This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ജ്യാമിതി
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(പുതിയ താള്‍: ==ജ്യാമിതി== ==Geometry== സ്പേസിന്റെയും അതിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെയും ഗു...) |
(→Geometry) |
||
| വരി 2: | വരി 2: | ||
==Geometry== | ==Geometry== | ||
| - | |||
| - | |||
സ്പേസിന്റെയും അതിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെയും ഗുണധര്‍മങ്ങളെക്കുറിച്ചു പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. 'ജ്യ' (ഭൂമി), 'മെട്രോണ്‍' (അളവ്) എന്നീ ഗ്രീക്കു പദങ്ങളില്‍ നിന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്നര്‍ഥം വരുന്ന ജ്യോമട്രി എന്ന ഇംഗ്ളീഷ് സംജ്ഞ രൂപംകൊണ്ടത്. ജ്യാമിതിക്കു പല വിഭാഗങ്ങളും ഇന്നു നിലവിലുണ്ട്. സമതല ജ്യാമിതി (Plane Geometry), ഘന ജ്യാമിതി (Solid Geometry) തുടങ്ങിയ ക്ലാസ്സിക്കല്‍ പഠനവിഭാഗങ്ങളും, അമൂര്‍ത്തങ്ങളായ ആശയങ്ങളും ചിന്താധാരകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ടോപോളജി (Tropology) പോലുള്ള ആധുനിക വിഭാഗങ്ങളും ഇതിലുള്‍പ്പെടുന്നു. | സ്പേസിന്റെയും അതിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെയും ഗുണധര്‍മങ്ങളെക്കുറിച്ചു പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. 'ജ്യ' (ഭൂമി), 'മെട്രോണ്‍' (അളവ്) എന്നീ ഗ്രീക്കു പദങ്ങളില്‍ നിന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്നര്‍ഥം വരുന്ന ജ്യോമട്രി എന്ന ഇംഗ്ളീഷ് സംജ്ഞ രൂപംകൊണ്ടത്. ജ്യാമിതിക്കു പല വിഭാഗങ്ങളും ഇന്നു നിലവിലുണ്ട്. സമതല ജ്യാമിതി (Plane Geometry), ഘന ജ്യാമിതി (Solid Geometry) തുടങ്ങിയ ക്ലാസ്സിക്കല്‍ പഠനവിഭാഗങ്ങളും, അമൂര്‍ത്തങ്ങളായ ആശയങ്ങളും ചിന്താധാരകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ടോപോളജി (Tropology) പോലുള്ള ആധുനിക വിഭാഗങ്ങളും ഇതിലുള്‍പ്പെടുന്നു. | ||
| - | |||
| - | |||
===ആമുഖം=== | ===ആമുഖം=== | ||
| - | |||
| - | |||
പ്രാചീന നാഗരികതകളുടെ പ്രായോഗികാവശ്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണു ജ്യാമിതി ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ആദ്യകാലത്ത് ഈജിപ്തിലും മെസപ്പൊട്ടേമിയയിലും ഭൂമി അളക്കാന്‍ സര്‍വേക്ഷണം ചെയ്യുന്നവര്‍ ജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങി. പിന്നീട് ഗ്രീക്കുകാരുടെ സംഭാവനകളിലൂടെ ജ്യാമിതി ഒരു ശാസ്ത്രമായി വളര്‍ന്നു. | പ്രാചീന നാഗരികതകളുടെ പ്രായോഗികാവശ്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണു ജ്യാമിതി ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ആദ്യകാലത്ത് ഈജിപ്തിലും മെസപ്പൊട്ടേമിയയിലും ഭൂമി അളക്കാന്‍ സര്‍വേക്ഷണം ചെയ്യുന്നവര്‍ ജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങി. പിന്നീട് ഗ്രീക്കുകാരുടെ സംഭാവനകളിലൂടെ ജ്യാമിതി ഒരു ശാസ്ത്രമായി വളര്‍ന്നു. | ||
| - | |||
| - | |||
ഒരു നേര്‍വരയ്ക്കു ചെറിയ തോതിലാണെങ്കിലും ഒരു വീതി യും സങ്കീര്‍ണമായ തന്മാത്രീയ ഘടനയുമുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അവലോകനത്തില്‍ ഇവയൊക്കെ അവഗണിച്ച് രേഖയുടെ നീളവും ഋജുത്വ (straightness) വും മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുന്നു. അതുപോലെ ഒരു റബ്ബര്‍ പന്തിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകള്‍ അവഗണിച്ച് അതിനെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു ഗോളമായി കരുതുന്നു. ചുരുക്കത്തില്‍ ഭൌതിക പദാര്‍ഥങ്ങളുടെ മാതൃകാരൂപം (idealised shape) ആണ് ജ്യാമിതിയില്‍ പരിഗണിക്കുന്നത്. | ഒരു നേര്‍വരയ്ക്കു ചെറിയ തോതിലാണെങ്കിലും ഒരു വീതി യും സങ്കീര്‍ണമായ തന്മാത്രീയ ഘടനയുമുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അവലോകനത്തില്‍ ഇവയൊക്കെ അവഗണിച്ച് രേഖയുടെ നീളവും ഋജുത്വ (straightness) വും മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുന്നു. അതുപോലെ ഒരു റബ്ബര്‍ പന്തിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകള്‍ അവഗണിച്ച് അതിനെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു ഗോളമായി കരുതുന്നു. ചുരുക്കത്തില്‍ ഭൌതിക പദാര്‍ഥങ്ങളുടെ മാതൃകാരൂപം (idealised shape) ആണ് ജ്യാമിതിയില്‍ പരിഗണിക്കുന്നത്. | ||
| - | |||
| - | |||
===ജ്യാമിതിയുടെ വികാസം=== | ===ജ്യാമിതിയുടെ വികാസം=== | ||
| - | |||
| - | |||
ആദ്യകാലത്ത് കൃഷിഭൂമിയുടെ അരികളവ്, വിസ്തീര്‍ണം എന്നിവയുടെ നിര്‍ണയത്തിനും പാര്‍പ്പിടങ്ങള്‍, ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍, തോടുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മാണത്തിനും ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ നീളം, വിസ്തീര്‍ണം, ഉള്ളളവ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള സാമാന്യമായ അറിവു വേണ്ടിവന്നു. പില്ക്കാലത്ത്, വിസ്തൃതങ്ങളായ ഭൂപ്രദേശങ്ങളുടെ സര്‍വേ, ഭൂപട നിര്‍മാണം, ഭൂമിയുടെ ആകൃതി നിര്‍ണയനം, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥപഠനം ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതീയ പഠനങ്ങളെ വിപുലമാക്കി. | ആദ്യകാലത്ത് കൃഷിഭൂമിയുടെ അരികളവ്, വിസ്തീര്‍ണം എന്നിവയുടെ നിര്‍ണയത്തിനും പാര്‍പ്പിടങ്ങള്‍, ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍, തോടുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മാണത്തിനും ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ നീളം, വിസ്തീര്‍ണം, ഉള്ളളവ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള സാമാന്യമായ അറിവു വേണ്ടിവന്നു. പില്ക്കാലത്ത്, വിസ്തൃതങ്ങളായ ഭൂപ്രദേശങ്ങളുടെ സര്‍വേ, ഭൂപട നിര്‍മാണം, ഭൂമിയുടെ ആകൃതി നിര്‍ണയനം, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥപഠനം ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതീയ പഠനങ്ങളെ വിപുലമാക്കി. | ||
| - | |||
| - | |||
====പ്രാചീന ജ്യാമിതി (Ancient Geometry)==== | ====പ്രാചീന ജ്യാമിതി (Ancient Geometry)==== | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
=====ഈജിപ്തുകാര്‍, ബാബിലോണിയക്കാര്‍===== | =====ഈജിപ്തുകാര്‍, ബാബിലോണിയക്കാര്‍===== | ||
| - | |||
| - | |||
ഈജിപ്ത്, ബാബിലോണിയ, ഇന്ത്യ, ചൈന എന്നീ രാജ്യങ്ങള്‍ പുരാതന കാലത്തുതന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നേട്ടങ്ങള്‍ കൈവരിച്ചിരുന്നു. ബി.സി. 4000-300 കാലഘട്ടത്ത് ഈജിപ്തുകാരും ബാബിലോണിയക്കാരും ത്രികോണം, ദീര്‍ഘചതുരം, വൃത്തം എന്നിവയുടെ സവിശേഷതകള്‍ സംബന്ധിച്ച ജ്യാമിതീയ വിശകലനം നടത്തിയതിന്റെ ചരിത്രരേഖകള്‍ ലഭ്യമാണ്. ഇവരുടെ നാഗരികതകള്‍ മുഖ്യമായും കൃഷിയിലധിഷ്ഠിതമായിരുന്നു. അതിനാല്‍ കൃഷിസ്ഥലങ്ങളുടെ അളന്നുതിരിക്കലിലും അവയുടെ ചുറ്റളവും വിസ്തീര്‍ണവും കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലും അവര്‍ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി. നൈല്‍നദിയിലെ വെള്ളപ്പൊക്കത്തില്‍ കൃഷിഭൂമി നഷ്ടപ്പെട്ടവര്‍ക്ക് അവരുടെ ഭൂമിയുടെ വിസ്തീര്‍ണമനുസരിച്ച് കൃഷിസ്ഥലങ്ങള്‍ പുനര്‍നിര്‍ണയം ചെയ്തുകൊടുക്കേണ്ടി വന്നു. ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കം ഇതില്‍ നിന്നാണ് എന്നു ബി.സി. 5-ാം ശ.-ലെ ഗ്രീക്കു ചരിത്രകാരനായ ഹെറൊഡോട്ടസ് രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ബാബിലോണിയയില്‍ ജലസേചനത്തിനു യൂഫ്രട്ടിസ്, ടൈഗ്രിസ് എന്നീ നദികളില്‍ നിന്നു വലിയ തോടുകള്‍വഴി ജലം കൊണ്ടുവന്നിരുന്നു. ഈ തോടുകള്‍ നിര്‍മിക്കാന്‍ കുഴിച്ചെടുക്കേണ്ട മണ്ണിന്റെ വ്യാപ്തം നിര്‍ണയിക്കേണ്ടിവന്നു. ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മിതിക്കു വിസ്തീര്‍ണം, വ്യാപ്തം എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ച സാമാന്യമായ അറിവ് ആവശ്യമായി വന്നു. ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കത്തിനും പുരോഗതിക്കും നിദാനമായി. അഹ്മെസ് പാപ്പിറസ് (ബി.സി.1650) എന്ന പ്രാചീന ഈജിപ്ഷ്യന്‍ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ജ്യാമിതിയിലെ കുറെ പ്രശ്നങ്ങളും അവയുടെ നിര്‍ധാരണവും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്. | ഈജിപ്ത്, ബാബിലോണിയ, ഇന്ത്യ, ചൈന എന്നീ രാജ്യങ്ങള്‍ പുരാതന കാലത്തുതന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നേട്ടങ്ങള്‍ കൈവരിച്ചിരുന്നു. ബി.സി. 4000-300 കാലഘട്ടത്ത് ഈജിപ്തുകാരും ബാബിലോണിയക്കാരും ത്രികോണം, ദീര്‍ഘചതുരം, വൃത്തം എന്നിവയുടെ സവിശേഷതകള്‍ സംബന്ധിച്ച ജ്യാമിതീയ വിശകലനം നടത്തിയതിന്റെ ചരിത്രരേഖകള്‍ ലഭ്യമാണ്. ഇവരുടെ നാഗരികതകള്‍ മുഖ്യമായും കൃഷിയിലധിഷ്ഠിതമായിരുന്നു. അതിനാല്‍ കൃഷിസ്ഥലങ്ങളുടെ അളന്നുതിരിക്കലിലും അവയുടെ ചുറ്റളവും വിസ്തീര്‍ണവും കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലും അവര്‍ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി. നൈല്‍നദിയിലെ വെള്ളപ്പൊക്കത്തില്‍ കൃഷിഭൂമി നഷ്ടപ്പെട്ടവര്‍ക്ക് അവരുടെ ഭൂമിയുടെ വിസ്തീര്‍ണമനുസരിച്ച് കൃഷിസ്ഥലങ്ങള്‍ പുനര്‍നിര്‍ണയം ചെയ്തുകൊടുക്കേണ്ടി വന്നു. ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കം ഇതില്‍ നിന്നാണ് എന്നു ബി.സി. 5-ാം ശ.-ലെ ഗ്രീക്കു ചരിത്രകാരനായ ഹെറൊഡോട്ടസ് രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ബാബിലോണിയയില്‍ ജലസേചനത്തിനു യൂഫ്രട്ടിസ്, ടൈഗ്രിസ് എന്നീ നദികളില്‍ നിന്നു വലിയ തോടുകള്‍വഴി ജലം കൊണ്ടുവന്നിരുന്നു. ഈ തോടുകള്‍ നിര്‍മിക്കാന്‍ കുഴിച്ചെടുക്കേണ്ട മണ്ണിന്റെ വ്യാപ്തം നിര്‍ണയിക്കേണ്ടിവന്നു. ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മിതിക്കു വിസ്തീര്‍ണം, വ്യാപ്തം എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ച സാമാന്യമായ അറിവ് ആവശ്യമായി വന്നു. ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കത്തിനും പുരോഗതിക്കും നിദാനമായി. അഹ്മെസ് പാപ്പിറസ് (ബി.സി.1650) എന്ന പ്രാചീന ഈജിപ്ഷ്യന്‍ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ജ്യാമിതിയിലെ കുറെ പ്രശ്നങ്ങളും അവയുടെ നിര്‍ധാരണവും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
=====ഗ്രീക്കുകാരുടെ സമീപനം===== | =====ഗ്രീക്കുകാരുടെ സമീപനം===== | ||
| - | |||
| - | |||
ജ്യാമിതിയുടെ പ്രാഥമിക പാഠങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊണ്ട് ധൈഷണികമായ തലത്തിലേക്ക് ആദ്യമായി അന്വേഷണമാരംഭിച്ചതു ഗ്രീക്കുകാരാണ്. അവരുടെ ഗണിതീയ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ രചിക്കപ്പെട്ടത് ബി.സി. 600-200 കാലയളവിലാണ്. ഗ്രീക്കു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരില്‍ പലരും തത്ത്വചിന്തകര്‍ കൂടിയായിരുന്നു. പ്രകൃതിയുടെ രൂപകല്പന ജ്യാമിതീയമാണെന്ന് അവര്‍ വിശ്വസിച്ചു. 'ഈശ്വരന്‍ അനശ്വരമായി ജ്യാമിതീകരിക്കുന്നു (God eternally geometrizes)' എന്ന പ്ലേറ്റോയുടെ സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തല്‍ ഗ്രീക്കുകാരുടെ ഗണിതസങ്കല്പം വ്യക്തമാക്കുന്നു. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ പ്രസ്താവനകളില്‍ നിന്നു കാര്യകാരണസഹിതം നിഗമനങ്ങളിലെത്തുക എന്നതായിരുന്നു അവരുടെ രീതി. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം പ്രസ്താവനകളാണ് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ (axioms). ഉദാ. ഒരു ഋജുരേഖ എതിര്‍ദിശകളിലേക്ക് അനന്തമായി നീണ്ടുപോകുന്നു; സന്നിപതിക്കുന്ന(coincide)രൂപങ്ങള്‍ സര്‍വസമ (congruent)ങ്ങളാണ്. എലിമെന്റ്സ് എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ യൂക്ലിഡ് (ബി.സി. 3-ാം ശ.) ഇത്തരം അഭിഗൃഹീതങ്ങളുപയോഗിച്ച് അഞ്ഞൂറോളം പ്രമേയങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ അക്കാലത്ത് അറിയാമായിരുന്ന ബീജഗണിതവും കാണാം. ഉദാ. x<sub>2</sub> – 8x + 7 = 0എന്ന ദ്വിഘാത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം സംഖ്യയ്ക്കു പകരം ഒരു രേഖാഖണ്ഡമായി കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. | ജ്യാമിതിയുടെ പ്രാഥമിക പാഠങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊണ്ട് ധൈഷണികമായ തലത്തിലേക്ക് ആദ്യമായി അന്വേഷണമാരംഭിച്ചതു ഗ്രീക്കുകാരാണ്. അവരുടെ ഗണിതീയ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ രചിക്കപ്പെട്ടത് ബി.സി. 600-200 കാലയളവിലാണ്. ഗ്രീക്കു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരില്‍ പലരും തത്ത്വചിന്തകര്‍ കൂടിയായിരുന്നു. പ്രകൃതിയുടെ രൂപകല്പന ജ്യാമിതീയമാണെന്ന് അവര്‍ വിശ്വസിച്ചു. 'ഈശ്വരന്‍ അനശ്വരമായി ജ്യാമിതീകരിക്കുന്നു (God eternally geometrizes)' എന്ന പ്ലേറ്റോയുടെ സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തല്‍ ഗ്രീക്കുകാരുടെ ഗണിതസങ്കല്പം വ്യക്തമാക്കുന്നു. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ പ്രസ്താവനകളില്‍ നിന്നു കാര്യകാരണസഹിതം നിഗമനങ്ങളിലെത്തുക എന്നതായിരുന്നു അവരുടെ രീതി. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം പ്രസ്താവനകളാണ് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ (axioms). ഉദാ. ഒരു ഋജുരേഖ എതിര്‍ദിശകളിലേക്ക് അനന്തമായി നീണ്ടുപോകുന്നു; സന്നിപതിക്കുന്ന(coincide)രൂപങ്ങള്‍ സര്‍വസമ (congruent)ങ്ങളാണ്. എലിമെന്റ്സ് എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ യൂക്ലിഡ് (ബി.സി. 3-ാം ശ.) ഇത്തരം അഭിഗൃഹീതങ്ങളുപയോഗിച്ച് അഞ്ഞൂറോളം പ്രമേയങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ അക്കാലത്ത് അറിയാമായിരുന്ന ബീജഗണിതവും കാണാം. ഉദാ. x<sub>2</sub> – 8x + 7 = 0എന്ന ദ്വിഘാത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം സംഖ്യയ്ക്കു പകരം ഒരു രേഖാഖണ്ഡമായി കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. | ||
| - | |||
| - | |||
ഗ്രീക്ക് ജ്യാമിതി കൈകാര്യം ചെയ്ത പ്രധാനാശയങ്ങള്‍ സര്‍വസമത (congruence), സമരൂപത (similarity), തുല്യത (equivalence) എന്നിവയാണ്. അലക്സാന്‍ഡ്രിയന്‍ കാലഘട്ടത്തില്‍ (ബി.സി. 4-ാം ശ.) ഗ്രീക്ക് ഗണിതത്തിനു പ്രായോഗികമായ ഒരടിത്തറ കൈവന്നു. ഇക്കാലത്താണ് ആര്‍ക്കിമെഡിസ് π (പൈ)യുടെ വില നും [[ചിത്രം:SR1.png]]നും ഇടയ്ക്കാണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചത്. എ.ഡി. 18-ാം ശ. വരെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ മുഖ്യസ്ഥാനം ഗ്രീക്കുകാരുടെ ക്ലാസ്സിക് ജ്യാമിതിക്കായിരുന്നു. | ഗ്രീക്ക് ജ്യാമിതി കൈകാര്യം ചെയ്ത പ്രധാനാശയങ്ങള്‍ സര്‍വസമത (congruence), സമരൂപത (similarity), തുല്യത (equivalence) എന്നിവയാണ്. അലക്സാന്‍ഡ്രിയന്‍ കാലഘട്ടത്തില്‍ (ബി.സി. 4-ാം ശ.) ഗ്രീക്ക് ഗണിതത്തിനു പ്രായോഗികമായ ഒരടിത്തറ കൈവന്നു. ഇക്കാലത്താണ് ആര്‍ക്കിമെഡിസ് π (പൈ)യുടെ വില നും [[ചിത്രം:SR1.png]]നും ഇടയ്ക്കാണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചത്. എ.ഡി. 18-ാം ശ. വരെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ മുഖ്യസ്ഥാനം ഗ്രീക്കുകാരുടെ ക്ലാസ്സിക് ജ്യാമിതിക്കായിരുന്നു. | ||
15:07, 15 ഫെബ്രുവരി 2016-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഉള്ളടക്കം |
ജ്യാമിതി
Geometry
സ്പേസിന്റെയും അതിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെയും ഗുണധര്‍മങ്ങളെക്കുറിച്ചു പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. 'ജ്യ' (ഭൂമി), 'മെട്രോണ്‍' (അളവ്) എന്നീ ഗ്രീക്കു പദങ്ങളില്‍ നിന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്നര്‍ഥം വരുന്ന ജ്യോമട്രി എന്ന ഇംഗ്ളീഷ് സംജ്ഞ രൂപംകൊണ്ടത്. ജ്യാമിതിക്കു പല വിഭാഗങ്ങളും ഇന്നു നിലവിലുണ്ട്. സമതല ജ്യാമിതി (Plane Geometry), ഘന ജ്യാമിതി (Solid Geometry) തുടങ്ങിയ ക്ലാസ്സിക്കല്‍ പഠനവിഭാഗങ്ങളും, അമൂര്‍ത്തങ്ങളായ ആശയങ്ങളും ചിന്താധാരകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ടോപോളജി (Tropology) പോലുള്ള ആധുനിക വിഭാഗങ്ങളും ഇതിലുള്‍പ്പെടുന്നു.
ആമുഖം
പ്രാചീന നാഗരികതകളുടെ പ്രായോഗികാവശ്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണു ജ്യാമിതി ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ആദ്യകാലത്ത് ഈജിപ്തിലും മെസപ്പൊട്ടേമിയയിലും ഭൂമി അളക്കാന്‍ സര്‍വേക്ഷണം ചെയ്യുന്നവര്‍ ജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങി. പിന്നീട് ഗ്രീക്കുകാരുടെ സംഭാവനകളിലൂടെ ജ്യാമിതി ഒരു ശാസ്ത്രമായി വളര്‍ന്നു.
ഒരു നേര്‍വരയ്ക്കു ചെറിയ തോതിലാണെങ്കിലും ഒരു വീതി യും സങ്കീര്‍ണമായ തന്മാത്രീയ ഘടനയുമുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അവലോകനത്തില്‍ ഇവയൊക്കെ അവഗണിച്ച് രേഖയുടെ നീളവും ഋജുത്വ (straightness) വും മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുന്നു. അതുപോലെ ഒരു റബ്ബര്‍ പന്തിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകള്‍ അവഗണിച്ച് അതിനെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു ഗോളമായി കരുതുന്നു. ചുരുക്കത്തില്‍ ഭൌതിക പദാര്‍ഥങ്ങളുടെ മാതൃകാരൂപം (idealised shape) ആണ് ജ്യാമിതിയില്‍ പരിഗണിക്കുന്നത്.
ജ്യാമിതിയുടെ വികാസം
ആദ്യകാലത്ത് കൃഷിഭൂമിയുടെ അരികളവ്, വിസ്തീര്‍ണം എന്നിവയുടെ നിര്‍ണയത്തിനും പാര്‍പ്പിടങ്ങള്‍, ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍, തോടുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മാണത്തിനും ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ നീളം, വിസ്തീര്‍ണം, ഉള്ളളവ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള സാമാന്യമായ അറിവു വേണ്ടിവന്നു. പില്ക്കാലത്ത്, വിസ്തൃതങ്ങളായ ഭൂപ്രദേശങ്ങളുടെ സര്‍വേ, ഭൂപട നിര്‍മാണം, ഭൂമിയുടെ ആകൃതി നിര്‍ണയനം, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥപഠനം ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതീയ പഠനങ്ങളെ വിപുലമാക്കി.
പ്രാചീന ജ്യാമിതി (Ancient Geometry)
ഈജിപ്തുകാര്‍, ബാബിലോണിയക്കാര്‍
ഈജിപ്ത്, ബാബിലോണിയ, ഇന്ത്യ, ചൈന എന്നീ രാജ്യങ്ങള്‍ പുരാതന കാലത്തുതന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നേട്ടങ്ങള്‍ കൈവരിച്ചിരുന്നു. ബി.സി. 4000-300 കാലഘട്ടത്ത് ഈജിപ്തുകാരും ബാബിലോണിയക്കാരും ത്രികോണം, ദീര്‍ഘചതുരം, വൃത്തം എന്നിവയുടെ സവിശേഷതകള്‍ സംബന്ധിച്ച ജ്യാമിതീയ വിശകലനം നടത്തിയതിന്റെ ചരിത്രരേഖകള്‍ ലഭ്യമാണ്. ഇവരുടെ നാഗരികതകള്‍ മുഖ്യമായും കൃഷിയിലധിഷ്ഠിതമായിരുന്നു. അതിനാല്‍ കൃഷിസ്ഥലങ്ങളുടെ അളന്നുതിരിക്കലിലും അവയുടെ ചുറ്റളവും വിസ്തീര്‍ണവും കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലും അവര്‍ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി. നൈല്‍നദിയിലെ വെള്ളപ്പൊക്കത്തില്‍ കൃഷിഭൂമി നഷ്ടപ്പെട്ടവര്‍ക്ക് അവരുടെ ഭൂമിയുടെ വിസ്തീര്‍ണമനുസരിച്ച് കൃഷിസ്ഥലങ്ങള്‍ പുനര്‍നിര്‍ണയം ചെയ്തുകൊടുക്കേണ്ടി വന്നു. ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കം ഇതില്‍ നിന്നാണ് എന്നു ബി.സി. 5-ാം ശ.-ലെ ഗ്രീക്കു ചരിത്രകാരനായ ഹെറൊഡോട്ടസ് രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ബാബിലോണിയയില്‍ ജലസേചനത്തിനു യൂഫ്രട്ടിസ്, ടൈഗ്രിസ് എന്നീ നദികളില്‍ നിന്നു വലിയ തോടുകള്‍വഴി ജലം കൊണ്ടുവന്നിരുന്നു. ഈ തോടുകള്‍ നിര്‍മിക്കാന്‍ കുഴിച്ചെടുക്കേണ്ട മണ്ണിന്റെ വ്യാപ്തം നിര്‍ണയിക്കേണ്ടിവന്നു. ആരാധനാലയങ്ങള്‍, പിരമിഡുകള്‍ എന്നിവയുടെ നിര്‍മിതിക്കു വിസ്തീര്‍ണം, വ്യാപ്തം എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ച സാമാന്യമായ അറിവ് ആവശ്യമായി വന്നു. ഇവയൊക്കെ ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കത്തിനും പുരോഗതിക്കും നിദാനമായി. അഹ്മെസ് പാപ്പിറസ് (ബി.സി.1650) എന്ന പ്രാചീന ഈജിപ്ഷ്യന്‍ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ജ്യാമിതിയിലെ കുറെ പ്രശ്നങ്ങളും അവയുടെ നിര്‍ധാരണവും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്.
ഗ്രീക്കുകാരുടെ സമീപനം
ജ്യാമിതിയുടെ പ്രാഥമിക പാഠങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊണ്ട് ധൈഷണികമായ തലത്തിലേക്ക് ആദ്യമായി അന്വേഷണമാരംഭിച്ചതു ഗ്രീക്കുകാരാണ്. അവരുടെ ഗണിതീയ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ രചിക്കപ്പെട്ടത് ബി.സി. 600-200 കാലയളവിലാണ്. ഗ്രീക്കു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരില്‍ പലരും തത്ത്വചിന്തകര്‍ കൂടിയായിരുന്നു. പ്രകൃതിയുടെ രൂപകല്പന ജ്യാമിതീയമാണെന്ന് അവര്‍ വിശ്വസിച്ചു. 'ഈശ്വരന്‍ അനശ്വരമായി ജ്യാമിതീകരിക്കുന്നു (God eternally geometrizes)' എന്ന പ്ലേറ്റോയുടെ സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തല്‍ ഗ്രീക്കുകാരുടെ ഗണിതസങ്കല്പം വ്യക്തമാക്കുന്നു. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ പ്രസ്താവനകളില്‍ നിന്നു കാര്യകാരണസഹിതം നിഗമനങ്ങളിലെത്തുക എന്നതായിരുന്നു അവരുടെ രീതി. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം പ്രസ്താവനകളാണ് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ (axioms). ഉദാ. ഒരു ഋജുരേഖ എതിര്‍ദിശകളിലേക്ക് അനന്തമായി നീണ്ടുപോകുന്നു; സന്നിപതിക്കുന്ന(coincide)രൂപങ്ങള്‍ സര്‍വസമ (congruent)ങ്ങളാണ്. എലിമെന്റ്സ് എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ യൂക്ലിഡ് (ബി.സി. 3-ാം ശ.) ഇത്തരം അഭിഗൃഹീതങ്ങളുപയോഗിച്ച് അഞ്ഞൂറോളം പ്രമേയങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. യൂക്ലീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ അക്കാലത്ത് അറിയാമായിരുന്ന ബീജഗണിതവും കാണാം. ഉദാ. x2 – 8x + 7 = 0എന്ന ദ്വിഘാത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം സംഖ്യയ്ക്കു പകരം ഒരു രേഖാഖണ്ഡമായി കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
ഗ്രീക്ക് ജ്യാമിതി കൈകാര്യം ചെയ്ത പ്രധാനാശയങ്ങള്‍ സര്‍വസമത (congruence), സമരൂപത (similarity), തുല്യത (equivalence) എന്നിവയാണ്. അലക്സാന്‍ഡ്രിയന്‍ കാലഘട്ടത്തില്‍ (ബി.സി. 4-ാം ശ.) ഗ്രീക്ക് ഗണിതത്തിനു പ്രായോഗികമായ ഒരടിത്തറ കൈവന്നു. ഇക്കാലത്താണ് ആര്‍ക്കിമെഡിസ് π (പൈ)യുടെ വില നും 
നും ഇടയ്ക്കാണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചത്. എ.ഡി. 18-ാം ശ. വരെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ മുഖ്യസ്ഥാനം ഗ്രീക്കുകാരുടെ ക്ലാസ്സിക് ജ്യാമിതിക്കായിരുന്നു.
