This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ഗണിതശാസ്ത്ര പട്ടികകള്‍
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
ഗണിതശാസ്ത്ര പട്ടികകള്‍
ഗണിതശാസ്ത്രസംബന്ധിയായ പട്ടികകള്‍. ശാസ്ത്ര-മാനവിക-സാങ്കേതിക വിഷയങ്ങളിലെ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പത്തില്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യാന്‍ ഇവ സഹായിക്കുന്നു. എന്‍ജിനീയര്‍, ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍, ഭൗതിക-രസതന്ത്രശാസ്ത്രങ്ങളില്‍ ഗവേഷണം നടത്തുന്നവര്‍ തുടങ്ങിയവര്‍ക്കൊക്കെ പ്രധാനപ്പെട്ട പല ഗണിതഫലനങ്ങളുടെയും ഗണിത-ഭൌതിക സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെയും വിലകള്‍ അനായാസേന ലഭ്യമാകുന്നത് ഈ പട്ടികകളില്‍ നിന്നാണ്. ബി.സി. 1700-നു മുമ്പെഴുതപ്പെട്ട ഈജിപ്തുകാരുടെ ഗണിതഗ്രന്ഥമായ റിന്‍ഡ് പേപ്പറസില്‍ (Rhind Papyrus) ഭിന്നങ്ങളുടെ സങ്കലനം സംബന്ധിച്ച സംഖ്യാത്മക മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നതു കാണാം. ബാബിലോണിയക്കാരുടെ, ബി.സി. 2000-ത്തോളം പഴക്കമേറിയ രേഖകളില്‍ ഗുണനഫലങ്ങളും വ്യുത്ക്രമങ്ങളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പട്ടികകളുടെ ആദിരൂപം ദൃശ്യമാണ്. നിഴലിന്റെ നീളമളന്നു സമയം നിര്‍ണയിക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന ഒരു രീതി കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് ഓരോ മാസത്തെയും നിഴല്‍ നീളവും സമയവും ബന്ധപ്പെടുത്തി 'നിഴല്‍-സമയപ്പട്ടിക' തയ്യാറാക്കി പഴമക്കാര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ആര്യഭടീയത്തില്‍ (എ.ഡി. 499) നിര്‍ദിഷ്ട ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തചതുര്‍ഥാംശത്തിലെ 24 കോണങ്ങളുടെ അര്‍ധജ്യാവുകള്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട് (ഹിന്ദു-സൈന്‍ പട്ടിക). ജ്യാവുവിലകളില്‍ നിന്ന് കോണങ്ങളുടെ സൈനുകള്‍ (Sines) കണക്കാക്കാം.
സാധാരണയായി ഒരു പട്ടികയില്‍ x എന്ന സ്വതന്ത്രചരത്തിന്റെ പല വിലകള്‍ക്കും f(x) എന്ന ഫലനം സ്വീകരിക്കുന്ന വിലകള്‍ പല ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങള്‍ വളരെ കൃത്യമായി കൊടുക്കുന്നു.x-ന്റെ വിലകള്‍ക്ക് log x, sin x, cos x, tan x തുടങ്ങിയുള്ള ഗണിതഫലനങ്ങളുടെ വിലകള്‍ പട്ടികയില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കാം. കൂടാതെ ഗണിതസൂത്രങ്ങള്‍; π e തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വിലകള്‍, ക്ഷേത്രഗണിത സംബന്ധിയായ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണം, വ്യാപ്തം ഇവ കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍; പദാര്‍ഥങ്ങളുടെ ഘനത്വം (density); മൂലകങ്ങളുടെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങള്‍; അന്തരീക്ഷമര്‍ദം; സാംഖ്യികത്തിലെ (Statistics) വിതരണമൂലങ്ങള്‍ എന്നിങ്ങനെ നിരവധി ശാസ്ത്രീയ വസ്തുതകള്‍ പട്ടികകളില്‍ ചേര്‍ത്തുകാണാം. ഗണിതീയ കലനങ്ങളില്‍ ഒന്നുമുതല്‍ നൂറു വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗം, ഘനം, വര്‍ഗമൂലം, ഘനമൂലം വ്യുത്ക്രമമൂല്യം എന്നിവയും ഈ 'കണക്കു പുസ്തക'ത്തിലുണ്ട്. പട്ടികയില്‍ സ്വതന്ത്രചര(x)ത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ കോണാങ്കം (Argument) എന്നും ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യമെന്തെന്നു കണക്കാക്കി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ പട്ടികാവില(tabular entry) എന്നും പറയുന്നു. ഉദാ.x-ന്റെ 1 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള കോണാങ്കവിലകള്‍ക്ക് log x-ന്റെ വില (മാന്റിസയുടെ വില) നാലു ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി ലോഗരിതപ്പട്ടികയിലുണ്ട്. കോണാങ്കത്തിന്റെ കോളത്തില്‍ അടുത്തുവരുന്ന രണ്ടു വിലകള്‍ക്കിടയിലെ ചെറിയ മാറ്റങ്ങള്‍ക്ക് ഫലനത്തിന്റെ-logx-ന്റെ വിലയില്‍ വരുന്ന ചെറിയ വ്യതിയാനം കുറിക്കുന്ന സംഖ്യകളും പട്ടികാരൂപത്തില്‍ കൊടുത്തിരിക്കും. ഈ കോളങ്ങള്‍ക്ക് മാധ്യാന്തരങ്ങളുടെ പട്ടിക (Table of mean differences) എന്നു പറയുന്നു. പൊതുവായി, ഒരു പട്ടികയില്‍ കോണാങ്കമൂല്യങ്ങള്‍, പട്ടികാവിലകള്‍, മാധ്യാന്തരമൂല്യങ്ങള്‍ എന്നിങ്ങനെ മൂന്നു പ്രധാനഭാഗങ്ങളുണ്ട്.
ഈജിപ്തുകാരും ഗ്രീക്കുകാരും പട്ടികകള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നെങ്കിലും ആധുനിക രീതിയിലുള്ള പട്ടിക ആദ്യമായി പ്രകാശിതമായിരിക്കുന്നത് ടോളമി (Ptolemy)യുടെ അല്‍മജെസ്റ്റ് (Almagest) എന്ന കൃതിയിലാണ്. എ.ഡി. 150-നോടടുത്തു തയ്യാറാക്കിയ ഈ പട്ടികയില്‍ ഒരു വൃത്തത്തിലെ ജ്യാവുക(chords)ളുടെ വിലകള്‍ ഒന്നര ഡിഗ്രി വീതം ഇടവിട്ട കോണാങ്കങ്ങള്‍ക്ക് ആറു ദശാംശസ്ഥാനം വരെ സൂക്ഷ്മമായി നല്കുന്നുണ്ട്. ആദ്യകാല ഗവേഷകരില്‍ പലരും പട്ടികകള്‍ നിര്‍മിക്കുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നെങ്കിലും ഇന്നത്തെ രീതിയിലുള്ള പട്ടികകള്‍ വ്യാപകമായത് 15-ാം ശതകത്തോടെയാണ്. ജോര്‍ജ് ഫൊണ്‍ പ്യൂര്‍ബാക് (George Von Peurbach), റെജിയോ മൊണ്ടാനസ് (Regio Montanus) എന്നിവരുടെ നേതൃത്വത്തിലാണ് ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളായ സൈന്‍, ടാന്‍ജന്റ് എന്നിവയുടെ പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കപ്പെട്ടത്. പട്ടികാനിര്‍മാണം ശ്രമകരമായ ജോലിയാണ്. ഫലനത്തിന്റെ വിലയിലെ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് ജോലിയുടെ ഭാരവും വര്‍ധിച്ചുവരുന്നു. റെറ്റിക്കസ് (Rhaticus), ഓഥോ (Otho), പിറ്റിസ്കസ് (Pitiscus) എന്നിവര്‍ പട്ടികാനിര്‍മാണത്തില്‍ ഏര്‍പ്പെട്ടവരാണ്. ഇവരുടെ കൃതികളാണ് ആധുനിക പട്ടികകള്‍ക്ക് തുടക്കമിട്ടത്. കോണാങ്കങ്ങളുടെ 10 സെക്കന്‍ഡ് ഇടവിട്ട വിലകള്‍ക്ക് 15 ദശാംശസ്ഥാനം വരെയുള്ള സൈന്‍ പട്ടിക റെറ്റിക്കസ് (1514-76) തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. കണക്കുകൂട്ടല്‍ വിദഗ്ധരായ പലരുടെയും സഹായമുണ്ടായിട്ടും പന്ത്രണ്ടു വര്‍ഷത്തോളം വേണ്ടിവന്നു ഇതു പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍.
ഒരു ഫലനത്തിന്റെ പട്ടിക തയ്യാറാക്കുമ്പോള്‍ ആ പട്ടികയിലെ കോണാങ്കത്തിന്റെ വിലകള്‍ ഏതു മുതല്‍ ഏതുവരെ സ്വീകരിക്കണം, ഫലനത്തിന്റെ ഗണിതീയമായ സവിശേഷതകള്‍ എന്തെല്ലാം, പട്ടികാവിലകള്‍ എത്ര ദശാംശം വരെ കൃത്യമായി കാണണം, പട്ടികയുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമായി വരുന്ന മേഖലകള്‍ ഏതെല്ലാം എന്നിവ പരിഗണിക്കേണ്ടിവരുന്നു. പട്ടികാവിലകള്‍ പല ഗണിതസങ്കേതങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടിയാണ് നിര്‍ണയിക്കുന്നത്. കൂടുതല്‍ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിച്ച് ആവശ്യമായ ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ഏകദേശനം (approximation) നടത്തുകയാണ് പതിവ്. ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളുടെ പട്ടിക തയ്യാറാക്കുമ്പോള്‍ കോണാങ്കത്തിന്റെ വില ഡിഗ്രി, മിനിട്ട് എന്നിവയിലാണ് എടുക്കുന്നതെങ്കില്‍ കോണാങ്കത്തിന്റെ 0 മുതല്‍ 90ബ്ബ വരെയുള്ള വിലകള്‍ക്ക് ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിച്ചാല്‍ മതിയാകുന്നതാണ്. പട്ടിക തയ്യാറാക്കുമ്പോള്‍ മിക്കവാറും കണക്കുകൂട്ടലുകളെല്ലാം അഭികേന്ദ്രസാരി(convergent)യായ അനന്തശ്രേണികളെ ആശ്രയിച്ചാണ് നടത്താറുള്ളത്. ഘാതശ്രേണി (Power Series), തുടര്‍ഭിന്നം (Continued fraction), ഉപഗാമിശ്രേണി (Asymptotic Series), ലംബഫലനം (Orthogonal function) ആധാരമാക്കിയുള്ള വിപുലനം, പുനരാവൃത്തി പ്രക്രിയ (iterative process) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് കോണാങ്കത്തിന്റെ മറ്റു വിലകള്‍ക്ക് ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി കണക്കാക്കിയെടുക്കാം.
മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്നതില്‍ സംഖ്യാത്മക വിസ്ലേഷണത്തിലെ (Numerical Analysis) രീതികളും അവലംബിക്കാറുണ്ട്.
പട്ടികാവിലകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. ചില പ്രത്യേക കോണാങ്കങ്ങള്‍ക്ക് ഫലനത്തിന്റെ പട്ടികാവിലകള്‍ കണക്കാക്കിയെടുക്കുന്നു. ഈ വിലകള്‍ നിര്‍ണയിക്കുമ്പോള്‍ പട്ടികയില്‍ വിലകള്‍ക്ക് വേണ്ടത്ര ദശാംശ സ്ഥാനത്തെക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു വില കണക്കു കൂട്ടിയിരിക്കും. പ്രത്യേക കോണാങ്കങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ വരുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്ക് ഫലനത്തിന്റെ വില കണക്കാക്കിയെടുക്കുന്നത് അന്തര്‍ഗണനം (interpolation) എന്ന പ്രക്രിയയിലൂടെയാണ്. ഫലനത്തിന്റെ വിലകള്‍ നാലു ദശാംശസ്ഥാനംവരെ കൃത്യമായി തയ്യാറാക്കിയ പട്ടിക (നാലക്കപ്പട്ടിക-Four figure table)യാണ് സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഗവേഷണപരമായ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്ക് കൂടുതല്‍ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍വരെ വില കണക്കാക്കിയ പട്ടികകളും ലഭ്യമാണ്.
1614-ല്‍ ജോണ്‍ നേപ്പിയര്‍ (John Napier) ലോഗരിതപ്പട്ടികയും 1620-ല്‍ സ്വിസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജൂസ്റ്റ് ബൂര്‍ഗി (Joost Burgi) ആന്റിലോഗരിതപ്പട്ടികയും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്ര സംബന്ധിയായ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ ലഘൂകരിക്കുക എന്ന ഉദ്ദേശ്യത്തോടെയാണ് ഇവ തയ്യാറാക്കിയത്. ഇപ്പോള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്ന ലോഗരിതപ്പട്ടിക (Table of Natural logarithms)യുടെ ആധാരം e എന്ന അപരിമേയസംഖ്യ (e = 2.7182...) ആണ്. എന്നാല്‍ 1614-ല്‍ എട്ടു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനു ശരിയായി നേപ്പിയര്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ലോഗരിതപ്പട്ടികയുടെ ആധാരം 1/6 ആയിരുന്നു. ആധാരം 10 ആകുമ്പോള്‍ ലോഗരിതത്തെ സാധാരണ ലോഗരിതം (common logarithm) എന്നു പറയുന്നു. 1624-ല്‍ ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെന്റി ബ്രിഗ്സ് (Henry Briggs) ആയിരുന്നു ആദ്യമായി സാധാരണ ലോഗരിതപ്പട്ടിക തയ്യാറാക്കിയത്. പതിനാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ തയ്യാറാക്കിയ ഈ പട്ടിക 'അരത്ത്മെറ്റിക്ക ലോഗരിതമിക്ക' (Arithmetica Logarithmica) എന്ന പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്നു. ഡെക്കര്‍ (Decker), വ്ളാക്ക് (Vlacq), മെര്‍ക്കാറ്റര്‍ (Mercator), വാലിസ് (Wallis) എന്നിവര്‍ ലോഗരിതപ്പട്ടികകള്‍ നവീകരിക്കാനും വിപുലമാക്കാനും ശ്രമിച്ചവരില്‍ പ്രമുഖരാണ്. ഡച്ചു ഗണിതജ്ഞനായ വ്ളാക്ക് ലോഗരിതമിക ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളുടെ പട്ടികകളും തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്.
നൂറ്റാണ്ടുകളിലൂടെ വികസിച്ചുവന്ന ശാസ്ത്രവും വര്‍ധമാനമായ വാണിജ്യവും പലതരത്തിലുള്ള പട്ടികകള്‍ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതില്‍ സ്വാധീനം ചെലുത്തി. അവയുടെ എണ്ണവും തരവും പെരുകിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു. 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിലുണ്ടായതിനെക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ പട്ടികകള്‍ 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിലുണ്ടായി. അതിലുംകൂടുതല്‍ അടുത്ത നൂറ്റാണ്ടിലും. 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യപകുതിയോടെ എലിപ്റ്റിക് ഫലനങ്ങള്‍ (Elliptic functions), ഹൈപ്പര്‍ ബോളിക ഫലനങ്ങള്‍ (Hyperbolic functions), ഗാമാ ഫലനങ്ങള്‍ (Gamma functions), ബെസല്‍ ഫലനങ്ങള്‍ (Bessel functions), സംഭാവ്യതാ ഫലനങ്ങള്‍ (Probability functions) തുടങ്ങിയവയ്ക്ക് പട്ടികകള്‍ തയ്യാറായി. കാല്‍ക്കുലേറ്ററുകള്‍ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന 1970-കളില്‍ അന്നുവരെയുള്ളതിലേറെ പട്ടികകള്‍ ഉണ്ടായി. 1943-ല്‍ അമേരിക്കയിലെ ദേശീയ ഗവേഷണകൌണ്‍സില്‍ (National Research Council of the United States) പുതുതായി പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്ന പട്ടികകള്‍ പരിശോധിക്കുക, നിലവിലുള്ള പട്ടികകളിലെ പിശകുകള്‍ തിരുത്തുക, ഗവേഷണമേഖലകളില്‍ ആവശ്യമായ പട്ടികകളുടെ ഗ്രന്ഥസൂചി തയ്യാറാക്കുക എന്നീ ആവശ്യങ്ങള്‍ മുന്‍നിര്‍ത്തി ഒരു ത്രൈമാസികം ആരംഭിച്ചു. പട്ടികകളുടെ എണ്ണം പെരുകിയതോടെ അവയെ മൊത്തത്തില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ബൃഹത്തായ ഒരു കൃതി 1946-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകൃതമായി. ആന്‍ ഇന്‍ഡക്സ് ഒഫ് മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ടോബിള്‍ എന്നു പേരുള്ള ഈ കൃതിയില്‍ 2000-ത്തിലധികം പട്ടികകളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അനേകം ഫലനങ്ങളുടെ പട്ടികകളോടൊപ്പം അക്ചുവറി (Actuary), പലിശയും നിക്ഷേപവും, ഭൌതികം, രസതന്ത്രം, സാംഖ്യികം, സമുദ്രയാനം എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ച പട്ടികകളും ഇതിലുണ്ട്. അലാന്‍ ഫ്ളെച്ചര്‍ (Alan fletcher), ജെ.സി.പി. മില്ലര്‍ (J.C.P. Miller), എല്‍. റോസന്‍ ഹെഡ് (L. Rosen head) എന്നിവരാണ് പ്രസ്തുത കൃതി എഡിറ്റു ചെയ്തവര്‍. ഇതേ കൃതിയുടെ രണ്ടാംപതിപ്പ് 1962-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. പട്ടികകളുടെ പെരുപ്പംകാരണം രണ്ടാം പതിപ്പിന് ഒന്നാമത്തേതിന്റെ രണ്ടിരട്ടിയിലധികം വലുപ്പമുണ്ട്.
നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ തിരിച്ചുള്ള പട്ടികകളുടെ എണ്ണത്തില്‍ ഏറെ വര്‍ധനവുണ്ടായി. 16-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ 9; 17-ല്‍ 70; 18-ല്‍ 84; 19-ല്‍ 986; 20-ാം നൂറ്റാണ്ട് പകുതിവരെയായപ്പോള്‍ 2800-ലധികം. പല ഗണിതസങ്കേതങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച ക്ളേശകരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലൂടെയാണ് പട്ടികകള്‍ ആദ്യം തയ്യാറാക്കപ്പെട്ടിരുന്നത്. ഇന്ന് ആവശ്യാനുസരണം ദ്രുതഗതിയില്‍ ഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കാനും അച്ചടിച്ച പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കാനും കംപ്യൂട്ടറുകള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു.
(പ്രൊഫ. കെ. ജയചന്ദ്രന്‍)
