This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യ
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യ
Cardinal Number
തുല്യമാന ഗണങ്ങ(equivalent sets)ളുടെ അംഗസംഖ്യ നിര്‍ദേശിക്കുന്ന സൂചകാങ്കം. കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യ സാന്തമോ അനന്തമോ ആകാം. സാന്തഗണ(finite set)ത്തിന്റെ അംഗസംഖ്യ അതിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്‌. അനന്തഗണങ്ങളുടെ തുല്യമാനം എന്ന ആശയം നിര്‍വചിച്ചത്‌ ജര്‍മന്‍ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞനായ ജോര്‍ജ്‌ കാന്റോര്‍ (1845-1918) ആണ്‌. അനന്തഗണങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം ഒരേ അംഗസംഖ്യയല്ല. അനന്തങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ മാനഭേദങ്ങളുണ്ട്‌.
A,B എന്നീ ഗണങ്ങളിലെ അംഗങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ ഏകൈകസാംഗത്യം (one-to-one correspondence) ഉണ്ടെങ്കില്‍ ഗണങ്ങള്‍ തുല്യമാനമാണെന്ന്‌ പറയുന്നു. തുല്യമാന ഗണങ്ങളെ കുറിക്കാന്‍ A ~B എന്ന പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിമിതമായി അംഗങ്ങളുള്ള ഗണങ്ങളുടെ തുല്യമാനം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്‌; അതായത്‌ ഒരേ അംഗസംഖ്യയുള്ള രണ്ടു സാന്തഗണങ്ങള്‍ (finite sets)ലെ തുല്യമാനങ്ങളാണ്‌. ഉദാ. {a, b, c} ~ {6, 10, 20} സാന്തഗണത്തിലെ അംഗസംഖ്യ എണ്ണി കണക്കുകൂട്ടുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ അതിലെ അംഗങ്ങളും 1, 2, 3, .....}എന്ന പൂര്‍ണസംഖ്യാഗണത്തിലെ (നിസര്‍ഗസംഖ്യാഗണത്തിലെ) അംഗങ്ങളും തമ്മില്‍ ഏകൈകസാംഗത്യം ഉറപ്പിക്കുന്നു എന്നു വ്യക്തമാണ്‌. രണ്ടു തുല്യമാനഗണങ്ങളുടെ അംഗസംഖ്യയാണ്‌ അവയുടെ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യ. ധനാത്മക സംഖ്യകള്‍ സാന്തമായ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകളാണ്‌ (finite cardinal numbers).
അനന്തഗണങ്ങളുടെ തുല്യമാനം പരിശോധിക്കാനായി നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ ഗണം N 1, 2, 3, ....}, ധ്രനാത്മകമായ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഗണം 2, 4, 6,....}എന്നിവ പരിശോധിക്കുക.
മുകളിലത്തെ വരിയിലുള്ള ഓരോ സംഖ്യയെയും തൊട്ടുതാഴെയുള്ള ഇരട്ടസംഖ്യയെയും തമ്മില്‍ പരസ്‌പരം ബന്ധപ്പെടുത്താവുന്നതുകൊണ്ട്‌ ഗണങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ ഏകൈകസാംഗത്യം ഉണ്ടെന്ന്‌ വ്യക്തമാണ്‌. അതുകൊണ്ട്‌ ഈ ഗണങ്ങളെ ഒരേ അംഗസംഖ്യയുള്ളവയായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്‌; അതായത്‌ രണ്ടു ഗണങ്ങളും സംഖ്യാത്മകമായി തുല്യമാനങ്ങളാണ്‌ (numerically equivalent). നിസര്‍ഗസംഖ്യാഗണം N നോട്‌ സംഖ്യാത്മകമായി തുല്യമാനമായ അനന്തഗണം ഗണനീയമായി അനന്തം (countably infinite) ആണെന്നു പറയുന്നു. ധനാത്മക പരിമേയസംഖ്യകളുടെ ഗണം (set of positive rational numbers) ഗണനീയമാണെന്ന്‌ കാന്റോര്‍ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്‌.
അനന്തമായ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യയെ കുറിക്കാന്‍ ഹീബ്രു അക്ഷരമാലയിലെ ആദ്യക്ഷരമായ N (അലൈഫ്‌) പൂജ്യവും ചേര്‍ത്ത്‌, No ("അലെഫ്‌ നള്‍' എന്നു വായിക്കുക) എന്ന പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണനീയ അനന്തഗണത്തിന്റെ അംഗസംഖ്യ No ആണ്‌. ഇതുവരെ പരിശോധിച്ച കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകള്‍ 1, 2, 3..... No ആണ്‌. m, n ഏതെങ്കിലും രണ്ടു കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ 'm ചെറുത് n(m<n)' എന്ന ആശയം ഇങ്ങനെ നിര്‍വചിക്കാം: x, y ഗണങ്ങളില്‍ അംഗസംഖ്യ യഥാക്രമം m, n ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍,
(i) x ല്‍ നിന്ന് yലേക്കും (x into y) ഏകൈകസാംഗത്യം ഉണ്ടായിരിക്കണം.
(ii)x ല്‍ നിന്ന് yലേക്ക്‌ പൂര്‍ണമായി (x into y) ഏകൈകസാംഗത്യം ഉണ്ടായിരിക്കരുത്‌.
ഈ നിര്‍വചനം അനുസരിച്ച്‌ 1<2<3 <.......No ആണെന്നു കാണാവുന്നതാണ്‌. എല്ലാ അനന്തഗണങ്ങളും ഗണനീയമല്ല. ഉദാഹരണമായി വാസ്‌തവിക സംഖ്യകളുടെ അനന്തഗണം (R) ഗണനീയമല്ല (uncountable). Rലെ അംഗസംഖ്യ കുറിക്കാന്‍ c എന്ന പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കുന്നു. വാസ്‌തവിക സംഖ്യാഗണത്തിന്റെയോ അതിനു തുല്യമാനമായ ഏതെങ്കിലും ഗണത്തിന്റെയോ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യയാണ്‌ c. അപ്പോള്‍ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകളെ കുറിക്കുന്ന ക്രമബന്ധം 1<2<3......< No <c എന്നെഴുതാവുന്നതാണ്‌. ആദ്യത്തെ അനന്തമായ കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യ No ആണ്‌. No ഉം cഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം 2No = c ആണെന്ന്‌ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്‌.
കണ്ടിന്യൂവം പരികല്‌പന (Continuum hypothesis). ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തില്‍ നിര്‍ധാരണമില്ലാത്ത ഒരു പ്രശ്‌നമാണ്‌ ഇന്നും No ക്കും c ഇടയ്‌ക്ക്‌ ഒരു കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യയുണ്ടോ എന്നത്‌. ഇല്ലെന്നാണ്‌ കാന്റോറുടെ അഭിപ്രായം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ അനന്തകാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകളില്‍ No കഴിഞ്ഞാല്‍ അടുത്തത്‌ c ആണ്‌. കണ്ടിന്യൂവം പരികല്‌പന എന്ന പേരില്‍ ഇത്‌ അറിയപ്പെടുന്നു. കാര്‍ഡിനല്‍ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച്‌ ഒരു അങ്കഗണിതം (Arithematic) തന്നെ വികസിച്ച്‌ വന്നിട്ടുണ്ട്‌. ഗണസിദ്ധാന്തത്തില്‍ ഈ ശാഖ ഗണ്യമായി പഠനത്തിനു വിധേയമായിട്ടുണ്ട്‌. നോ. ഗണസിദ്ധാന്തം
(പ്രാഫ. കെ.എസ്‌.വി. ഷേണായ്‌; പ്രാഫ. കെ. ജയചന്ദ്രന്‍)
