This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ഗണിതശാസ്ത്രം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
ഉള്ളടക്കം |
ഗണിതശാസ്ത്രം
Mathematics
പരിമാണങ്ങളുടെയും ഗണങ്ങളുടെയും മാപനം, സവിശേഷത, പരസ്പരബന്ധം എന്നിവയെ സംഖ്യകളും ചിഹ്നങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു പഠനം നടത്തുന്ന ശാസ്ത്രശാഖ. പ്രമുഖ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ഒന്നാണ് ഗണിതം. അറിവ്, പഠനം എന്നീ അര്‍ഥങ്ങളുള്ള മാത്തേമാറ്റ (Mathemata) എന്ന ഗ്രീക്ക് പദത്തില്‍നിന്നാണ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് പദത്തിന്റെ നിഷ്പത്തി. 'പരിമാണങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് അരിസ്റ്റോട്ടലും 'ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ പഠിപ്പുരയും താക്കോലും' എന്ന് റോജര്‍ ബേക്കണും 'പരോക്ഷമാപനങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് ആഗസ്റ്റെ കോമ്തെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ വിശേഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ആമുഖം
സംഖ്യകളും പ്രതീകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് പ്രപഞ്ചവസ്തുക്കളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും വിശദമാക്കുന്ന ഈ ശാസ്ത്രശാഖ ജീവിതത്തിന്റെ എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. കടയില്‍നിന്നു സാധനം വാങ്ങുമ്പോഴും വാച്ചുനോക്കി സമയം അറിയുമ്പോഴും കുടുംബ ബജറ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോഴും നടന്നു തളര്‍ന്ന ദൂരം പറയുമ്പോഴും എന്നുവേണ്ട കളികളില്‍ വ്യാപരിക്കുമ്പോള്‍പ്പോലും നാം അറിയാതെ ഗണിതം പ്രയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. ശാസ്ത്രസന്ദര്‍ഭങ്ങളെ കൃത്യമായി വിവരിക്കുമ്പോഴും നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ നടത്തുമ്പോഴും പരീക്ഷണനിരീക്ഷണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിക്കുമ്പോഴും ശാസ്ത്രകാരന്‍ ഗണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഗണിതാധിഷ്ഠിതമാണ്. 17-ാം നൂറ്റാണ്ട് ആയപ്പോഴേക്ക് മിക്കവാറും എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളും ഗണിതപരമായി പ്രകാശിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയും എന്ന നിലവന്നു. 17-ാം ശതകത്തിലെ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഖമുദ്രയായി ശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാര്‍ എടുത്തുകാട്ടുന്നതും ഗണിതപരമായ പ്രകാശനക്ഷമതയത്രെ. ധനതത്വശാസ്ത്രം, സോഷ്യോളജി, മനശ്ശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ സാമൂഹ്യശാസ്ത്രശാഖകളിലും ഗണിതത്തിന് അദ്വിതീയമായ സ്ഥാനമുണ്ട്. എന്‍ജിനീയറിങ്ങിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ് ഗണിതം. ആരോഗ്യശാസ്ത്രത്തിലും ജീവശാസ്ത്രത്തിലും പരിസ്ഥിതി വിജ്ഞാനത്തിലും ഇന്നു ഗണിതം അപ്രധാനമല്ലാത്ത പങ്കുവഹിക്കുന്നുണ്ട്. വ്യവസായരംഗത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രം ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്. രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ് (Linear Programming) പോലുള്ള പ്രക്രിയകളുടെ സഹായത്തോടെ അനുകൂലതമന സങ്കേതങ്ങള്‍ (optimization techniques) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടല്ലാതെ വ്യവസായരംഗത്തു പിടിച്ചുനില്ക്കാന്‍ ആവാതായിട്ടുണ്ട്. ക്രയവിക്രയത്തിലും ഇന്‍ഷ്വറന്‍സിലും ബാങ്കിടപാടുകളിലും അക്കൗണ്ടന്‍സിയിലും കയറ്റുമതി-ഇറക്കുമതി രംഗങ്ങളിലും എന്നുവേണ്ട ജീവിതത്തിന്റെ നാനാമുഖങ്ങളായ പ്രവര്‍ത്തനമേഖലകളിലെല്ലാം ഗണിതത്തിന്റെ വ്യക്തമായ സ്വാധീനം കാണാം.
ഭൗതികശാസ്ത്രങ്ങളിലെന്നപോലെ ഈ പ്രപഞ്ചത്തിലെ വസ്തുക്കളെയും പ്രതിഭാസങ്ങളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും കുറിച്ചല്ല ഗണിതത്തിന്റെ പരിചിന്തനം. എന്നാല്‍ ഇതെല്ലാം കൃത്യമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാനും വിശദീകരിക്കാനും മനസ്സിലാക്കണമെങ്കില്‍പ്പോലും ഗണിതസഹായം അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. ഗണിതം ഒരു ശുദ്ധശാസ്ത്ര(pure science)മാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് തനതായ സങ്കേതങ്ങളും, സമ്പ്രദായങ്ങളുമുണ്ട്. ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളുടെയും സങ്കേതങ്ങളുടെയും രീതികളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഗണിതം വസ്തുക്കളെയും ബന്ധങ്ങളെയും പരിഗണിക്കുന്നത്. ശാസ്ത്രീയാശയങ്ങള്‍ പറഞ്ഞറിയിക്കാനും ശാസ്ത്രകാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തവും നിയതവുമായി പ്രതിപാദിക്കാനും ഗണിതത്തിന്റെ സഹായം കൂടാതെ കഴിയുകയില്ല. അതിനാല്‍ ഗണിതത്തിലൂടെയാണ് ശാസ്ത്രപ്രകാശനം എന്നു പറയാറുണ്ട്. ശാസ്ത്രവസ്തുതകള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുകയും വിശദീകരിക്കുകയും ശാസ്ത്രത്തിലെ സങ്കല്പനങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രയോഗക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുക മാത്രമല്ല ഗണിതം ചെയ്യുന്നത്. പലപ്പോഴും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവിഛിന്നഭാഗമായി നിന്നുകൊണ്ട് ശാസ്ത്രസൃഷ്ടിക്കും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രത്യക്ഷീകരണത്തിനും കാരണമായും ഗണിതം വര്‍ത്തിക്കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെയെല്ലാം ആയിരിക്കവേതന്നെ ശാസ്ത്രബാഹ്യമായി തനതായ നിലനില്പ് ഗണിതത്തിനുണ്ട്. ശാസ്ത്രങ്ങളില്‍ അലിഞ്ഞുചേര്‍ന്നുകൊണ്ട്, സ്വന്തമായ അസ്തിത്വം അവ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ടുപോലും, ഗണിതം ഇതര ശാസ്ത്രങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുകയും വിപുലമാക്കുകയും വളര്‍ത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
മനുഷ്യമനസ്സിന്റെ ഉദാത്തമായ സിദ്ധികളെ എടുത്തുകാട്ടുന്ന ശുദ്ധചിന്തയുടെ പാറ്റേണുകളുടെയും രൂപങ്ങളുടെയും സര്‍ഗാത്മക സൃഷ്ടിയാണ് ഗണിതം. അതിനാല്‍ ഗണിതം കലയാണ്. മനുഷ്യന്റെ ശീലവര്‍ത്തനങ്ങളെ സമ്പൂര്‍ണമായി അഭിവ്യഞ്ജിപ്പിക്കുകയും വിശദീകരിക്കുകയും മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് പകര്‍ന്നുകൊടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം മാനവികം ആണ്. വ്യക്തവും അശിഥിലവും നിയമബദ്ധവും താര്‍ക്കികവുമായ ഘടന ഗണിതത്തിനുണ്ട്. സര്‍വഗുണസംയുക്തമായ ഉദ്ദേശ്യങ്ങള്‍ സംഭാവന ചെയ്തുകൊണ്ട് ഇതരശാസ്ത്രശാഖകളെ ഗണിതം സമ്പൂര്‍ണമാക്കിത്തീര്‍ക്കുന്നു. ഭൗതികവും ജൈവികവും സാമൂഹികവുമായ മണ്ഡലങ്ങളിലെ ഗവേഷണത്തിന് ഗണിതം പ്രേരണയും താങ്ങും നല്കുന്നു.
അറിവിന്റെ ഉടല്‍, പ്രായോഗിക ഉപകരണം, തത്വചിന്തയുടെ മൂലാധാരം, താര്‍ക്കിക സമ്പ്രദായത്തിന്റെ പരിപൂര്‍ണത, പ്രകൃതിയിലേക്കുള്ള താക്കോല്‍, പ്രകൃതിയുടെ വാസ്തവികത, ബുദ്ധിപരമായ കേളി, രസനിഷ്യന്ദിയായ അനുഭൂതി, യുക്തിപരമായ വിക്രമം എന്നിങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ പലതരത്തില്‍ വിശേഷിപ്പിച്ചുവരുന്നു. വിശേഷണങ്ങളെല്ലാം തികച്ചും അര്‍ഥവത്താണ്. ഭൗതികവും മാനസികവും വൈകാരികവും ആയ അനുഭവങ്ങളുടെ പ്രകടരൂപമായ പ്രപഞ്ചത്തോടുള്ള ഒരു സമീപനരീതിയാണ് ഗണിതം എന്നും പറയാവുന്നതാണ്. പ്രപഞ്ചത്തെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങളില്‍ നിന്ന് യഥാര്‍ഥചിന്ത ഊറ്റിയെടുത്ത അത്യന്തം വിശുദ്ധമായ സത്താണ് ഗണിതശാസ്ത്രം എന്ന് ചിലര്‍ ഗണിതത്തെ വാഴ്ത്താറുണ്ട്. ഭൗതികലോകത്ത് അനുഭവപ്പെടുന്ന ക്രമരാഹിത്യങ്ങള്‍ക്ക് ക്രമം നല്കാനും പ്രപഞ്ചത്തിനു സൗന്ദര്യം പകരാനും ആരോഗ്യസമ്പന്നമായ മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ നൈസര്‍ഗിക വാസനകള്‍ പ്രയോഗക്ഷമമാക്കാനും വേണ്ടി മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം താങ്ങും തണലുമായി ഗണിതശാസ്ത്രം വര്‍ത്തിക്കുന്നു.
ശാഖകള്‍
ഗണിതത്തെ പലരീതിയില്‍ വിഭാഗങ്ങളാക്കാം. ഇവയില്‍ പ്രാഥമികമായത് ശുദ്ധഗണിതം എന്നും പ്രയുക്തഗണിതം (applied mathematics) എന്നുമുള്ള തരംതിരിക്കലാണ്. പ്രായോഗികത എന്ന പ്രശ്നം ശുദ്ധഗണിതം എന്ന ശാഖ ചിന്തിക്കുന്നതേയില്ല. അതിന്റെ ഗണിതവിശുദ്ധിയും ഗണിതപരമായ സുഘടനയും ഗണിതപരമായ വൈരുദ്ധ്യങ്ങളില്ലായ്മയും സ്വന്തം കാലില്‍ നില്ക്കാനുള്ള കഴിവും അതിന്റെ സ്നിഗ്ധതയും ചാരുതയും ആണ് ആരെയും അതിലേക്ക് ആകര്‍ഷിക്കുന്നത്. പ്രയുക്തഗണിതം അങ്ങനെയല്ല. പ്രയോഗക്ഷമവും ഭൗതികസാഹചര്യങ്ങളില്‍ നിന്നു രൂപംകൊണ്ടതുമായ ഗണിതമാണ് പ്രയുക്തഗണിതം എന്നുപറയാം. ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതികളില്‍ പ്രയോഗിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ഒന്നാണിത്. ഇങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കുന്നതോടെ ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതി ആവഹിക്കുന്ന തെളിമയും സ്വച്ഛതയും അദ്ഭുതാവഹമാണ്. ശുദ്ധഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയ്ക്ക് പല ശാസ്ത്രശാഖകളിലും പ്രായോഗികത ഉണ്ടായെന്നുവരാം. ഒരു ശുദ്ധഗണിതശാഖയെ ഒരേ ഭൗതികഘട്ടത്തില്‍ മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാവു എന്നില്ല എന്നു സാരം. ജ്യാമിതി എന്ന ശുദ്ധ ഗണിതശാഖ ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. അളക്കല്‍, സര്‍വേ, യന്ത്രനിര്‍മിതി, കെട്ടിടനിര്‍മാണം തുടങ്ങി വിവിധ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ജ്യാമിതി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നു; ചിത്രകല തുടങ്ങി പല ശാസ്ത്രേതര രംഗങ്ങളിലും ഗണിതത്തിന്റെ ശാഖോപശാഖകളിലൂടെയുള്ള പര്യടനമാണ് തുടര്‍ന്നുവരുന്നത്.
അങ്കഗണിതം.
സംഖ്യകളുടെ ശാസ്ത്രമാണ് അങ്കഗണിതം. സംഖ്യകളെയും അവയുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെയും അവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരികലനങ്ങളെയും കണക്കുകൂട്ടലുകളെയും അങ്കഗണിതം വിവരിക്കുന്നു. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ ചതുഷ്ക്രിയകളാണ് അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ആധാരശിലകള്‍. ഇവയോടൊപ്പം ഘാതനിര്‍ണയവും മൂല്യനിര്‍ണയവും ഉള്‍പ്പെടുന്നു. എന്നാല്‍ വ്യവകലനത്തെ സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും ഹരണത്തെ ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും മൂല്യനിര്‍ണയത്തെ ഘാതനിര്‍ണയത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും കണക്കാക്കിയാല്‍ മതിയാകും. ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ ഇത്രയേറെ പ്രാധാന്യമുള്ള മറ്റൊന്നില്ലതന്നെ. അക്ഷരം അഭ്യസിക്കുന്നതോടൊപ്പം അങ്കഗണിതപഠനവും ആരംഭിക്കുന്നു. സങ്കലനപ്പട്ടികയും ഗുണനപ്പട്ടികയും ഹൃദിസ്ഥമാക്കുക പ്രാഥമിക വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം വളരെ പ്രധാനം തന്നെ.
ബീജഗണിതം. അങ്കഗണിതത്തില്‍ നിയതവിലയോടുകൂടിയ സംഖ്യകളെയാണ് പരിഗണിക്കുക. ഇവയുടെ സ്ഥാനത്ത് അനിശ്ചിത വിലകളുള്ള അജ്ഞാതരാശികളെ പ്രതിഷ്ഠിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ശാഖയാണ് ബീജഗണിതം. ഈ അജ്ഞാതരാശികളുടെ വിലനിര്‍ണയിക്കലാണ് ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുഖ്യലക്ഷ്യങ്ങളിലൊന്ന്. ഇതിനായി സമവാക്യങ്ങള്‍ക്കു രൂപം കൊടുക്കലും അവയുടെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം തേടലും ആവശ്യമാണ്. കാലാനുസൃതമായ മാറ്റങ്ങള്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തില്‍ കടന്നുകൂടി. ഇന്ന് ബീജഗണിതം അമൂര്‍ത്തഘടനകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്. അമൂര്‍ത്തഘടനകള്‍ മൂര്‍ത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ കടന്ന് അവയ്ക്ക് മുമ്പെങ്ങുമില്ലാത്ത തെളിമയും വ്യക്തതയും നല്കുന്നു.
ജ്യാമിതി
ഭൗതികജ്ഞന്മാര്‍ക്കും സര്‍വേയര്‍മാര്‍ക്കും ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്കും നാവികര്‍ക്കും വാസ്തുശില്പികള്‍ക്കും എന്‍ജിനീയര്‍മാര്‍ക്കും എന്നുവേണ്ട എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലും പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ക്കും അങ്കഗണിതംപോലെ തന്നെ ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണ് ജ്യാമിതി. ആകൃതിയെയും വലുപ്പത്തെയുംകുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് ജ്യാമിതി. തലത്തിലും ഇടത്തിലും (space) ഉള്ള രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധങ്ങളും അവയുടെ ആന്തരിക ബന്ധങ്ങളും പരിചിന്തിക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണിത്. യൂക്ളിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള യൂക്ളിഡിയാ ജ്യാമിതിയും യൂക്ളിഡിന്റെ അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതത്തെ പിന്തള്ളുന്ന അയൂക്ളിഡിയാ ജ്യാമിതിയും പ്രപഞ്ചത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കാന്‍ ഒന്നുപോലെ സഹായിച്ചിട്ടുണ്ട്.
വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി.
ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവവിശേഷതകളും സമ്പ്രദായങ്ങളും ജ്യാമിതിയിലേക്കു പകര്‍ന്നതിന്റെ ഫലമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി അഥവാ നിര്‍ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി. കാര്‍ത്തീയജ്യാമിതി (cartitian geometry) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു പ്രതിനിധീകരിക്കലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അപഗ്രഥിച്ച് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കലുമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വഭാവം. ദ്വിമാനതലത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമജോടികളെയും ത്രിമാന ഇടത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമത്രയങ്ങളെയും ആധാരമാക്കിയാണ് സമവാക്യങ്ങള്‍. ഇത്തരം സംഖ്യകള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ വ്യക്തമാക്കുന്ന ക്രമജോടി സംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ, അഥവാ ക്രമത്രയസംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ ബന്ധവാക്യങ്ങളാണ് വിസ്ലേഷകജ്യാമിതിയിലെ സമവാക്യങ്ങള്‍.
ത്രികോണമിതി.
ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഭുജങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഇവ തമ്മില്‍ത്തമ്മിലുമുള്ള ബന്ധം വിശദമാക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഫലനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയുള്ള ഗണിതപരിഗണനകളാണ് ത്രികോണമിതിയില്‍ ഉള്ളത്. ഗോളോപരിതലത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ഗോളീയത്രികോണമിതി.
