This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ത്രൈരാശിക നിയമം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(New page: ത്രൈരാശിക നിയമം ഞൌഹല ീള വൃേലല അംശബന്ധത്തിന്റെ തുല്യമാനം അഥവാ അനുപാത...) |
|||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
ത്രൈരാശിക നിയമം | ത്രൈരാശിക നിയമം | ||
| - | + | Rule of three | |
അംശബന്ധത്തിന്റെ തുല്യമാനം അഥവാ അനുപാതമൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന നിയമം. സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്രവ്യവഹാരങ്ങളില്‍ അനുപാത നിയമം എന്ന പദമാണ് ത്രൈരാശികത്തിനുപയോഗിക്കുന്നത്. ഒരു അനുപാതത്തിലെ രാശികളില്‍ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് രാശികളുടെ വില അറിഞ്ഞിരുന്നാല്‍ നാലാമത്തേത് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമാണിത്. അതിനാലായിരിക്കാം ഇതിന് ത്രൈരാശികം എന്ന പേര് വന്നത്. പ്രാചീന ഭാരതത്തിലാണ് ത്രൈരാശികം എന്ന പേരില്‍ ഈ നിയമം അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്. | അംശബന്ധത്തിന്റെ തുല്യമാനം അഥവാ അനുപാതമൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന നിയമം. സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്രവ്യവഹാരങ്ങളില്‍ അനുപാത നിയമം എന്ന പദമാണ് ത്രൈരാശികത്തിനുപയോഗിക്കുന്നത്. ഒരു അനുപാതത്തിലെ രാശികളില്‍ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് രാശികളുടെ വില അറിഞ്ഞിരുന്നാല്‍ നാലാമത്തേത് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമാണിത്. അതിനാലായിരിക്കാം ഇതിന് ത്രൈരാശികം എന്ന പേര് വന്നത്. പ്രാചീന ഭാരതത്തിലാണ് ത്രൈരാശികം എന്ന പേരില്‍ ഈ നിയമം അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്. | ||
| - | + | രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ (ratios) അനുപാതത്തിലാണെങ്കില്‍, മധ്യപദങ്ങളുടെ (means) ഗുണനഫലം ആദ്യാന്ത്യപദങ്ങളുടെ (extremes) ഗുണനഫലത്തിനു തുല്യമായിരിക്കുമെന്നുള്ളതാണ് ത്രൈരാശിക നിയമത്തിലടങ്ങിയിരിക്കുന്നത്. ഒരേ തരത്തിലുള്ള രണ്ടോ അതിലധികമോ രാശികളുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ (ഒരേ മാത്രയിലുള്ളവ) തമ്മിലുള്ള താരതമ്യത്തെ അംശബന്ധം എന്നു പറയുന്നു. രാശികളുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ a യും b യും ആണെങ്കില്‍ അവയുടെ അംശബന്ധം a : b എന്നോ എന്നോ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ തുല്യമാണെങ്കില്‍ അവ അനുപാതത്തിലാണ് എന്നു പറയും. അതായത്. a : b = c : d ആയാല്‍, a : b, c: d എന്നീ അംശബന്ധങ്ങള്‍ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ഈ ബന്ധത്തെ a: b :: c : d എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a, d എന്നിവയെ അഗ്രപദങ്ങള്‍ എന്നും b, c എന്നിവയെ മധ്യപദങ്ങള്‍ എന്നും വിളിക്കുന്നു. a : b :: c : d ആയാല്‍ axd=bxc ആയിരിക്കുമെന്നുള്ളതാണ് ത്രൈരാശിക നിയമം. | |
| - | + | a-യുടെ അംശബന്ധം b-യോടാകുമ്പോള്‍ c-യ്ക്ക് ഏതിനോടാണ് എന്നു നിര്‍ണയിക്കാന്‍ ഈ ക്രിയ സഹായിക്കുന്നു; a,b,c,d എന്നീ രാശികളില്‍ ഏതിന്റെ വില കാണാനും ഈ അനുപാത ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം. | |
| - | + | ത്രൈരാശിക നിയമത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം കണക്കിലെടുത്ത് ഇതിനെ അതിവിശിഷ്ട നിയമം എന്നു വിശേഷിപ്പിക്കാറുണ്ട് .രൈരാശികത്തില്‍നിന്നു തെളിയിച്ചെടുത്ത മറ്റു ചില നിയമങ്ങള്‍ ഇനി ചേര്‍ക്കുന്നു. | |
| - | + | ||
| - | + | ||
ആയാല്‍, | ആയാല്‍, | ||
| വരി 25: | വരി 23: | ||
5. (മയ ആകുമ്പോള്‍). | 5. (മയ ആകുമ്പോള്‍). | ||
| - | + | ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രമാണഗ്രന്ഥമായ ആര്യഭടീയത്തിലെ 'ഗണിത' പാദത്തില്‍ ത്രൈരാശികത്തെ സംബന്ധിച്ച പ്രതിപാദനം കാണാം. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് സൂര്യന്‍, ചന്ദ്രന്‍, കുജന്‍, ബുധന്‍ തുടങ്ങിയ ഏതു ഗ്രഹത്തിന്റെയും ആയുര്‍ദായകത്വം ഗണിച്ചെടുക്കാം. ഗ്രഹത്തിന്റെ തത്കാല സ്ഫുടത്തില്‍നിന്ന് ഉച്ചസ്ഫുടം കുറച്ചു കിട്ടുന്ന രാശിഭാഗകലകളെ പരമോച്ച ആയുര്‍ദശാവര്‍ഷംകൊണ്ടു ഗുണിച്ച് 21,600 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു കിട്ടുന്നതായിരിക്കും ആയുര്‍ദശാവര്‍ഷം. [(രാശിചക്രം = 21,600 കല (12 x 30 x 60)]. ചില പ്രശ്നങ്ങളില്‍ ഗ്രഹങ്ങളുടെ കാലനിര്‍ണയനത്തിനും ഒരു വ്യക്തിയുടെ ജന്മനക്ഷത്രം കണ്ടെത്തുന്നതിനും ഈ നിയമം സഹായിക്കുന്നു. ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍, മഹാവീരന്‍, ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എന്നിവരുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ത്രൈരാശിക രീതി കാണാന്‍ സാധിക്കും. അറബികളും ത്രൈരാശികം കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുള്ളതായി വ്യക്തമായിട്ടുണ്ട്. സമഗുണിത (geometric progression) സ്വഭാവമുള്ള ശ്രേണികളില്‍ ത്രൈരാശിക നിയമം അടങ്ങിയിട്ടുള്ളതായി കാണാം. ഉദാഹരണം: | |
| - | + | 2, 4, 8, 16, 32,.... എന്ന സമഗുണിതശ്രേണിയില്‍ | |
| - | + | 2 : 4 :: 4 : 8 , 4 : 8 :: 8 : 16 എന്ന തരത്തിലുള്ള അനുപാതം തുടര്‍ന്നുപോകുന്നു. | |
| - | ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ ( | + | ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ (fractional equations) പരിമേയ പൂര്‍ണസംഖ്യകളുള്ള (rational integral equations) സമവാക്യങ്ങളാക്കി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താന്‍ ഈ നിയമത്തിലൂടെ സാധിക്കും. ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രാമാണിക ഗ്രന്ഥമായ ''എലിമെന്റ്സും'' ഗ്രീക്ക് പണ്ഡിതനായ യുഡോക്സസിന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളും ഈദൃശ രൂപാന്തരങ്ങള്‍ ഉള്‍ ക്കൊണ്ടുകാണുന്നു. |
11:23, 19 ഫെബ്രുവരി 2009-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ത്രൈരാശിക നിയമം
Rule of three
അംശബന്ധത്തിന്റെ തുല്യമാനം അഥവാ അനുപാതമൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന നിയമം. സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്രവ്യവഹാരങ്ങളില്‍ അനുപാത നിയമം എന്ന പദമാണ് ത്രൈരാശികത്തിനുപയോഗിക്കുന്നത്. ഒരു അനുപാതത്തിലെ രാശികളില്‍ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് രാശികളുടെ വില അറിഞ്ഞിരുന്നാല്‍ നാലാമത്തേത് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമാണിത്. അതിനാലായിരിക്കാം ഇതിന് ത്രൈരാശികം എന്ന പേര് വന്നത്. പ്രാചീന ഭാരതത്തിലാണ് ത്രൈരാശികം എന്ന പേരില്‍ ഈ നിയമം അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്.
രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ (ratios) അനുപാതത്തിലാണെങ്കില്‍, മധ്യപദങ്ങളുടെ (means) ഗുണനഫലം ആദ്യാന്ത്യപദങ്ങളുടെ (extremes) ഗുണനഫലത്തിനു തുല്യമായിരിക്കുമെന്നുള്ളതാണ് ത്രൈരാശിക നിയമത്തിലടങ്ങിയിരിക്കുന്നത്. ഒരേ തരത്തിലുള്ള രണ്ടോ അതിലധികമോ രാശികളുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ (ഒരേ മാത്രയിലുള്ളവ) തമ്മിലുള്ള താരതമ്യത്തെ അംശബന്ധം എന്നു പറയുന്നു. രാശികളുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ a യും b യും ആണെങ്കില്‍ അവയുടെ അംശബന്ധം a : b എന്നോ എന്നോ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ തുല്യമാണെങ്കില്‍ അവ അനുപാതത്തിലാണ് എന്നു പറയും. അതായത്. a : b = c : d ആയാല്‍, a : b, c: d എന്നീ അംശബന്ധങ്ങള്‍ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ഈ ബന്ധത്തെ a: b :: c : d എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a, d എന്നിവയെ അഗ്രപദങ്ങള്‍ എന്നും b, c എന്നിവയെ മധ്യപദങ്ങള്‍ എന്നും വിളിക്കുന്നു. a : b :: c : d ആയാല്‍ axd=bxc ആയിരിക്കുമെന്നുള്ളതാണ് ത്രൈരാശിക നിയമം.
a-യുടെ അംശബന്ധം b-യോടാകുമ്പോള്‍ c-യ്ക്ക് ഏതിനോടാണ് എന്നു നിര്‍ണയിക്കാന്‍ ഈ ക്രിയ സഹായിക്കുന്നു; a,b,c,d എന്നീ രാശികളില്‍ ഏതിന്റെ വില കാണാനും ഈ അനുപാത ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.
ത്രൈരാശിക നിയമത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം കണക്കിലെടുത്ത് ഇതിനെ അതിവിശിഷ്ട നിയമം എന്നു വിശേഷിപ്പിക്കാറുണ്ട് .രൈരാശികത്തില്‍നിന്നു തെളിയിച്ചെടുത്ത മറ്റു ചില നിയമങ്ങള്‍ ഇനി ചേര്‍ക്കുന്നു.
ആയാല്‍,
1. (മ0 ആകുമ്പോള്‍)
2. (ര0 ആകുമ്പോള്‍)
3.
4.
5. (മയ ആകുമ്പോള്‍).
ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രമാണഗ്രന്ഥമായ ആര്യഭടീയത്തിലെ 'ഗണിത' പാദത്തില്‍ ത്രൈരാശികത്തെ സംബന്ധിച്ച പ്രതിപാദനം കാണാം. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് സൂര്യന്‍, ചന്ദ്രന്‍, കുജന്‍, ബുധന്‍ തുടങ്ങിയ ഏതു ഗ്രഹത്തിന്റെയും ആയുര്‍ദായകത്വം ഗണിച്ചെടുക്കാം. ഗ്രഹത്തിന്റെ തത്കാല സ്ഫുടത്തില്‍നിന്ന് ഉച്ചസ്ഫുടം കുറച്ചു കിട്ടുന്ന രാശിഭാഗകലകളെ പരമോച്ച ആയുര്‍ദശാവര്‍ഷംകൊണ്ടു ഗുണിച്ച് 21,600 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു കിട്ടുന്നതായിരിക്കും ആയുര്‍ദശാവര്‍ഷം. [(രാശിചക്രം = 21,600 കല (12 x 30 x 60)]. ചില പ്രശ്നങ്ങളില്‍ ഗ്രഹങ്ങളുടെ കാലനിര്‍ണയനത്തിനും ഒരു വ്യക്തിയുടെ ജന്മനക്ഷത്രം കണ്ടെത്തുന്നതിനും ഈ നിയമം സഹായിക്കുന്നു. ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍, മഹാവീരന്‍, ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എന്നിവരുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ത്രൈരാശിക രീതി കാണാന്‍ സാധിക്കും. അറബികളും ത്രൈരാശികം കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുള്ളതായി വ്യക്തമായിട്ടുണ്ട്. സമഗുണിത (geometric progression) സ്വഭാവമുള്ള ശ്രേണികളില്‍ ത്രൈരാശിക നിയമം അടങ്ങിയിട്ടുള്ളതായി കാണാം. ഉദാഹരണം:
2, 4, 8, 16, 32,.... എന്ന സമഗുണിതശ്രേണിയില്‍
2 : 4 :: 4 : 8 , 4 : 8 :: 8 : 16 എന്ന തരത്തിലുള്ള അനുപാതം തുടര്‍ന്നുപോകുന്നു.
ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ (fractional equations) പരിമേയ പൂര്‍ണസംഖ്യകളുള്ള (rational integral equations) സമവാക്യങ്ങളാക്കി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താന്‍ ഈ നിയമത്തിലൂടെ സാധിക്കും. ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രാമാണിക ഗ്രന്ഥമായ എലിമെന്റ്സും ഗ്രീക്ക് പണ്ഡിതനായ യുഡോക്സസിന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളും ഈദൃശ രൂപാന്തരങ്ങള്‍ ഉള്‍ ക്കൊണ്ടുകാണുന്നു.
