This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
| വരി 3: | വരി 3: | ||
Binomial theorem | Binomial theorem | ||
| - | ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ബീജീയ സര്‍വസമവാക്യം. ഒരു ദ്വിപദ(binomial)ത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തിനുള്ള നിയമമാണ് ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം. ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം (binomial formula) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതം, ഭൗതികം, സാംഖ്യികം എന്നീ വിജ്ഞാനശാഖകളുടെ വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുനിയമം ആവിഷ്കരിച്ചത് (1676) ഐസക് ന്യൂട്ടനാണ്; ആദ്യമായി തെളിയിച്ചത് ജേക്കബ് ബര്‍ണോളിയും. | + | ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ബീജീയ സര്‍വസമവാക്യം. ഒരു ദ്വിപദ(binomial)ത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തിനുള്ള നിയമമാണ് ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം.[[Image:1993Sir Isaac Newton (1642-1727).jpg|175px|left|thumb|ഐസക് ന്യൂട്ടണ്‍]] ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം (binomial formula) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതം, ഭൗതികം, സാംഖ്യികം എന്നീ വിജ്ഞാനശാഖകളുടെ വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുനിയമം ആവിഷ്കരിച്ചത് (1676) ഐസക് ന്യൂട്ടനാണ്; ആദ്യമായി തെളിയിച്ചത് ജേക്കബ് ബര്‍ണോളിയും. |
രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ. | രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ. | ||
| വരി 14: | വരി 14: | ||
+........+b<sup>n</sup> | +........+b<sup>n</sup> | ||
| - | + | [[Image:1993jacob bernoulli. -New.jpg|175px|left|thumb|ജേക്കബ് ബര്‍ണോളി]] | |
ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ <sub>n</sub>C<sub>r</sub> ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു. | ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ <sub>n</sub>C<sub>r</sub> ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു. | ||
ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.<sub>n</sub>C<sub>r</sub>എന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ് | ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.<sub>n</sub>C<sub>r</sub>എന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ് | ||
| + | [[Image:p606a2.png]] | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. | ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. | ||
| വരി 45: | വരി 43: | ||
ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്. | ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്. | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
അനുയോജ്യമായ വ്യവസ്ഥകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, n ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിലും ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം ആവിഷ്കരിക്കാവുന്നതാണ്. n ഭിന്നസംഖ്യയോ ഋണസംഖ്യയോ ആയാല്‍ പ്പോലും ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിനും വിപുലീകരണം നല്കാമെന്നും ന്യൂട്ടണ്‍ കണ്ടെത്തി. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഈ സാമാന്യവത്കരണത്തിലൂടെ അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു വിപുലീ | അനുയോജ്യമായ വ്യവസ്ഥകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, n ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിലും ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം ആവിഷ്കരിക്കാവുന്നതാണ്. n ഭിന്നസംഖ്യയോ ഋണസംഖ്യയോ ആയാല്‍ പ്പോലും ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിനും വിപുലീകരണം നല്കാമെന്നും ന്യൂട്ടണ്‍ കണ്ടെത്തി. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഈ സാമാന്യവത്കരണത്തിലൂടെ അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു വിപുലീ | ||
കരണമാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ന്യൂട്ടണ്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഈ ശ്രേണി ദ്വിപദ ശ്രേണി (binomial series) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. | കരണമാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ന്യൂട്ടണ്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഈ ശ്രേണി ദ്വിപദ ശ്രേണി (binomial series) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. | ||
12:17, 17 മാര്‍ച്ച് 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം
Binomial theorem
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ബീജീയ സര്‍വസമവാക്യം. ഒരു ദ്വിപദ(binomial)ത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തിനുള്ള നിയമമാണ് ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം..jpg)
രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ.
(a+b)n=an+ nC1an-1b +nC2an-2b2 +..........+ nCran-rbr +........+bn
ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ nCr ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു.
ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.nCrഎന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ്
ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു.
n = 0, 1
n = 1, 1 1
n = 2, 1 2 1
n = 3, 1 3 3 1
n = 4, 1 4 6 4 1
n = 5, 1 5 10 10 5 1
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്.
അനുയോജ്യമായ വ്യവസ്ഥകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, n ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിലും ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം ആവിഷ്കരിക്കാവുന്നതാണ്. n ഭിന്നസംഖ്യയോ ഋണസംഖ്യയോ ആയാല്‍ പ്പോലും ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിനും വിപുലീകരണം നല്കാമെന്നും ന്യൂട്ടണ്‍ കണ്ടെത്തി. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഈ സാമാന്യവത്കരണത്തിലൂടെ അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു വിപുലീ കരണമാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ന്യൂട്ടണ്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഈ ശ്രേണി ദ്വിപദ ശ്രേണി (binomial series) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. (x+y)n=xn+ nC1xn-1y+ nC2xn-2y2+ ........
ഈയിനം ശ്രേണികളുടെ കേന്ദ്ര അഭിസരക സ്വഭാവത്തെ നോര്‍വീജിയന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ നീല്‍സ് ഹെന്റിക് ഏബല്‍ (Neils Hentrik Abel : 1802-29) ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിലൂടെ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. വിപുലീകരണത്തില്‍ ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ ഗണം രൂപം കൊടുക്കുന്ന വിതരണങ്ങള്‍ (distributions) സാംഖ്യിക മേഖലയില്‍ പ്രത്യേകിച്ച് സംഭാവ്യതാ സിദ്ധാന്ത(Probability theory)ത്തില്‍ അടിസ്ഥാനപരമായ പങ്കു വഹിക്കുന്നു.
