ശാസ്‌ത്രീയബോധം പ്രയോജനപ്പെടുത്തി ഭാവിയില്‍ സംഭവിക്കാവുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ ഏറെക്കുറെ ഊഹിച്ചെടുക്കാന്‍ കഴിയും. ഇങ്ങനെ നടത്തുന്ന ദീര്‍ഘദര്‍ശനത്തെ സാംഖ്യിക പ്രവചനം (statistical forecasting) എന്നു പറയുന്നു. സാമ്പത്തിക, വ്യാവസായിക രംഗങ്ങളില്‍ ഇതിനു വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്‌.
ഒരേ പ്രതിഭാസത്തെ സംബന്ധിച്ച സ്ഥിതിവിവരങ്ങള്‍ക്ക്‌ രണ്ടുകാലഘട്ടങ്ങളില്‍ മാറ്റമുണ്ടായിട്ടില്ലെങ്കില്‍ അവ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ആലേഖം, കാലത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ആധാരരേഖയ്‌ക്കു സമാന്തരമായ നേര്‍വരയായിരിക്കും. ആലേഖത്തില്‍ കാണാവുന്ന നിമ്‌നോന്നതങ്ങള്‍ അതതു കാലത്തെ മാറ്റങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആലേഖം മൊത്തത്തില്‍ സമാന്തര പ്രവണതയില്‍നിന്നു മാറി ആധാരരേഖയില്‍നിന്ന്‌ അകലുകയോ അടുക്കുകയോ ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ വര്‍ധിക്കുന്നതിന്റെയോ കുറയുന്നതിന്റെയോ സൂചനയായും ആലേഖത്തിലെ ശിഖരങ്ങളുടെയും ഗര്‍ത്തങ്ങളുടെയും കാലികമായ ആവര്‍ത്തനസ്വഭാവം മറ്റു ചില വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സൂചനയായും കണക്കാക്കാവുന്നതാണ്‌. ഇപ്രകാരമുള്ള വ്യതിയാനങ്ങള്‍ക്കു നിദാനമായ ഓരോ ഘടകത്തിന്റെയും സ്വാധീനം നിര്‍ണയിക്കുകയും പ്രാരംഭിക സ്ഥിതിവിവരത്തെ അതില്‍നിന്നു മുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യാന്‍ കഴിയും. കാലശ്രണി വിശ്ലേഷണത്തില്‍ ഇതാണു സാധിക്കുന്നത്‌.
കാലശ്രണി. കാലനിബന്ധിതമായ ഒരു പ്രതിഭാസത്തെ നിരീക്ഷിക്കുമ്പോള്‍ ലഭ്യമാകുന്ന ഫലങ്ങളുടെ ഗണമാണ്‌ കാലശ്രണി. ഇതിലെ ഓരോ നിരീക്ഷിതമൂല്യവും കാലത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ഇതു വ്യക്തമാക്കുന്നതിനു കാലം t-ല്‍ നിരീക്ഷിക്കപ്പെട്ട മൂല്യത്തെ μ എന്നോ μ(t)എന്നോ സൗകര്യമനുസരിച്ച്‌ സൂചിപ്പിക്കുക പതിവാണ്‌. ശ്രണിയുടെ ലേഖ ലഭിക്കുന്നതിന്‌ മൂല്യങ്ങളെ Y അക്ഷത്തിലും സമയത്തെ X അക്ഷത്തിലും അളന്ന്‌ ബിന്ദുക്കളെ അടയാളപ്പെടുത്തിയതിനുശേഷം ഉത്തരോത്തരബിന്ദുക്കളെ (successive points) അെന്യോന്യം യോജിപ്പിക്കേണ്ടതാകുന്നു. ഈ മേഖലയില്‍ ശിഖരങ്ങളും ഗര്‍ത്തങ്ങളും ഉണ്ടായിരിക്കും. ഈ സ്ഥിതി വിശേഷത്തിനു കാരണം ശ്രണിയില്‍ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വ്യത്യസ്‌ത ഘടകങ്ങളാകുന്നു.
ഘടകങ്ങള്‍. ഒരു കാലശ്രണി സാധാരണയായി നാലു ഘടകങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊണ്ടിരിക്കും. പ്രവണത (trend) അഥവാ ദീര്‍ഘകാലഗതി (long term movement), പ്രവണതയെ ചൂഴ്‌ന്നുനില്‌ക്കുന്ന ദോലനം (oscillation about the trend), ഋതുനിഷ്‌ഠ പ്രഭാവം (seasonal effect), യോദൃച്ഛിക അഥവാ ക്രമരഹിത വ്യതിയാനം (irregular variation) എന്നിവയാണ്‌ ഈ നാലു ഘടകങ്ങള്‍. ഏതു ശ്രണിയിലും ഈ നാലുഘടകങ്ങളും ഉണ്ടായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല. ഈ ഘടകങ്ങളെ വേര്‍തിരിച്ചെടുത്തു പഠിക്കുക എന്നതാണ്‌ കാലശ്രണി വിശ്ലേഷണത്തിന്റെ പ്രഥമോദ്ദേശ്യം. ഇതിനുപുറമേ, ശ്രണിയുടെ ചില സാംഖ്യിക ഗുണധര്‍മങ്ങളെ (statistical properties) പെരിശോധിക്കുക എന്നതും അതിന്റെ പരിധിയില്‍പ്പെടുന്നു.
ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവം. ശ്രണിയുടെ ഘടകങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും എളുപ്പത്തില്‍ മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഒന്നാണ്‌ ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവം. ശ്രണിയില്‍ കണ്ടുവരുന്ന ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളെ (fluctuations) യൊണ്‌ ഇതുകൊണ്ട്‌ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്‌. ഇവ ഒരു ചാക്രിക പ്രഭാവത്താല്‍ ശ്രണിയില്‍ കടന്നുകൂടിയിരിക്കുന്നതായി കാണാം. സാധാരണയായി വാര്‍ഷിക ആവര്‍ത്തനകാലമുള്ള ഒരു പ്രഭാവത്തെയാണ്‌ ഇതുകൊണ്ട്‌ സൂചിപ്പിച്ചുവരുന്നത്‌. എന്നാല്‍ മറ്റ്‌ ആവര്‍ത്തനകാലമുള്ള പ്രഭാവങ്ങളും ഇതിന്റെ പരിധിയില്‍ പെടും.
പ്രവണത. ദീര്‍ഘമായ ഒരു കാലയളവില്‍ ഒരു വ്യൂഹത്തില്‍ (system) ഉണ്ടാകുന്ന സാവധാനത്തിലുള്ളതും വിശാലവുമായ ഒരു ചലനമാണ്‌ പ്രവണത. ഇവിടെ കാലദൈര്‍ഘ്യം ആപേക്ഷികാര്‍ഥത്തില്‍ മനസ്സിലാക്കണം. ഒരു പ്രതിഭാസത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ദീര്‍ഘകാലം മറ്റൊരു പ്രതിഭാസത്തോടു തുലനം ചെയ്‌തുനോക്കുമ്പോള്‍ വളരെ ചുരുങ്ങിയതാണെന്നുവരാം.
ദോലനയാദൃച്ഛിക ഘടകങ്ങള്‍. കാലശ്രണിയില്‍നിന്ന്‌ പ്രവണതയും ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവവും ഒഴിവാക്കിയാല്‍ ഏകദേശം ക്രമസ്വഭാവമുള്ളതും, ശിഖരങ്ങളും ഗര്‍ത്തങ്ങളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതുമായ ഒരു പുതിയ ശ്രണി ലഭ്യമാകുന്നു. ഇതില്‍ ക്രമസ്വഭാവവും യാദൃച്ഛികത്വവും സമ്മേളിച്ചിരിക്കും. ഇതില്‍ ആദ്യത്തേതിനെ ദോലന (oscillation) ഘടകമെന്നും, പ്രത്യേക ക്രമത്തിനു വിധേയമല്ലാത്ത രണ്ടാമത്തേതിനെ യാദൃച്ഛികഘടകം എന്നും പറഞ്ഞുവരുന്നു.
യാദൃച്ഛികത്വത്തെ പരീക്ഷിക്കുന്നതിന്‌ പല ഉപാധികളുമുണ്ട്‌. ശ്രണിയുടെ വഴിത്തിരിവുകള്‍ (turning points) ഉപയോഗിച്ചുള്ളതാണ്‌ അവയില്‍ ഒന്ന്‌. ഏതു വഴിത്തിരിവും ഒരു ശിഖരമോ ഗര്‍ത്തമോ ആയിരിക്കും. ഇവയില്‍ ഓരോന്നും നിര്‍ണയിക്കുന്നതിന്‌ മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ ആവശ്യമാകുന്നു. ഒരു ശിഖരത്തിന്റെയും അതിനുതൊട്ടുള്ള ഗര്‍ത്തത്തിന്റെയും ഇടയ്‌ക്കുള്ള ഇടവേളയ്‌ക്കാണ്‌ പ്രാവസ്ഥ (phase) എന്നുപറഞ്ഞുവരുന്നത്‌.
u1, u2, ............unഎന്ന യാദൃച്ഛികശ്രണിയില്‍ ജ ഇടവേളകള്‍ ഉണ്ടെന്നുസങ്കല്‌പിച്ചാല്‍ അതിന്റെ "പ്രതീക്ഷിതമൂല്യം' (expected value),E (P) = 2/3(n-2)ഉം P യുടെ വ്യതിയാനം, വ്യതി (P)=(16n-29) / 90 ഉം ആയിരിക്കും. ശ്രണിയുടെ ദൈര്‍ഘ്യം, അതായത് nന്റെ മൂല്യം വലുതാവുന്നതിനോടൊപ്പം ജയുടെ വിതരണം "സാധാരണ വിതരണ'(normal distribution)ത്തിലേക്ക്‌ അതിവേഗം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതായി കാണാം. ആകയാല്‍ ശ്രണിയില്‍ വഴിത്തിരിവുകളുടെ സംഖ്യ അറിവായാല്‍, നോര്‍മല്‍ വ്യതിയാന(normal deviation)ത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ അതിന്റെ യാദൃച്ഛികത്വം നിര്‍ണയിക്കാവുന്നതാണ്‌.
പ്രാവസ്ഥകളുടെ പ്രതീക്ഷിത സംഖ്യയുപയോഗിച്ചും ശ്രണിയുടെ യാദൃച്ഛികത്വം പരിശോധിക്കാം.n രാശികളുള്ള ഒരു ശ്രണിയിലെ നീളം d ആയിട്ടുള്ള പ്രാവസ്ഥകളുടെ പ്രതീക്ഷിതസംഖ്യ Nd=2(n-d-2)(d2+3d+1)(d+3) ആകുന്നു. ശ്രണിയില്‍നിന്ന്‌ വ്യത്യസ്‌ത ദൈര്‍ഘ്യങ്ങളുള്ള പ്രാവസ്ഥകളുടെ നിരീക്ഷിതസംഖ്യ നിര്‍ണയിക്കാവുന്നതാണ്‌. ഇവയുടെ പ്രതീക്ഷിതസംഖ്യയും കണക്കാക്കാം. പ്രതീക്ഷിതനിരീക്ഷിത സംഖ്യകളറിഞ്ഞാല്‍ ഖൈവര്‍ഗവിതരണ (χ2-distribution) ത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ശ്രണിയുടെ യാദൃച്ഛികത്വവും നിര്‍ണയിക്കാം.
ശ്രണിയിലെ രാശികളുടെ ഒന്നാം ക്രമവ്യത്യാസ (first difference) ങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചും അതിന്റെ യാദൃച്ഛികത്വം പരിശോധിക്കാം. യാദൃച്ഛികത്വം ശരിയായിരിക്കുമ്പോള്‍, ഒന്നാം ക്രമവ്യത്യാസങ്ങളിലെ ധനരാശികളുടെ സംഖ്യ 1/2(n-1)ഉം വ്യതിയാനം (n+1) / 12ഉം ആയിരിക്കും. കൂടാതെ, അവയുടെ വിതരണം,n ന്റെ മൂല്യം വര്‍ധിക്കുന്നതിനനുസൃതമായി സാധാരണ വിതരണത്തിലേക്കു മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമാണ്‌. ആകയാല്‍ ഒന്നാം ക്രമവ്യത്യാസങ്ങളുടെ സംഖ്യ അറിവായാല്‍ ശ്രണിയുടെ യാദൃച്ഛികത്വം പരിശോധിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്‌. എന്നാല്‍ ശ്രണി "വികല്‌പപരികല്‌പന', സമമിതി ദോലന (symmetrical oscillation) ത്തിനു വിധേയമാണെങ്കില്‍ ഈ പരിശോധന തികച്ചും അപര്യാപ്‌തമായിരിക്കും. "പ്രവണതയില്ല അല്ലെങ്കില്‍ പ്രവണത രേഖീയമാണ്‌' എന്ന വികല്‌പപരികല്‌പന ആയിരിക്കുമ്പോള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിക്കാവുന്ന പരീക്ഷണമാണിത്‌.
ശ്രണിയിലെ ഏതൊരു രാശിക്കും അതിനുശേഷം വരുന്ന ഓരോ രാശിയില്‍നിന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുപയോഗിച്ചും യാദൃച്ഛികത്വപരിശോധന സാധിക്കാം. ഇപ്രകാരത്തിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ സംഖ്യ, ശ്രണിയുടെ വലുപ്പം n ആയിരിക്കുമ്പോള്‍ 1/2n(n-1) ആണ്‌. ശ്രണി യാദൃച്ഛികമായിരുന്നാല്‍, ഇവയിലെ ധനചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണം 1/4n(n-1) ആയിരിക്കും. ആകയാല്‍ ഈ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ നിരീക്ഷിതമായ എണ്ണം അറിവായാല്‍ "ഖൈവര്‍ഗവിതരണ'ത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ശ്രണിയുടെ യാദൃച്ഛികത്വം പരിശോധിക്കാവുന്നതാകുന്നു. "ശ്രണീ സഹബന്‌ധം' (serial correlation) ഉപയോഗിച്ച്‌ യാദൃച്ഛികത്വം പരിശോധിക്കുന്ന രീതിയും ഉണ്ട്‌. ഇതിനായി രാശികളുടെ റാങ്കുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്‌. ഈ റാങ്കുകളുടെ മാധ്യം 1/2(n+1) ആയിരിക്കും. ഈ മാധ്യത്തില്‍നിന്നുള്ള റാങ്കുകളുടെ വ്യതിയാനങ്ങള്‍ d1,d2,......dn ആയിരിക്കുമ്പോള്‍ പിന്‍നില (lag) k ആയിട്ടുള്ള അവയുടെ ശ്രണീസഹബന്ധം
ആകുന്നു. ഒരു യാദൃച്ഛിക ശ്രണിയില്‍ rk യുടെ പ്രതീക്ഷിതമൂല്യം പൂജ്യമായിരിക്കും.
വ്യത്യസ്‌തഘടകങ്ങളുടെ ആകലനം. കാലശ്രണിയുടെ വിവിധ ഘടകങ്ങളെ ആകലനം ചെയ്യുന്ന (estimate) രീതികളാണ്‌ ഇനി വിവരിക്കുന്നത്‌.
ഒരു നീണ്ട കാലയളവിലെ സാവധാനത്തിലുള്ള ഒരു മാറ്റത്തെ കുറിക്കുന്ന പ്രവണതയെ കാലത്തിന്റെ ഒരു ഫലന (function) മായി കണക്കാക്കാവുന്നതാണ്‌. ശ്രണിക്ക്‌ അനുയോജ്യമായ ഈ ഫലനത്തെ നിര്‍ണയിച്ചുകഴ-ിഞ്ഞാല്‍ അതിലെ ചരത്തിന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും സംഗതമായ (corresponding) ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കാം. ഒടുവില്‍ പ്രസ്‌താവിച്ച മൂല്യമായിരിക്കും അതിനു സംഗതമായ കാലത്തെ പ്രവണതമൂല്യം. പ്രവണതമൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്നതിന്‌ മറ്റു മാര്‍ഗങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാം.
പ്രവണതമൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള മാര്‍ഗങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും ലളിതമായതാണ്‌ "പരിശോധന'. ശ്രണിയുടെ ലേഖയുപയോഗിച്ചാണ്‌ ഇതു സാധിക്കുന്നത്‌. ഈ ലേഖയിലെ ശിഖരങ്ങളും ഗര്‍ത്തങ്ങളും ഏകദേശം തുല്യദൂരത്തില്‍ വരുന്ന വിധം ആലേഖനം ചെയ്യുന്ന സതതരേഖ (continuous line) യാണ്‌ പ്രവണതരേഖ. ഈ രേഖയുപയോഗിച്ച്‌ കാലത്തിന്റെ ഏതു മൂല്യത്തിനും സംഗതമായ പ്രവണതമൂല്യം ലേഖയില്‍നിന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം. ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ന്യൂനത അത്‌ തികച്ചും വ്യക്തിനിഷ്‌ഠമാണെന്നുള്ളതാണ്‌.
പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും പ്രവണത നേര്‍രേഖയാകാറുണ്ട്‌. ന്യൂനതമവര്‍ഗവിധി (least square method) ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ അതു നിര്‍ണയിച്ചുവരുന്നത്‌. വാര്‍ഷികമൂല്യങ്ങളുപയോഗിച്ച്‌ ഇപ്രകാരം നിര്‍ണയിച്ച ഒരു പ്രവണതരേഖയില്‍നിന്ന്‌ പ്രതിമാന പ്രവണത കണ്ടുപിടിക്കാവുന്നതാണ്‌.u = a + b x എന്നത്‌ വാര്‍ഷികമൂല്യങ്ങളുപയോഗിച്ചുള്ള പ്രവണതഫലനമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഇതില്‍ മധ്യകാലത്തു നിന്നുള്ള ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ വ്യതിയാനത്തെയാണ്‌ കുറിക്കുന്നത്‌. aയെ 12 കൊണ്ടും bയെ 144 കൊണ്ടും വിഭജിച്ചാല്‍ വാര്‍ഷികബന്ധത്തിനു സംഗതമായ പ്രതിമാസ പ്രവണത ലഭിക്കുന്നതായിരിക്കും. ഇതുശരിയാകുന്നത്‌ ശ്രണിയിലെ കൊല്ലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റയായിരിക്കുമ്പോള്‍ മാത്രമാകുന്നു. ഇതില്‍ മാസങ്ങളുടെ ആധാരം (base) ജൂണ്‍ ആയി എടുക്കുന്നതിനും, സംഗതമായ a യുടെ മൂല്യത്തില്‍നിന്ന്‌ സംഗതമായ bയുടെ മൂല്യത്തിന്റെ പകുതി കുറയ്‌ക്കേണ്ടതാണ്‌; ആധാരം ജൂലായ്‌ ആയിട്ടാണ്‌ എടുക്കേണ്ടതെങ്കില്‍ (കുറയ്‌ക്കുന്നതിനുപകരം) കൂട്ടിയാല്‍ മതിയാകും.
ശ്രണിയിലെ വര്‍ഷങ്ങളുടെ സംഖ്യ ഇരട്ടിയാണെങ്കില്‍ x നെ അര്‍ധവാര്‍ഷിക ഏകകത്തില്‍ അളക്കേണ്ടതാകുന്നു. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ വാര്‍ഷികബന്ധമായ u = a + bx ല്‍ നിന്ന് പ്രതിമാസബന്ധം ലഭിക്കുന്നതിന്‌ മയെ 12 കൊണ്ടും യയെ 72 കൊണ്ടും വിഭജിക്കണം. ആധാരം ജൂണിലേക്കോ ജൂലായിലേക്കോ മാറ്റുന്നതിനുള്ള ക്രമീകരണം മുന്‍പ്രസ്‌താവിച്ചതുപോലെയാകുന്നു.
പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും പ്രവണത നേര്‍രേഖയില്‍ ഒതുങ്ങാതെയും വരാം. ദത്ത (data) ത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്‌, ആവശ്യമാണെങ്കില്‍ ഒരു ബഹുപദമുപയോഗിച്ച്‌ പ്രവണത മൂല്യങ്ങള്‍ ആകലനം ചെയ്യാം. അത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ut = a0 + a1 t + a2t2+......aptp എന്ന സമീകരണമുപയോഗിച്ച്‌ പ്രവണത സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാകുന്നു. ഇതിലെ ഒരു പ്രധാന പ്രശ്‌നം p യുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ നിര്‍ണയിക്കാം എന്നതാണ്‌. p അറിഞ്ഞിരിക്കുമ്പോള്‍ ന്യൂനതമവര്‍ഗവിധിയനുസരിച്ച്‌ a0, a1,.........ap എന്നീ അചര (constant) ങ്ങേളുടെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കാവുന്നതാണ്‌. സാധാരണ സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ pയുടെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും ഈ അചരങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിക്കേണ്ടിവരും. എന്നാല്‍ ലംബികബഹുപദ (perpendicular multinomial) ങ്ങളുടെ സഹായത്തോടുകൂടിയുള്ള ആകലനരീതി ഉപയോഗിച്ചാല്‍ ഈ അസൗകര്യം ഒഴിവാക്കാവുന്നതാകുന്നു.tയുടെ അനുക്രമമൂല്യങ്ങളുടെ ഇടവേളകള്‍ തുല്യമായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഈ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നത്‌ ഒട്ടും ശ്രമകരമല്ല തന്നെ.
ബഹുപദങ്ങളെ കൂടാതെ മറ്റു രീതിയിലുള്ള ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ചും പ്രവണത നിര്‍ണയിക്കേണ്ടിവരും. നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങള്‍ നിശ്ചിതമായ ഒരു അനുപാതത്തില്‍ മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കില്‍ ut = abtഎന്ന ബന്ധമായിരിക്കും അനുയോജ്യം. ലോഗരിതമുപയോഗിച്ച്‌ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാവുന്നതുമാണ്‌. അര്‍ധലോഗരിത പേപ്പറില്‍ രേഖപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളുടെ ലേഖയ്‌ക്ക്‌ മേലോട്ടോ കീഴോട്ടോ ഉള്ള അവതല വക്രത (concave curvature) ഉണ്ടാകുന്നെങ്കില്‍ log ut = log a + t log b + t2 log c എന്ന ബന്ധമായിരിക്കും ഏറ്റവും യോജിക്കുന്നത്‌. ന്യൂനതമവര്‍ഗവിധിയുപയോഗിച്ചുതന്നെ ഇതും നിര്‍ണയിക്കാം. വര്‍ധനസ്വഭാവമുള്ള ചില ശ്രണികളില്‍ കാലം ചെല്ലുംതോറും വര്‍ധനയുടെ തോത്‌ കുറഞ്ഞുവരുന്നതായി കാണാറുണ്ട്‌. ഇത്തരം ശ്രണികള്‍ക്ക്‌ പരിവര്‍ത്തിത ചരഘാതാങ്കവക്രം (modified exponential curve) നന്നായി ചേരുന്നതാകുന്നു. ഗോംപെര്‍ട്‌ വക്രം (Gomperts curve), വൃദ്ധിഘാതവക്രം (logistic curve) മുതലായവയ്‌ക്കും ഇത്തരം പ്രവണതയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന്‌ ഉപയോഗിക്കാം. കുറഞ്ഞുവരുന്ന വര്‍ധനവുള്ള ശ്രണിയെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതിന്‌ ut = a + bt1/2, ut = a + bt1/2 + ct, ut = a+b log t, ut = atb എന്നീ വക്രങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്‌.
കാലംചെല്ലുന്തോറും വര്‍ധനവ്‌ ഒരു സ്ഥിരശതമാനത്തില്‍ കുറഞ്ഞുകൊണ്ടുവരുന്ന ശ്രണിക്കാണ്‌ പരിവര്‍ത്തിത ചരഘാതാങ്കവക്രം കൂടുതല്‍ യോജിക്കുക. ഇതിന്റെ രൂപംut = abt +k എന്നാകുന്നു. ഇതിലെ അചരങ്ങളെ "ഭാഗികസങ്കലനരീതി' (method of partial sum) ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ നിര്‍ണയിക്കുന്നത്‌. ഇതിനായി, ആദ്യംതന്നെ ശ്രണിയിലെ രാശികളെ, കാലക്രമമനുസരിച്ച്‌ പരസ്‌പരാപവര്‍ജിതങ്ങളായ മൂന്നു തുല്യഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.
കാലക്രമമനുസരിച്ച്‌ അധികരിച്ചുവരുന്ന രാശികളുടെ ലോഗരിതത്തിലെ വര്‍ധന ഒരു സ്ഥിരശതമാനത്തില്‍ കുറഞ്ഞുവരുന്ന ശ്രണിക്കു ചേരുന്നതാണ്‌ ഗോംപെര്‍ട്‌ വക്രം. ഇത്തരത്തിലുള്ള ശ്രണികളിലെ യഥാര്‍ഥരാശികള്‍ ആനുപാതികമായി കുറഞ്ഞുവരുന്ന വര്‍ധനയുള്ളവയായിരിക്കും. എന്നാല്‍ കുറവിന്റെ അനുപാതം ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയോ സ്ഥിരശതമാനത്തിലുള്ളതോ ആയിരിക്കയില്ല. ഗോംപെര്‍ട്‌ വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യം ut = kabt എന്നാകുന്നു. ഇതിലെ അചരങ്ങളെയും ഭാഗിക സങ്കലനരീതി ഉപയോഗിച്ച്‌ കണ്ടുപിടിച്ചുവരുന്നു. പക്ഷേ, നിരീക്ഷിത മൂല്യങ്ങളുടെ സങ്കലനഫലത്തിനുപകരം മൂന്നു പരസ്‌പരാപവര്‍ജിക ഗ്രൂപ്പുകളിലെയും നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ സങ്കലനഫലം ഉപയോഗിക്കുക എന്നൊരു വ്യത്യാസം മാത്രം വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്‌.
പേള്‍ റീഡ്‌ (Pearl Reed) വക്രം എന്നുകൂടി പേരുള്ള വൃദ്ധിഘാതവക്രത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതരൂപമാണ്‌ 1/ut = kabt. മേല്‍വിവരിച്ച ഭാഗിക സങ്കലനഫലരീതിയുപയോഗിച്ചാണ്‌ ഇതിലെയും അചരങ്ങളുടെ മൂല്യനിര്‍ണയം ചെയ്യുന്നത്‌; നിരീക്ഷിത മൂല്യങ്ങള്‍ക്കുപകരം അവയുടെ വ്യുത്‌ക്രമങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതാണ്‌ ഏകവ്യത്യാസം. ഈ വക്രത്തിന്‌ പരിവര്‍ത്തിത ചരഘാതാങ്കവക്രവുമായുള്ള ബന്ധം ഒറ്റനോട്ടത്തില്‍ തന്നെ മനസ്സിലാകുന്നതാണ്‌.
ഗതിമാനമാധ്യം. പ്രവണതമൂല്യങ്ങളെ നിര്‍ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സുഗമമായ ഒരു മാര്‍ഗമാണ്‌ ഗതിമാനമാധ്യം (moving average). ന്യൂനതമവര്‍ഗവിധിയുപയോഗിച്ച്‌ ഒരു ബഹുപദത്തെ നിര്‍ണയിക്കുമ്പോള്‍ അതിലെ അചരങ്ങളെ, ഉയര്‍ന്ന ക്രമമുള്ള, ആഘൂര്‍ണ്ണങ്ങളുപയോഗിച്ചാണ്‌ ആകലനം ചെയ്യുന്നത്‌. ഇത്‌ ബഹുപദത്തിന്റെ വിശ്വാസ്യതയെ സാരമായി ബാധിക്കും. കൂടാതെ, ശ്രണിയില്‍ കൂടുതല്‍ രാശികള്‍ വന്നുചേരുമ്പോള്‍ ആകലനപ്രക്രിയയെ ആകെത്തന്നെ ആവര്‍ത്തിക്കേണ്ടതായും വന്നുചേരുന്നു. ഈ ന്യൂനതകള്‍ ഒഴിവാക്കുന്ന ഒരു മാര്‍ഗമാണ്‌ ഗതിമാനമാധ്യം.
ഒരു ശ്രണിയുടെ എല്ലാ രാശികളും ഒരേ ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ നിയമത്തിനു വിധേയമാണ്‌ എന്നുള്ള സങ്കല്‌പത്തെക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ യാഥാര്‍ഥ്യബോധം ഉളവാക്കുന്ന അനുമാനമാണ്‌ അതിന്റെ വ്യത്യസ്‌ത ഭാഗങ്ങള്‍ വ്യത്യസ്‌ത ബഹുപദങ്ങളെ അനുസരിക്കുന്നുവെന്നത്‌. ബഹുപദത്തിന്റെ, അനുക്രമമായ n രാശികള്‍, അവ ശ്രണിയുടെ ഏതുഭാഗത്തായിരുന്നാലും, ഒരു നിശ്ചിത ബഹുപദത്തിലുള്ള പ്രവണതയ്‌ക്കു വിധേയമാണ്‌ എന്നതാണ്‌ ഗതിമാനമാധ്യമാര്‍ഗം സ്വീകരിക്കുന്നതിലെ അടിസ്ഥാനാനുമാനം. അനുക്രമമായ n ബഹുപദങ്ങളുപയോഗിച്ച്‌ നിര്‍ണയിക്കാവുന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ഏറ്റവും കൂടിയ ഘാതം p<=n-1 ആണ്‌.n = 2m + 1 എന്ന്‌ അനുമാനിച്ചാല്‍, അനുക്രമമായ2 m + 1 രാശികളുടെ ക്രമങ്ങള്‍ -m, -(m-1),.......,-1, 0, 1,.... (m-1), m എന്ന്‌ സാമാന്യമായി അനുമാനിക്കാം. ഈ രാശികള്‍ക്കു യോജിച്ച ബഹുപദം:
ut = a0 + a1 t + a2t2+......aptp എന്ന്‌ എടുക്കുന്നതായാല്‍, ന്യൂനതമവര്‍ഗ വിധിയനുസരിച്ച്‌, a0, a1,......, ap എന്നിവ നിര്‍ണയിക്കാവുന്നതാണ്‌.
ഗതിമാനമാധ്യമുപയോഗിച്ച്‌ പ്രവണത നിര്‍ണയിക്കുന്നതിന്‌,m ന്റെ മൂല്യം വര്‍ധിക്കുമ്പോള്‍, സമവാക്യത്തിലെ രാശികള്‍ക്ക്‌ വലുപ്പക്കൂടുതല്‍ കൊണ്ട്‌ പ്രയാസം നേരിടുന്നു. ഈ അസൗകര്യം ഒഴിവാക്കുന്നതിന്‌ ആദ്യം തുല്യഭാരമുള്ള ഗതിമാനമാധ്യം എടുക്കുകയും, ഇവ രാശികളായി അതേ ഗതിമാനമാധ്യം വീണ്ടും എടുക്കുകയും, ആവശ്യാനുസരണം, ഈ രീതി പലവട്ടം ആവര്‍ത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ രീതിയും, ബഹുപദത്തെ ആസ്‌പദമാക്കിയുള്ള ഗതിമാനമാധ്യമമാര്‍ഗവും ഒന്നല്ല. എന്നാല്‍ ഇവ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇവ തമ്മിലുള്ള ഏകദേശ ബന്ധമുപയോഗിച്ചാണ്‌ സ്‌പെന്‍സറുടെ 15 രാശിസമവാക്യവും 21 രാശി സമവാക്യവും രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്‌. ഇവ രണ്ടിലും ത്രിഘാതഫലന (three dimensional function)ത്തെയാണ്‌ സങ്കല്‌പിച്ചിരിക്കുന്നത്‌.
ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവം. ഇതൊരു വാര്‍ഷിക പ്രതിഭാസമാണ്‌. വാര്‍ഷിക നിരീക്ഷിത മൂല്യങ്ങളില്‍നിന്നുമാത്രം ഇതിനെ ആകലനം ചെയ്യാന്‍ സാധിക്കുന്നതല്ല. പ്രതിമാസ നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളോ, ഈരണ്ടോ മുമ്മൂന്നോ മാസം കൂടുമ്പോഴുള്ള നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളോ ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ ആകലനം ചെയ്യുന്നത്‌. പ്രതിമാസ നിരീക്ഷണങ്ങളെ ആസ്‌പദമാക്കിയുള്ള രീതിയാണ്‌ ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്‌. ഈ ആകലനരീതി മറ്റു തരത്തിലുള്ള സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാമെന്നതിനാല്‍ സാമാന്യസ്വഭാവം നഷ്‌ടപ്പെടുന്നില്ല.
സാധാരണരീതി. ഈ രീതിയനുസരിച്ച്‌ ആദ്യംതന്നെ ഓരോ മാസത്തെയും ശരാശരിമൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്നു. ഈ പന്ത്രണ്ടുരാശികളുടെയും മധ്യത്തിന്റെ ശതമാനമായി ഓരോ മാസത്തെയും ശരാശരികളെ നിര്‍ണയിക്കുന്നു. ഈ ശതമാനങ്ങളാണ്‌ ഋതുനിഷ്‌ഠ പ്രഭാവസൂചകങ്ങള്‍ (indices) ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവമില്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍ ഓരോ സൂചകത്തിന്റെയും മൂല്യം 100 ആയിരിക്കും.
ശ്രണിയില്‍ പ്രവണത ഇല്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍ മാത്രമേ ഈ രീതി സ്വീകരിക്കാവൂ.
ഒരു വാര്‍ഷികമൂല്യവും, ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവവും യാദൃച്ഛികചരവും ഉള്‍ക്കൊണ്ട്‌ u(tq)=yt sq+E എന്ന ബന്ധത്തെ അനുസരിക്കുന്നതാണ്‌ ശ്രണിയെങ്കില്‍, ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവം നിര്‍ണയിക്കുന്നത്‌ മേല്‍ പ്രസ്‌താവിച്ച രീതിയില്‍ ഒരു ചെറിയമാറ്റം വരുത്തിയായിരിക്കും. ഓരോ വര്‍ഷത്തെയും പ്രതിമാസമൂല്യങ്ങളെ സംഗതവര്‍ഷത്തെ പ്രതിമാസമാധ്യത്തിന്റെ ശതമാനമായി കണക്കാക്കി ഓരോ വര്‍ഷത്തെയും മാസംതോറുമുള്ള ശരാശരികള്‍ക്കുപകരം എടുക്കുകയാണ്‌ ഇതില്‍ ചെയ്യുന്നത്‌.
സൗകര്യത്തിനുവേണ്ടി, കാലശ്രണിയെ അതിന്റെ നാലുഘടകങ്ങളുടെയും ഗുണനഫലമായി കണക്കാക്കാം. അത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ നിരീക്ഷിതമൂല്യത്തെ സംഗതമായ പ്രവണതമൂല്യംകൊണ്ട്‌ വിഭജിക്കുമ്പോള്‍ ഭാഗഫലം മറ്റുമൂന്നു ഘടകങ്ങളുടെയും മാത്രം ഗുണനഫലം ആയിരിക്കും. എന്നാല്‍ 12 മാസ ഗതിമാനമാധ്യം പ്രവണതയുടെയും ദോലനത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം ആയിരിക്കുന്നതിനാല്‍ ഇവകൊണ്ട്‌ സംഗതമായ നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളെ വിഭജിച്ചാല്‍ ഭാഗഫലം ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവത്തിന്റെയും യാദൃച്ഛിക ഘടകത്തിന്റെയും മാത്രം ഗുണനഫലമായിരിക്കും.
മേല്‍പ്രസ്‌താവിച്ച സമീപനമനുസരിച്ച്‌ ഋതുപ്രഭാവം ആകലനം ചെയ്യുന്നതിനുവേണ്ടി ആദ്യംതന്നെ 12 മാസഗതിമാനമാധ്യങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിച്ചതിനുശേഷം മറ്റൊരു ഗതിമാനമാധ്യത്തിലൂടെ അവയെ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. അതിനുശേഷം ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ ശതമാനമായി അതതുമാസത്തെ നിരീക്ഷിതമൂല്യത്തെ മാറ്റുന്നു. അങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഓരോ മാസത്തിനും, സംഗതമായി, അപ്രകാരത്തിലുള്ള ഒന്നിലധികം ശതമാനങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഒരു മാസത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ട ശതമാനങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ വലിയ അന്തരമില്ലാതിരിക്കുകയും, ഈ പ്രവണത എല്ലാ മാസങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചും ശരിയായിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍, ഓരോ മാസത്തെയും ശതമാനങ്ങളുടെ ശരാശരി മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കണം. ഇവ ഓരോന്നിനെയും അവയുടെ മാധ്യത്തിന്റെ ശതമാനമായി കണക്കാക്കുമ്പോള്‍ ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവങ്ങളെ കുറിക്കുന്ന സൂചകങ്ങള്‍ ലഭിക്കുന്നു.
ഒരു മാസത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ട ശരാശരികള്‍ തമ്മില്‍ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുണ്ടെങ്കില്‍ ശരാശരിക്കുപകരം അവയുടെ മാധ്യം എടുക്കുന്നതാണ്‌ ഉത്തമം. ഏറ്റവും കൂടിയതും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതുമായ ചില ശരാശരികളെ നീക്കി ബാക്കിയുള്ളവയുടെ ശരാശരി എടുക്കുകയാണ്‌ മറ്റൊരു പോംവഴി.
ദോലനം. കാലശ്രണിയിലെ രാശികള്‍ ഓരോന്നിനെയും സംഗത പ്രവണതമൂല്യംകൊണ്ടും ഋതുനിഷ്‌ഠസൂചകംകൊണ്ടും വിഭജിച്ചാല്‍ ഭാഗഫലം ദോലന യാദൃച്ഛികങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം ആയിരിക്കും. ഓരോ വിഭജനവേളയിലും ഭാഗഫലത്തെ ശതമാനരൂപത്തില്‍ ആക്കേണ്ടതാകുന്നു. ദോലന യാദൃച്ഛികങ്ങളുടെ സമ്മിളിതരൂപത്തില്‍ നിന്ന് ദോലനത്തെ വേര്‍തിരിച്ചെടുക്കുന്നതിന്‌ അനുയോജ്യമായ ഗതിമാനമാധ്യം ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. മൂന്ന്‌ അംഗങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഗതിമാനമാധ്യം, സാധാരണയായി, ഫലപ്രദമായികാണാറുണ്ട്‌. ഇപ്രകാരം ലഭ്യമായ രാശികളെ അവയുടെ മാധ്യത്തില്‍നിന്നുള്ള വ്യതിയാനമായും പ്രദര്‍ശിപ്പിച്ചുവരുന്നു.
ദോലനത്തെ ആകലനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു മാര്‍ഗം, ഓരോ മാസത്തെ നിരീക്ഷിതമൂല്യത്തെയും അതേമാസത്തില്‍ തൊട്ടുമുമ്പത്തെ വര്‍ഷത്തില്‍ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യത്തിന്റെ ശതമാനമായി കാണിക്കുക എന്നതാണ്‌. ഈ രീതി, ഒരളവോളം, പ്രവണതയെയും ഋതുനിഷ്‌ഠപ്രഭാവത്തെയും നിര്‍മാര്‍ജനം ചെയ്യുന്നതിനു സഹായിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ ഈ ശതമാനത്തില്‍ പ്രവണതയുടെ അംശം അവശേഷിക്കാറുണ്ട്‌. ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ മറ്റൊരു രൂപവും ദോലനത്തെ ആകലനം ചെയ്യുന്നതിന്‌ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. അതില്‍ ഓരോ മാസത്തെയും നിരീക്ഷിതമൂല്യത്തെ അതേമാസത്തില്‍ അതിനു തൊട്ടുമുമ്പുള്ള വര്‍ഷംവരെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ മാധ്യത്തിന്റെ ശതമാനമായി പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കുന്നു.
ദോലനം ക്രമമായതും ഒരേ ആയാമത്തോടുകൂടിയതുമായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഒരു "സൈന്‍കൊസൈന്‍വക്ര'മോ അതുപോലുള്ള മറ്റേതെങ്കിലും വക്രമോ അംഗീകരിച്ചാണ്‌ ദോലനത്തെ ആകലനം ചെയ്യുന്നത്‌.
യാദൃച്ഛികഘടകം. ദോലനയാദൃച്ഛിക ശ്രണിയിലെ ഓരോ രാശിയെയും സംഗത ദോലനത്തിന്റെ ശതമാനമാക്കി കാണിക്കുമ്പോള്‍ യാദൃച്ഛികഘടകം ലഭ്യമാകുന്നു. ഈ ഓരോ രാശിയെയും അവയുടെയെല്ലാം മാധ്യത്തില്‍നിന്നുള്ള വ്യതിയാനമായും കാണിക്കാറുണ്ട്‌. സാമ്പത്തികശാസ്‌ത്രം, കാലാവസ്ഥാവിജ്ഞാനം തുടങ്ങിയ ശാസ്‌ത്രശാഖകളില്‍ കാലശ്രണിവിശ്ലേഷണം പ്രയോജനപ്പെടുത്തിവരുന്നു.
(ഡോ. പി.യു. സുരേന്ദ്രന്‍)
