This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(→ഗ്രൂപ്പുകള്‍) |
(→ഗ്രൂപ്പുകള്‍) |
||
| വരി 21: | വരി 21: | ||
ഉദാഹരണമായി എന്നുകിട്ടും. | ഉദാഹരണമായി എന്നുകിട്ടും. | ||
| - | ദ്വിചരക്രിയയെ +, ⦁, | + | ദ്വിചരക്രിയയെ +, ⦁, *, ⊕ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങള്‍കൊണ്ടോ അല്ലെങ്കില്‍ സാന്നിധ്യംകൊണ്ടോ സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. സാധാരണയായി സാന്നിധ്യം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. അതായത് a, b ഇവയുടെ ദ്വിചരക്രിയമൂലം കിട്ടുന്ന ഫലത്തെ വേറെ ചിഹ്നങ്ങളൊന്നും കൂടാതെ, ab എന്നു മാത്രം. X, ഒരു ദ്വിചരക്രിയയുള്ള ഗണമെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. a, b, c ε X എന്നിരിക്കട്ടെ. a (bc) = (ab) c ആണെങ്കില്‍, ദ്വിചരക്രിയയെ സാഹചര്യക്രിയ എന്നുപറയുന്നു. ദ്വിചരക്രിയ സാഹചര്യ നിയമം (Associative law) അനുസരിക്കുന്നു എന്നു പറയും. |
| - | ഒരു ദ്വിചരക്രിയ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള അശൂന്യഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പോയ്ഡ് എന്നുപറയും. അത് സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതിനെ അര്‍ധഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയാം. | + | ഒരു ദ്വിചരക്രിയ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള അശൂന്യഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പോയ്ഡ് എന്നുപറയും. അത് സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതിനെ അര്‍ധഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയാം. യൂക്ലിഡിയന്‍ ത്രിവിമേയ സദിശങ്ങള്‍ സദിശഗുണനം എന്ന ക്രിയയോടുകൂടിയ ഗ്രൂപ്പോയ്ഡ് ആണ്. എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തോടുകൂടിയ ഒരു അര്‍ധഗ്രൂപ്പ് (semi group) ആണ്. |
| + | |||
| + | S ഒരു ദ്വിചരക്രിയയോടുകൂടിയ ഗണമെന്നിരിക്കട്ടെ. S-ലെ a എന്ന ഓരോ അംഗത്തിനും ae = a (ea = a) എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന e എന്ന അംഗം S-ല്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതിനെ ദക്ഷിണ (വാമ) തത്സമകം [right (left) identity] എന്നുപറയും. ഒരു വാമ ദക്ഷിണ തത്സമകത്തെ (left right identity) തത്സമകം എന്നുപറയും. a എന്ന അംഗത്തിന് aa<sup>-1</sup> = e, (a<sup>-1</sup>a = e) എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന a<sup>-1</sup> എന്ന അംഗമുണ്ടെങ്കില്‍, അതിനെ ദക്ഷിണ (വാമ) വ്യുത്ക്രമം [right (left) inverse] എന്നു പറയാം. ഇവിടെ ല ഒരു വാമതത്സമകമോ ദക്ഷിണ തത്സമകമോ ആകാം. ഒരു വാമ, ദക്ഷിണ വ്യുത്ക്രമത്തെ വ്യുത്ക്രമം (inverse) എന്നു പറയുന്നു. | ||
| + | |||
| + | ഒരു തത്സമകത്തോടു കൂടിയ അര്‍ധഗ്രൂപ്പിന് മോണോയ്ഡ് എന്നു പറയും. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഗുണനക്രിയയോടുകൂടിയ മോണോയ്ഡ് ആണ്. അതിന്റെ തത്സമകം '1' എന്ന അംഗമാണ്. | ||
| + | |||
| + | മുകളില്‍ വിവരിച്ചിട്ടുള്ള തത്ത്വങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ നിര്‍വചിക്കാം. | ||
| + | |||
| + | താഴെ പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ അനുസരിക്കുന്ന G എന്ന അശൂന്യഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു. | ||
| + | |||
| + | G<sub>1</sub> : G ഒരു അര്‍ധഗ്രൂപ്പാണ്. | ||
| + | |||
| + | G<sub>2</sub> : G-യില്‍ ഒരു തത്സമകം ഉണ്ട്. അതായത് a എന്ന G-യിലെ ഏത് അംഗത്തിനും ae = ea = a എന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന e എന്ന അംഗം ഉണ്ട്. | ||
| + | |||
| + | G<sub>3</sub> : G-യിലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വ്യുത്ക്രമം ഉണ്ട്. അതായത് G-യിലെ a എന്ന ഏത് അംഗത്തിനും aa<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup>a = e എന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന a<sup>-1</sup> എന്ന അംഗം ഉണ്ട്. | ||
| + | |||
| + | യഥാര്‍ഥത്തില്‍ ഈ വ്യവസ്ഥകളില്‍ അയവു വരുത്താവുന്നതാണ്. താഴെക്കൊടുത്തിട്ടുള്ള പ്രമേയ (theorem)ത്തില്‍ നിന്നു അത് വ്യക്തമാകും. | ||
| + | |||
| + | '''പ്രമേയം 2.1.''' G എന്ന അര്‍ധഗ്രൂപ്പില്‍ താഴെ പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ തുല്യമാണ്. | ||
| + | |||
| + | AG<sub>1</sub> : G ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്; | ||
| + | |||
| + | AG<sub>2</sub> : G - യില്‍ ഒരു വാമ തത്സമകവും, ഓരോ അംഗത്തിനും ഒരു വാമ വ്യുത്ക്രമവും ഉണ്ട്; | ||
| + | |||
| + | AG<sub>3</sub> : G -യില്‍ ഒരു ദക്ഷിണ തത്സമകവും ഓരോ അംഗത്തിനും ഒരു ദക്ഷിണ വ്യുത്ക്രമവും ഉണ്ട്. | ||
| + | |||
| + | ഗ്രൂപ്പിലെ തത്സമകം ഏകമാത്രം (unique) ആണ്. e, e' രണ്ട് തത്സമകങ്ങള്‍ എന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍, | ||
| + | |||
| + | e = e.e' (e' തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) | ||
| + | |||
| + | = e' (e' തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) എന്നു കിട്ടും. | ||
| + | |||
| + | അതുപോലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വ്യുത്ക്രമവും ഏകമാത്രമാണ്. a എന്ന അംഗത്തിന് a', a'' എന്ന രണ്ടു വ്യുത്ക്രമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്‍, | ||
| + | |||
| + | a' = a' e | ||
| + | |||
| + | = a' (aa'') ; aa'' തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) | ||
| + | |||
| + | = a'' (a'a തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) എന്നു കിട്ടും. | ||
| + | |||
| + | ദ്വിചരക്രിയ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഒരു ഗണം ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ അയവു വരുത്തിയ വ്യവസ്ഥകള്‍ സഹായകരമായിരിക്കും. പക്ഷേ, ഗ്രൂപ്പിന്റെ സവിശേഷതകള്‍ പറയുമ്പോള്‍ അയവുവരുത്താത്ത, കര്‍ശന നിബന്ധനകള്‍ പ്രയോജനപ്രദമായിരിക്കും. | ||
| + | |||
| + | ഗ്രൂപ്പിന് പല സവിശേഷതകള്‍ ഉണ്ട്. രണ്ട് പ്രധാന സവിശേഷതകള്‍ താഴെപ്പറയുന്ന പ്രമേയത്തില്‍ ചേര്‍ക്കുന്നു. | ||
| + | |||
| + | '''പ്രമേയം 2.2''' (i). G ഒരു ഗ്രൂപ്പെന്നും, a, b, c G -യിലെ അംഗങ്ങളെന്നുമിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ ab = ac എങ്കില്‍ b = c ആയിരിക്കും. ba = ca എങ്കില്‍ b = c ആയിരിക്കും. | ||
| + | |||
| + | (ii) ax = b എന്ന സമീകരണത്തിന് ഏകമാത്ര നിര്‍ധാരണമൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും; ya = b എന്ന സമീകരണത്തിന് ഏകമാത്ര നിര്‍ധാരണമൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും. | ||
| + | |||
| + | (i) -ലെ സവിശേഷതകളെ ക്രമേണ വാമ (left) ദക്ഷിണ (right) നിരാസ നിയമങ്ങള്‍ (cancellation laws) എന്നു പറയുന്നു. | ||
| + | |||
| + | ഒരു ഗ്രൂപ്പില്‍ a, b എന്ന ഏത് അംഗങ്ങളും ab = ba എന്ന നിയമം അനുസരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതിനെ ക്രമവിനിമേയ ഗ്രൂപ്പ് (commutative group) അല്ലെങ്കില്‍ ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു. | ||
| + | |||
| + | ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഇതരശാസ്ത്രങ്ങളിലും വളരെ സാധാരണയായി കണ്ടുവരുന്ന ഒരു ബീജീയഘടന (Algebraic structure) ആണ് ഗ്രൂപ്പ്. ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. | ||
| + | |||
| + | ഉദാഹരണങ്ങള്‍ | ||
| + | |||
| + | i. Z = {0, 1, 2, ..., n, ...} സങ്കലനത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. '0' തത്സമകവും n എന്ന അംഗത്തിന്റെ വ്യുത്ക്രമം -n ഉം ആണ്. ഇത് ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്. | ||
| + | |||
| + | ii. പൂജ്യം ഉള്‍പ്പെടുത്താത്ത വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഒരു ഗുണനാത്മകമായ ഗ്രൂപ്പാണ്. '1' അതിന്റെ തത്സമകവും a എന്ന സഖ്യയുടെ വ്യുത്ക്രമം യും ആണ്. ഇത് ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്. | ||
| + | |||
| + | iii. Z എന്ന പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തില്‍ ≡ എന്ന ഒരു ബന്ധം ഇപ്രകാരം നിര്‍വചിക്കുക. | ||
| + | |||
| + | a, b എന്ന Z -ന്റെ അംഗങ്ങളെ n എന്ന അംഗംകൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ തുല്യമാണെങ്കില്‍ | ||
| + | |||
| + | a b (മോഡ് n) ആണ്. | ||
| + | |||
| + | 'a സര്‍വസമം b മോഡുലോ n' എന്നാണ് ഇത് വായിക്കുക. ഇത് ഒരു തുല്യതാബന്ധം (Equivalance relation) ആണ്. ഈ ബന്ധം Z-നെ n വര്‍ഗങ്ങളായി വിഭജനം ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ (0), (1), ..., (n-1) എന്ന n വര്‍ഗങ്ങള്‍ കിട്ടും. ഇപ്രകാരം Zn = {(0), (1), ... (n-1)} എന്ന ഗണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. (a), (b) ഇവ Z<sub>n</sub> -ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കില്‍, (a) + (b) = (a + b) എന്നു നിര്‍വചിക്കാന്‍ സാധിക്കും. (0) തത്സമകമാണ്. K + (n - k) = (0) ആയതുകൊണ്ട് (K) യുടെ വ്യുത്ക്രമം (n-k) ആണ്. Z ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്. | ||
| + | |||
| + | iv. എന്ന രൂപത്തിലുള്ള വാസ്തവിക സംഖ്യകളാല്‍ നിര്‍മിതമായ എല്ലാ അവിചിത്ര (Non-singular) മാട്രിക്സുകളുടെയും ഗണം M<sub>2</sub> എന്നിരിക്കട്ടെ. മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനത്തെ ഇപ്രകാരം നിര്‍വചിക്കാം. | ||
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol10scre03.png]] | ||
| + | |||
| + | ഈ ഗുണനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്ന ഒന്നാണ്. അവിചിത്ര മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനഫലം അവിചിത്രമാണ്. [[ചിത്രം:VolXscre004.png ]] എന്ന മാട്രിക്സ് M<sub>2</sub> -വിന്റ തത്സമകമാണ്. [[ചിത്രം:VolX scre05.png]] എന്ന മാട്രിക്സിന് [[ചിത്രം:VolX scr06.png]] വ്യുത്ക്രമമാണ്. ഇങ്ങനെ M<sub>2</sub> ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കിട്ടുന്നു. M<sub>2</sub> ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പല്ല. | ||
| + | |||
| + | (v) S = {1, 2, 3, ..., n} എന്നിരിക്കട്ടെ. S -ന്റെ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗണത്തെ S<sub>n</sub> എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം. σ, τ ഇവ രണ്ട് ക്രമചയങ്ങളാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക.എന്നതിനെ ആദ്യം -യും പിന്നീട് -യും നിര്‍വചിക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ക്രമചയമെന്ന് നിര്‍വചിക്കാം. ക്രമചയങ്ങളുടെ ഈ ഗുണനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കും. | ||
| + | |||
| + | എന്ന ക്രമചയം തത്സമകമായിരിക്കും. [[ചിത്രം:VolX scr07.png]] എന്ന ക്രമചയത്തിന് [[ചിത്രം:VolX scr08.png]] എന്ന ക്രമചയം വ്യുത്ക്രമമായിരിക്കും. ഇങ്ങനെ S<sub>n</sub> ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കിട്ടുന്നു. ഈ ഗ്രൂപ്പിന് n - ഘാത സമമിത ഗ്രൂപ്പ് (permutation group of ordern) എന്നു പറയും. | ||
| + | |||
| + | vi. C 4 = {1, -1, i, -i} എന്ന സങ്കീര്‍ണസംഖ്യകള്‍ (Complex numbers)ക്ക് ഗുണനം നിര്‍വചിക്കാം. ഗുണനഫലത്തെ ഒരു പട്ടികയില്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. | ||
08:53, 12 ഡിസംബര്‍ 2015-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം
Group Theory
അമൂര്‍ത്ത ബീജഗണിത (Abstract Algebra) ത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ശാഖ. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഏത് രണ്ടംഗങ്ങളെയും ചില വ്യവസ്ഥകള്‍ പാലിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്ക് വിധേയമാക്കാന്‍ സാധിക്കും. ഈ ക്രിയ സങ്കലനമോ ഗുണനമോ വേറെ ക്രിയയോ ആകാം.
ആമുഖം
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എ.ഡി. 20-ാം ശ.-ത്തിലാണ് പ്രാധാന്യം നേടിയത്. പ്രാചീന സംസ്കാരങ്ങളില്‍ത്തന്നെ സമമിതി (symmetry) എന്ന ആശയം ഉണ്ടായിരുന്നു. ഈജിപ്തിലെ ഭിത്തികളിലെ കലാത്മകമായ ചിത്രങ്ങളില്‍ 'സമമിതി' എന്ന ആശയം പ്രകടമായിട്ടുണ്ട്. ഈ 'സമമിതി'കളെ ഗ്രൂപ്പെന്ന സങ്കല്പംകൊണ്ട് വ്യക്തമാക്കാം. യൂക്ലിഡ് (ബി.സി. 3-ാം ശ.) എന്ന സുപ്രസിദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ (polygons), സമബഹുഫലകങ്ങള്‍ (regular polyhedra) എന്നിവയെപ്പറ്റി പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. പക്ഷേ, ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം എ.ഡി. 18-ാം ശ.-ത്തിലാണ് ആദ്യമായി ഉടലെടുത്തത്. ജോസഫ് ലൂയി ലഗ്റാഞ്ജ് (എ.ഡി. 1736-1813) ഗ്രൂപ്പുകളെപ്പറ്റി പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതിനുശേഷം അഗസ്റ്റിന്‍ ലൂയി കാഷി (1789-1857) ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളെ പരിഗണിച്ചു. എന്നാല്‍, ഗ്രൂപ്പുകള്‍ക്ക് പ്രാധാന്യം ഉണ്ടാകാന്‍ ഒരു പ്രത്യേക കാരണമുണ്ടായിരുന്നു. ബീജഗണിതത്തില്‍ 4-ാം ഘാതം വരെയുള്ള സമീകരണങ്ങളെ കരണികള്‍ ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍ധാരണം ചെയ്യാം. അതായത്, സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം, ഘാതം, മൂലം ഇവ ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍ധാരണമൂല്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ സാധിക്കും. പക്ഷേ, 5-ാം ഘാതത്തിലെ സമീകരണത്തിന് അത് സാധ്യമല്ല. ആബെല്‍ (1802-29) എന്ന നോര്‍വീജിയന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഇത് തെളിയിച്ചു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സാധ്യമാകാത്തത് എന്നുള്ള കാര്യം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഇവാരിസ്ത് ഗാല്‍വ (1811-32) എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ അനന്യസാധാരണമായ രീതിയില്‍ വിശദമാക്കി. അതിനുശേഷമാണ് ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നൈസര്‍ഗികമായ പ്രാധാന്യം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാര്‍ മനസ്സിലാക്കുകയും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം പഠനത്തിന് വിധേയമാക്കുകയും ചെയ്തത്. ഇപ്പോള്‍ അമൂര്‍ത്തബീജഗണിതത്തിന്റെ ലളിതവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ഒരു ശാഖയാണ് ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം. ഗണിതത്തിന്റെ പല ശാഖകളിലും, ഭൗതികം, രസതന്ത്രംപോലുള്ള ഇതര ശാസ്ത്രങ്ങളിലും, ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോജനപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.
ഗ്രൂപ്പുകള്‍
ബീജഗണിതത്തിലെ ഒരു ആധാര തത്ത്വമാണ് ദ്വിചരക്രിയ (Binary operation). X ഒരു അശൂന്യഗണം (non-empty) എന്നിരിക്കട്ടെ. X-ലെ ഏത് രണ്ടംഗങ്ങള്‍ക്കും സംഗതമായി (corresponding to) ഗണത്തിലെ ഒരംഗം നിര്‍വചിക്കുന്നതിനെയാണ് ദ്വിചരക്രിയ എന്നുപറയുന്നത്. അതായത്. X x X-ല്‍ നിന്നും X-ലേക്കുള്ള ഒരു ഫലനമാണ് ദ്വിചരക്രിയ. ഉദാഹരണമായി N = {1,2,3, ...} എന്നിരിക്കട്ടെ. N-ല്‍ സങ്കലനം എന്ന ക്രിയ നിര്‍വചിക്കാം. '+' എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് അതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
N-ലെ a,b എന്ന ഏത് അംഗങ്ങള്‍ക്കും a + b എന്ന സങ്കലനഫലമുണ്ട്. അതുപോലെ N-ലെ a,b എന്ന ഏത് അംഗങ്ങള്‍ക്കും 'x' എന്ന ഗുണനം നിര്‍വചിക്കാം. മ,യ ഇവയുടെ ഗുണനഫലം മഃയ ആണ്.
A = {1, 2, 3} എന്നിരിക്കട്ടെ. A - ക്ക് 6 ക്രമചയങ്ങള്‍ ഉണ്ട്. ഈ ക്രമചയങ്ങളെ 
എന്ന രീതിയില്‍ സൂചിപ്പിക്കാം. ഇവിടെ a1, a2, a3 എന്നിവ ഏതെങ്കിലും ക്രമത്തില്‍ എഴുതപ്പെട്ട 1,2,3 എന്ന സഖ്യകളാണ്. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ക്രമചയങ്ങള്‍ ഇപ്രകാരമാണ്.
σ, τ എന്നീ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായ എന്ന ക്രമചയത്തെ ഇങ്ങനെ നിര്‍വചിക്കാം. ആദ്യം എന്ന ക്രമചയത്തെ നിര്‍വചിക്കുക. പിന്നീട് എന്ന ക്രമചയം നിര്‍വചിക്കുക. അപ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ക്രമചയമാണ് .
ഉദാഹരണമായി എന്നുകിട്ടും.
ദ്വിചരക്രിയയെ +, ⦁, *, ⊕ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങള്‍കൊണ്ടോ അല്ലെങ്കില്‍ സാന്നിധ്യംകൊണ്ടോ സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. സാധാരണയായി സാന്നിധ്യം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. അതായത് a, b ഇവയുടെ ദ്വിചരക്രിയമൂലം കിട്ടുന്ന ഫലത്തെ വേറെ ചിഹ്നങ്ങളൊന്നും കൂടാതെ, ab എന്നു മാത്രം. X, ഒരു ദ്വിചരക്രിയയുള്ള ഗണമെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. a, b, c ε X എന്നിരിക്കട്ടെ. a (bc) = (ab) c ആണെങ്കില്‍, ദ്വിചരക്രിയയെ സാഹചര്യക്രിയ എന്നുപറയുന്നു. ദ്വിചരക്രിയ സാഹചര്യ നിയമം (Associative law) അനുസരിക്കുന്നു എന്നു പറയും.
ഒരു ദ്വിചരക്രിയ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള അശൂന്യഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പോയ്ഡ് എന്നുപറയും. അത് സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതിനെ അര്‍ധഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയാം. യൂക്ലിഡിയന്‍ ത്രിവിമേയ സദിശങ്ങള്‍ സദിശഗുണനം എന്ന ക്രിയയോടുകൂടിയ ഗ്രൂപ്പോയ്ഡ് ആണ്. എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തോടുകൂടിയ ഒരു അര്‍ധഗ്രൂപ്പ് (semi group) ആണ്.
S ഒരു ദ്വിചരക്രിയയോടുകൂടിയ ഗണമെന്നിരിക്കട്ടെ. S-ലെ a എന്ന ഓരോ അംഗത്തിനും ae = a (ea = a) എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന e എന്ന അംഗം S-ല്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതിനെ ദക്ഷിണ (വാമ) തത്സമകം [right (left) identity] എന്നുപറയും. ഒരു വാമ ദക്ഷിണ തത്സമകത്തെ (left right identity) തത്സമകം എന്നുപറയും. a എന്ന അംഗത്തിന് aa-1 = e, (a-1a = e) എന്ന വ്യവസ്ഥ അനുസരിക്കുന്ന a-1 എന്ന അംഗമുണ്ടെങ്കില്‍, അതിനെ ദക്ഷിണ (വാമ) വ്യുത്ക്രമം [right (left) inverse] എന്നു പറയാം. ഇവിടെ ല ഒരു വാമതത്സമകമോ ദക്ഷിണ തത്സമകമോ ആകാം. ഒരു വാമ, ദക്ഷിണ വ്യുത്ക്രമത്തെ വ്യുത്ക്രമം (inverse) എന്നു പറയുന്നു.
ഒരു തത്സമകത്തോടു കൂടിയ അര്‍ധഗ്രൂപ്പിന് മോണോയ്ഡ് എന്നു പറയും. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഗുണനക്രിയയോടുകൂടിയ മോണോയ്ഡ് ആണ്. അതിന്റെ തത്സമകം '1' എന്ന അംഗമാണ്.
മുകളില്‍ വിവരിച്ചിട്ടുള്ള തത്ത്വങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ നിര്‍വചിക്കാം.
താഴെ പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ അനുസരിക്കുന്ന G എന്ന അശൂന്യഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു.
G1 : G ഒരു അര്‍ധഗ്രൂപ്പാണ്.
G2 : G-യില്‍ ഒരു തത്സമകം ഉണ്ട്. അതായത് a എന്ന G-യിലെ ഏത് അംഗത്തിനും ae = ea = a എന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന e എന്ന അംഗം ഉണ്ട്.
G3 : G-യിലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വ്യുത്ക്രമം ഉണ്ട്. അതായത് G-യിലെ a എന്ന ഏത് അംഗത്തിനും aa-1 = a-1a = e എന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന a-1 എന്ന അംഗം ഉണ്ട്.
യഥാര്‍ഥത്തില്‍ ഈ വ്യവസ്ഥകളില്‍ അയവു വരുത്താവുന്നതാണ്. താഴെക്കൊടുത്തിട്ടുള്ള പ്രമേയ (theorem)ത്തില്‍ നിന്നു അത് വ്യക്തമാകും.
പ്രമേയം 2.1. G എന്ന അര്‍ധഗ്രൂപ്പില്‍ താഴെ പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ തുല്യമാണ്.
AG1 : G ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്;
AG2 : G - യില്‍ ഒരു വാമ തത്സമകവും, ഓരോ അംഗത്തിനും ഒരു വാമ വ്യുത്ക്രമവും ഉണ്ട്;
AG3 : G -യില്‍ ഒരു ദക്ഷിണ തത്സമകവും ഓരോ അംഗത്തിനും ഒരു ദക്ഷിണ വ്യുത്ക്രമവും ഉണ്ട്.
ഗ്രൂപ്പിലെ തത്സമകം ഏകമാത്രം (unique) ആണ്. e, e' രണ്ട് തത്സമകങ്ങള്‍ എന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍,
e = e.e' (e' തത്സമകമായതുകൊണ്ട്)
= e' (e' തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) എന്നു കിട്ടും.
അതുപോലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വ്യുത്ക്രമവും ഏകമാത്രമാണ്. a എന്ന അംഗത്തിന് a', a എന്ന രണ്ടു വ്യുത്ക്രമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്‍,
a' = a' e
= a' (aa) ; aa തത്സമകമായതുകൊണ്ട്)
= a (a'a തത്സമകമായതുകൊണ്ട്) എന്നു കിട്ടും.
ദ്വിചരക്രിയ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഒരു ഗണം ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ അയവു വരുത്തിയ വ്യവസ്ഥകള്‍ സഹായകരമായിരിക്കും. പക്ഷേ, ഗ്രൂപ്പിന്റെ സവിശേഷതകള്‍ പറയുമ്പോള്‍ അയവുവരുത്താത്ത, കര്‍ശന നിബന്ധനകള്‍ പ്രയോജനപ്രദമായിരിക്കും.
ഗ്രൂപ്പിന് പല സവിശേഷതകള്‍ ഉണ്ട്. രണ്ട് പ്രധാന സവിശേഷതകള്‍ താഴെപ്പറയുന്ന പ്രമേയത്തില്‍ ചേര്‍ക്കുന്നു.
പ്രമേയം 2.2 (i). G ഒരു ഗ്രൂപ്പെന്നും, a, b, c G -യിലെ അംഗങ്ങളെന്നുമിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ ab = ac എങ്കില്‍ b = c ആയിരിക്കും. ba = ca എങ്കില്‍ b = c ആയിരിക്കും.
(ii) ax = b എന്ന സമീകരണത്തിന് ഏകമാത്ര നിര്‍ധാരണമൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും; ya = b എന്ന സമീകരണത്തിന് ഏകമാത്ര നിര്‍ധാരണമൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും.
(i) -ലെ സവിശേഷതകളെ ക്രമേണ വാമ (left) ദക്ഷിണ (right) നിരാസ നിയമങ്ങള്‍ (cancellation laws) എന്നു പറയുന്നു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പില്‍ a, b എന്ന ഏത് അംഗങ്ങളും ab = ba എന്ന നിയമം അനുസരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതിനെ ക്രമവിനിമേയ ഗ്രൂപ്പ് (commutative group) അല്ലെങ്കില്‍ ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പ് എന്നു പറയുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഇതരശാസ്ത്രങ്ങളിലും വളരെ സാധാരണയായി കണ്ടുവരുന്ന ഒരു ബീജീയഘടന (Algebraic structure) ആണ് ഗ്രൂപ്പ്. ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണങ്ങള്‍
i. Z = {0, 1, 2, ..., n, ...} സങ്കലനത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. '0' തത്സമകവും n എന്ന അംഗത്തിന്റെ വ്യുത്ക്രമം -n ഉം ആണ്. ഇത് ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്.
ii. പൂജ്യം ഉള്‍പ്പെടുത്താത്ത വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഒരു ഗുണനാത്മകമായ ഗ്രൂപ്പാണ്. '1' അതിന്റെ തത്സമകവും a എന്ന സഖ്യയുടെ വ്യുത്ക്രമം യും ആണ്. ഇത് ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്.
iii. Z എന്ന പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തില്‍ ≡ എന്ന ഒരു ബന്ധം ഇപ്രകാരം നിര്‍വചിക്കുക.
a, b എന്ന Z -ന്റെ അംഗങ്ങളെ n എന്ന അംഗംകൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ തുല്യമാണെങ്കില്‍
a b (മോഡ് n) ആണ്.
'a സര്‍വസമം b മോഡുലോ n' എന്നാണ് ഇത് വായിക്കുക. ഇത് ഒരു തുല്യതാബന്ധം (Equivalance relation) ആണ്. ഈ ബന്ധം Z-നെ n വര്‍ഗങ്ങളായി വിഭജനം ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ (0), (1), ..., (n-1) എന്ന n വര്‍ഗങ്ങള്‍ കിട്ടും. ഇപ്രകാരം Zn = {(0), (1), ... (n-1)} എന്ന ഗണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. (a), (b) ഇവ Zn -ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കില്‍, (a) + (b) = (a + b) എന്നു നിര്‍വചിക്കാന്‍ സാധിക്കും. (0) തത്സമകമാണ്. K + (n - k) = (0) ആയതുകൊണ്ട് (K) യുടെ വ്യുത്ക്രമം (n-k) ആണ്. Z ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പാണ്.
iv. എന്ന രൂപത്തിലുള്ള വാസ്തവിക സംഖ്യകളാല്‍ നിര്‍മിതമായ എല്ലാ അവിചിത്ര (Non-singular) മാട്രിക്സുകളുടെയും ഗണം M2 എന്നിരിക്കട്ടെ. മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനത്തെ ഇപ്രകാരം നിര്‍വചിക്കാം.
ഈ ഗുണനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്ന ഒന്നാണ്. അവിചിത്ര മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനഫലം അവിചിത്രമാണ്. 
എന്ന മാട്രിക്സ് M2 -വിന്റ തത്സമകമാണ്. 
എന്ന മാട്രിക്സിന് 
വ്യുത്ക്രമമാണ്. ഇങ്ങനെ M2 ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കിട്ടുന്നു. M2 ഒരു ആബെല്‍ ഗ്രൂപ്പല്ല.
(v) S = {1, 2, 3, ..., n} എന്നിരിക്കട്ടെ. S -ന്റെ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗണത്തെ Sn എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം. σ, τ ഇവ രണ്ട് ക്രമചയങ്ങളാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക.എന്നതിനെ ആദ്യം -യും പിന്നീട് -യും നിര്‍വചിക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ക്രമചയമെന്ന് നിര്‍വചിക്കാം. ക്രമചയങ്ങളുടെ ഈ ഗുണനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കും.
എന്ന ക്രമചയം തത്സമകമായിരിക്കും. 
എന്ന ക്രമചയത്തിന് 
എന്ന ക്രമചയം വ്യുത്ക്രമമായിരിക്കും. ഇങ്ങനെ Sn ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കിട്ടുന്നു. ഈ ഗ്രൂപ്പിന് n - ഘാത സമമിത ഗ്രൂപ്പ് (permutation group of ordern) എന്നു പറയും.
vi. C 4 = {1, -1, i, -i} എന്ന സങ്കീര്‍ണസംഖ്യകള്‍ (Complex numbers)ക്ക് ഗുണനം നിര്‍വചിക്കാം. ഗുണനഫലത്തെ ഒരു പട്ടികയില്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
