This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.

Reading Problems? see Enabling Malayalam

അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

(തിരഞ്ഞെടുത്ത പതിപ്പുകള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം)
(അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍)
 
(ഇടക്കുള്ള 17 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.)
വരി 2: വരി 2:
Interpolation Extrapolation
Interpolation Extrapolation
-
പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (T)യും ഘനമാന(V)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(bivariate table) ഉണ്ടാകുന്നു. (Ti, Vi) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (corresponding pairs of values). i= 1,2, ...., k എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് ഠശയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഢശ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ Tiയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ Viമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.
+
പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (T)യും ഘനമാന(V)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(bivariate table) ഉണ്ടാകുന്നു. (Ti, Vi) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (corresponding pairs of values). i= 1,2, ...., k എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം k ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് Tiയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ Vi മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ Tiയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ Viമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.
സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(Numerical analysis)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.
സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(Numerical analysis)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.
വരി 10: വരി 10:
(Graphic method).  
(Graphic method).  
-
പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytical Geometry)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (axes of co-ordinate) പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (smooth curve) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (estimate) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
+
പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytical Geometry)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (axes of co-ordinate)  
 +
[[Image:p.no.529.jpg|thumb|150x120px|left]]
 +
പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (smooth curve) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (estimate) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
==ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍==  
==ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍==  
-
പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. x, y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(depended variable)വും സ്വതന്ത്രചര(ശിറലുലിറലി ്മൃശമയഹല)വും ആണെങ്കില്‍, x-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് y-ക്ക് u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, u<sub>4</sub>, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് u<sub>-1</sub>, u<sub>-2</sub>, u<sub>-3</sub>..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ u<sub>r+1</sub> -u<sub>r</sub> ന് &delta;u<sub>r</sub> എന്നും &delta;<sub>r+1</sub> -&delta;u<sub>r</sub> ന് &delta;<sup>2</sup> എന്നും &delta;<sup>2+1 ബ??2ൌൃ ന് ?3ൌൃ എന്നും ഈ ക്രമത്തില്‍ തുടര്‍ന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങള്‍ക്കും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് താഴെയുള്ള വ്യത്യാസപ്പട്ടികയുണ്ടാക്കാവുന്നതാണ്.
+
പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. x, y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(depended variable)വും സ്വതന്ത്രചര(independent variable)വും ആണെങ്കില്‍, x-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് y-ക്ക് u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, u<sub>4</sub>, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് u<sub>-1</sub>, u<sub>-2</sub>, u<sub>-3</sub>..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ u<sub>r+1</sub> -u<sub>r</sub> ന് &Delta;u<sub>r</sub> എന്നും &Delta;u<sub>r+1</sub>-&Delta;u<sub>r</sub> ന് &Delta;<sup>2</sup>u<sub>r</sub> എന്നും &Delta;<sup>2</sup>u<sub>r+1</sub>-&Delta;<sup>2</sup>u<sub>r</sub> ന് &Delta;<sup>3</sup>u<sub>r</sub> എന്നും ഈ ക്രമത്തില്‍ തുടര്‍ന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങള്‍ക്കും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് താഴെയുള്ള വ്യത്യാസപ്പട്ടികയുണ്ടാക്കാവുന്നതാണ്.
-
വ്യത്യാസപ്പട്ടിക
+
[[Image:p563a.png]]
-
 
+
-
    ൌ ??ൌ ??2ൌ ? 3ൌ ???ൌ
+
-
 
+
-
  ൌ2 ??ൌ2 ??2ൌ2 ??3ൌ2 ???ൌ2
+
-
 
+
-
  ൌ1 ??ൌ1 ? 2ൌ1 ??3ൌ1 ???ൌ1
+
-
 
+
-
  ൌ0 ??ൌ0 ??2ൌ0 ??3ൌ0
+
-
 
+
-
  ൌ1 ??ൌ1 ? 2ൌ1
+
-
 
+
-
  ൌ2 ?ൌ2    ....      ....      ....
+
-
 
+
-
  ൌ3 ......        ....          ....  ....
+
ഈ പട്ടികയില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു കോളത്തില്‍ ഒരേ മൂല്യം വന്നാല്‍ അടുത്ത കോളം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഒരേ മൂല്യം വരുന്ന കോളം എത്തുകയോ കൂടുതല്‍ കോളം തയ്യാറാക്കാന്‍ സാധിക്കാത്ത അവസ്ഥയിലെത്തുകയോ ചെയ്താല്‍ പട്ടിക അവസാനിച്ചതായി കരുതാം.
ഈ പട്ടികയില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു കോളത്തില്‍ ഒരേ മൂല്യം വന്നാല്‍ അടുത്ത കോളം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഒരേ മൂല്യം വരുന്ന കോളം എത്തുകയോ കൂടുതല്‍ കോളം തയ്യാറാക്കാന്‍ സാധിക്കാത്ത അവസ്ഥയിലെത്തുകയോ ചെയ്താല്‍ പട്ടിക അവസാനിച്ചതായി കരുതാം.
-
അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍ (ട്യായീഹ ീള ീുലൃമശീിേ). ഋ, ? എന്നിവയാണ് സര്‍വസാധാരണമായ പ്രതീകങ്ങള്‍. ള(ഃ) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഃ-ന് മ, മ+1, മ+2, മ+3 എന്നിങ്ങനെയാകുമ്പോള്‍ ള(മ), ള(മ+1), ള(മ+2) എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നതാണ്; ഇവ ക്രമത്തില്‍ ഋ0 ള(മ), ഋ1ള(മ), ഋ2 ള(മ), ഋ3 ള(മ) എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍നിന്നു ഋയുടെ അര്‍ഥം മനസ്സിലാക്കാം. ?ള(മ) = ള(മ+1)  ള(മ),
+
==അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍==  
-
 
+
-
?ള(മ+1) = ള(മ+2)  ള(മ+1). ഋ1 നും ??ക്കും ഒരേ വിധത്തിലുള്ള ഫലമാണ്. അതായത്,
+
-
 
+
-
?ള(മ) = (ഋ1) ള(മ). ഈ ബന്ധമുപയോഗിച്ച് ?ി = (ഋ1)ി എന്നും ഋി =    ???1)ി  എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
+
-
 
+
-
ന്യൂട്ടന്റെ അന്തര്‍ഗണനഫോര്‍മുല
+
-
 
+
-
ൌമ+ി = ഋി ൌമ = (1+ ?)ി ൌമ
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
   
+
(Symbols of operation)
-
മ = 0 എന്നെടുത്താല്‍ ന്യൂട്ടന്റെ 'മുന്നോക്കഫോര്‍മുല' (എീൃംമൃറ ളീൃാൌഹമ) താഴെ കാണുന്ന വിധത്തിലെഴുതാം:
+
E, &Delta; എന്നിവയാണ് സര്‍വസാധാരണമായ പ്രതീകങ്ങള്‍. f(x) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ x-ന് a, a+1, a+2, a+3 എന്നിങ്ങനെയാകുമ്പോള്‍ f(a), f(a+1), f(a+2) എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നതാണ്; ഇവ ക്രമത്തില്‍ E<sup>0</sup> f(a), E<sup>1</sup>f(a), E<sup>2</sup> f(a), E<sup>3</sup>f(a) എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍നിന്നു Eയുടെ അര്‍ഥം മനസ്സിലാക്കാം. &Delta;f(a) = f(a+1) - f(a),
 +
&Delta;f(a+1) = f(a+2) - f(a+1). E-1 നും &Delta;ക്കും ഒരേ വിധത്തിലുള്ള ഫലമാണ്. അതായത്,
 +
&Delta;f(a) = (E-1) f(a). ഈ ബന്ധമുപയോഗിച്ച് &Delta;<sup>n</sup> = (E-1)<sup>n</sup> എന്നും E<sup>n</sup> = (&Delta;+1)<sup>n</sup>  എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
 +
[[Image:p563b.png]]
 +
 
ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം
ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം
 +
[[Category:സാംഖ്യികം]]

Current revision as of 10:44, 25 നവംബര്‍ 2014

ഉള്ളടക്കം

അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം

Interpolation Extrapolation

പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (T)യും ഘനമാന(V)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(bivariate table) ഉണ്ടാകുന്നു. (Ti, Vi) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (corresponding pairs of values). i= 1,2, ...., k എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം k ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് Tiയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ Vi മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ Tiയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ Viമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.

സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(Numerical analysis)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.

ലേഖാ-ഗണനം

(Graphic method).

പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytical Geometry)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (axes of co-ordinate)

പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (smooth curve) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (estimate) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍

പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. x, y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(depended variable)വും സ്വതന്ത്രചര(independent variable)വും ആണെങ്കില്‍, x-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് y-ക്ക് u0, u1, u2, u3, u4, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് u-1, u-2, u-3..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ ur+1 -ur ന് Δur എന്നും Δur+1-Δur ന് Δ2ur എന്നും Δ2ur+12ur ന് Δ3ur എന്നും ഈ ക്രമത്തില്‍ തുടര്‍ന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങള്‍ക്കും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് താഴെയുള്ള വ്യത്യാസപ്പട്ടികയുണ്ടാക്കാവുന്നതാണ്.

Image:p563a.png

ഈ പട്ടികയില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു കോളത്തില്‍ ഒരേ മൂല്യം വന്നാല്‍ അടുത്ത കോളം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഒരേ മൂല്യം വരുന്ന കോളം എത്തുകയോ കൂടുതല്‍ കോളം തയ്യാറാക്കാന്‍ സാധിക്കാത്ത അവസ്ഥയിലെത്തുകയോ ചെയ്താല്‍ പട്ടിക അവസാനിച്ചതായി കരുതാം.

അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍

(Symbols of operation)

E, Δ എന്നിവയാണ് സര്‍വസാധാരണമായ പ്രതീകങ്ങള്‍. f(x) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ x-ന് a, a+1, a+2, a+3 എന്നിങ്ങനെയാകുമ്പോള്‍ f(a), f(a+1), f(a+2) എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നതാണ്; ഇവ ക്രമത്തില്‍ E0 f(a), E1f(a), E2 f(a), E3f(a) എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍നിന്നു Eയുടെ അര്‍ഥം മനസ്സിലാക്കാം. Δf(a) = f(a+1) - f(a),

Δf(a+1) = f(a+2) - f(a+1). E-1 നും Δക്കും ഒരേ വിധത്തിലുള്ള ഫലമാണ്. അതായത്,

Δf(a) = (E-1) f(a). ഈ ബന്ധമുപയോഗിച്ച് Δn = (E-1)n എന്നും En = (Δ+1)n എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.

Image:p563b.png

ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം

താളിന്റെ അനുബന്ധങ്ങള്‍
സ്വകാര്യതാളുകള്‍