This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

ദ്രവ്യതരംഗങ്ങള്‍

പ്രകാശതരംഗങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് മറ്റൊരു രീതിയിലുള്ള ഗവേഷണം ഇതോടൊപ്പം വികസിച്ചു വന്നിരുന്നു. വര്‍ണരാജിപഠനം (spectroscopy) ആയിരുന്നു അത്. തത്ഫലമായി ഓരോ വസ്തുവും അതിന്റേതായ സവിശേഷതകളോടുകൂടിയ വര്‍ണരാജി സൃഷ്ടിക്കുന്നു എന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. അതായത് ഓരോ വസ്തുവിനും അനുകൂലമായ ഉത്തേജനം ലഭിച്ചാല്‍, പ്രത്യേക തീവ്രതയോടുകൂടിയ പ്രത്യേക പ്രകാശതരംഗങ്ങള്‍ ഉത്സര്‍ജിക്കാന്‍ കഴിയും. പക്ഷേ ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെയാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്നു ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്കു വ്യാഖ്യാനിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല. പ്രകാശം പുറപ്പെടുവിക്കുമ്പോള്‍ അണുവിന്റെ ഉള്ളിലെന്താണു സംഭവിക്കുന്നത്? ഊര്‍ജമാണ് അണുവില്‍നിന്ന് പ്രസരിക്കുന്നത്. പക്ഷേ ആ ഊര്‍ജത്തിനു പ്രത്യേക ക്രമീകരണമുണ്ടെന്നു വ്യക്തമാണ്. കാരണം, ഊര്‍ജത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്ന തരംഗങ്ങള്‍ പ്രത്യേക തരംഗദൈര്‍ഘ്യമുള്ളവയാണ്. ഈ പ്രക്രിയ വിവരിക്കുവാന്‍ ആദ്യമായി ഒരു സിദ്ധാന്തം നിര്‍ദേശിച്ചത് നീല്‍സ് ബോര്‍ (Niels Bohr) ആയിരുന്നു. ഊര്‍ജത്തിന്റെ നിശ്ചിതമായ ചില അളവുകള്‍ മാത്രമേ സാധാരണരീതിയില്‍ അണുവില്‍നിന്നു പുറത്തുപോകുന്നുള്ളൂ. പ്രകാശം അണുവില്‍ വിലയിക്കുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും ഇതേ തോതില്‍ ക്ളിപ്തമായ ഊര്‍ജപരിണാമമാണ് അത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നത്. ഇതിനര്‍ഥം അണുവിനു ചില പ്രത്യേകമായ ഊര്‍ജനിലകളില്‍ മാത്രമേ വര്‍ത്തിക്കാനാവൂ എന്നാണെന്ന് ബോര്‍ സങ്കല്പിച്ചു. അനുസ്യൂതമായ ഊര്‍ജപരിമാണം ഇവിടെ സ്വീകരിക്കാന്‍ സാധ്യമല്ല. പ്ലാങ്കിന്റെ ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം ഇവിടെ പ്രായോഗികമാക്കാമെന്നു ബോര്‍ കണ്ടെത്തി. അണുവിന്റെ ഉള്ളിലെ ഘടന കേന്ദ്രത്തിലൊരു ന്യൂക്ളിയസ്സും അതിനു ചുറ്റും കറങ്ങിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഇലക്ട്രോണുകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതാണ്. സാധാരണ പ്രകാശത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഏറ്റവും പുറത്തുള്ള ഭ്രമണപഥത്തില്‍ ചലിക്കുന്ന ഇലക്ട്രോണ്‍ ആണ് ശ്രദ്ധേയമായിട്ടുള്ളത്. ഈ ഇലക്ട്രോണ്‍, പ്രകാശം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന അവസരത്തില്‍ ന്യൂക്ളിയസ്സില്‍ നിന്ന് കൂടുതല്‍ അകന്ന ഭ്രമണപഥങ്ങളിലേക്കു ചാടുന്നു. പ്രകാശം ഉത്സര്‍ജിക്കുമ്പോഴാകട്ടെ ഉയര്‍ന്ന ഭ്രമണപഥങ്ങളില്‍നിന്നു താഴ്ന്ന ഭ്രമണപഥങ്ങളിലേക്കും പതിക്കുന്നു. ഓരോ ഭ്രമണപഥവും ഓരോ ഊര്‍ജസ്തര(ലിലൃഴ്യ ഹല്ലഹ)ത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഭ്രമണപഥത്തില്‍ത്തന്നെ സ്ഥിരമായി ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍ ഇലക്ട്രോണിന് ഊര്‍ജമാറ്റമില്ല. അതു പ്രകാശം പ്രസരിപ്പിക്കുകയുമില്ല. ഒരു പഥത്തില്‍ നിന്നു മറ്റൊരു പഥത്തിലേക്കു മാറുമ്പോഴാണ് ഇലക്ട്രോണ്‍ പ്രകാശം ഉത്സര്‍ജിക്കുകയോ ഉള്‍ക്കൊള്ളുകയോ ചെയ്യുന്നത്. ഇതായിരുന്നു ബോറിന്റെ സങ്കല്പം.

E₁ എന്ന ഊര്‍ജമൂല്യമുള്ള ഒരു പഥത്തില്‍നിന്ന് E₂ എന്ന മറ്റൊരു പഥത്തിലേക്കു വീഴുമ്പോള്‍ അണുവിന് അഥവാ ഇലക്ട്രോണിന് ഉത്പാദിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന തരംഗത്തിന്റെ ഊര്‍ജം E₁ - E₂ ആയിരിക്കും. ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് തരംഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി v ആണെങ്കില്‍ E₁ - E₂ = hv വവ്യത്യസ്തമായ ഊര്‍ജസ്തരങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ സംക്രമണം ഉണ്ടാകുമ്പോള്‍ വ്യത്യസ്ത തരംഗങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവുമെന്ന് ഇതില്‍നിന്നു വ്യക്തമാകുന്നു. വര്‍ണരാജിയിലെ രേഖകളെ ഈ രീതിയില്‍ വ്യാഖ്യാനിക്കുവാന്‍ ബോര്‍സിദ്ധാന്തത്തിന് ഏറെക്കുറെ സാധിച്ചു. എങ്കിലും ചില തരംഗങ്ങള്‍ മറ്റുള്ളവയെക്കാള്‍ തീവ്രമോ ദുര്‍ബലമോ ആവുന്നതെങ്ങനെയെന്നു തൃപ്തികരമായി വിശദീകരിക്കുവാന്‍ ആ സിദ്ധാന്തം അപര്യാപ്തമായിരുന്നു. ഇലക്ട്രോണിനെ ഒരു കണികയായും അതിന്റെ സഞ്ചാരപഥങ്ങളെ നിശ്ചിത വൃത്തപഥങ്ങളായും സങ്കല്പിച്ചത് ഒരു ഏകദേശനം മാത്രമാണെന്നു പിന്നീടുണ്ടായ ചില കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ തെളിയിച്ചു.

ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മുന്നോട്ടുള്ള കാല്‍വയ്പ് പിന്നീടുണ്ടായത് ദ്രവ്യതരംഗങ്ങ (matter waves)ളുടെ കണ്ടുപിടിത്തത്തോടെയാണ്. ദ്രവ്യതരംഗങ്ങളെപ്പറ്റി ആദ്യമായി (1924) ലൂയി ദ് ബ്രോയ് (Louis de Broglie) പ്രതിപാദിച്ചു. തികച്ചും നൂതനമായ ഒരാശയമായിരുന്നു അത്. ചലിക്കുന്ന ഏതൊരു വസ്തുവിനോടും അത് ചെറുതോ വലുതോ ആകാം - അനുബന്ധിച്ച് ദ്രവ്യതരംഗങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ലൂയി ദ് ബ്രോയ് സമര്‍ഥിച്ചു. വൈദ്യുതാധാനമില്ലാത്ത വസ്തുക്കളും ഇവയെ പ്രസരിപ്പിക്കുന്നതിനാല്‍, ഇവ വൈദ്യുതകാന്തതരംഗങ്ങളല്ല. സാധാരണ ശബ്ദതരംഗങ്ങള്‍ ശ്രവണേന്ദ്രിയത്തിലും വൈദ്യുതകാന്തതരംഗങ്ങള്‍ നേത്രത്തിലും പ്രതികരണങ്ങളുണ്ടാക്കുന്നു. പക്ഷേ ദ്രവ്യതരംഗങ്ങള്‍ ഇത്തരത്തിലൊന്നും പെടാത്തതിനാല്‍ അവയെ നേരിട്ടറിയാന്‍ സാധ്യമല്ല.

ദ് ബ്രോഗ്ളി തരംഗങ്ങളുടെ ദൈര്‍ഘ്യത്തെ λ = h/mν എന്ന സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. λ എന്നതു തരംഗദൈര്‍ഘ്യവും m വസ്തുവിന്റെ ദ്രവ്യമാനവും v പ്രവേഗവുമാകുന്നു; h പ്ലാങ്കിന്റെ സ്ഥിരാങ്കവും. ഈ സമീകരണത്തില്‍നിന്നു വ്യക്തമാകുന്നത് ദ്രവ്യതരംഗങ്ങള്‍ക്കു ക്വാണ്ടം സ്വഭാവമുണ്ടെന്നാണ്. സാധാരണ വസ്തുക്കളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം തരംഗദൈര്‍ഘ്യം നിസ്സാരമാണുതാനും. ഒരു കിലോഗ്രാം ദ്രവ്യമാനമുള്ളതും സെക്കന്‍ഡില്‍ ഒരു മീ. പ്രവേഗത്തോടെ ചലിക്കുന്നതുമായ ഒരു കല്ലിന്റെ തരംഗദൈര്‍ഘ്യം

ആകുന്നു. യാതൊരു ഉപകരണത്തിനും ഇത്ര ചെറിയ തരംഗദൈര്‍ഘ്യം അളന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ സാധ്യമല്ല. പക്ഷേ വസ്തുവിന്റെ ദ്രവ്യമാനം വളരെ ചെറുതായിരുന്നാല്‍ തരംഗദൈര്‍ഘ്യം വലുതാകാനിടയുണ്ട്. അങ്ങനെ ഇലക്ട്രോണുകളുടെ ചലനത്തിലുള്ള തരംഗങ്ങള്‍ മാപനക്ഷമമാണ്. ഇലക്ട്രോണ്‍ തരംഗങ്ങള്‍ മറ്റു തരംഗങ്ങളെപ്പോലെതന്നെ ഉചിതമായ സംവിധാനത്തില്‍ വിഭംഗനരൂപങ്ങള്‍ സൃഷ്ടിക്കുവാന്‍ പര്യാപ്തമാണെന്നു പിന്നീട് തെളിഞ്ഞു. ദ്രവ്യതരംഗങ്ങളുടെ അസ്ഥിത്വം അതോടെ സ്ഥാപിതമായി. ഇലക്ട്രോണ്‍ ഒരു കണിക മാത്രമല്ല; തരംഗസ്വഭാവം കൂടി അതിനുണ്ട്. ചെറുതും വലുതുമായ ഏതു വസ്തുവിനും ഈ ദ്വന്ദ്വഭാവം പ്രസക്തവുമാണ്. പക്ഷേ ദ്രവ്യമാനം ലഘുവായിരിക്കുന്ന വസ്തുക്കളടങ്ങുന്ന സൂക്ഷ്മലോകത്തില്‍ മാത്രമേ അത് പ്രകടമാകുന്നുള്ളൂ. ബോറിന്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് ഇലക്ട്രോണ്‍ ഒരു നിശ്ചിതരൂപത്തില്‍ ഒതുങ്ങി നില്‍ക്കുന്ന കണികയും അതിന്റെ ചലനം വ്യക്തമായ ഒരു പഥവുമാണ്. ദ്രവ്യതരംഗസങ്കല്പം ആവിര്‍ഭവിച്ചപ്പോള്‍ ഈ വാദത്തിന് നിലനില്പില്ലാതായി. ഈവിധമാണ് ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെ ആവിര്‍ഭാവം. വിപുലവും ഗണിതസങ്കല്പങ്ങള്‍കൊണ്ടു സങ്കീര്‍ണവുമായ ഈ ശാസ്ത്രശാഖയുടെ ഒരു ഏകദേശ രൂപവും ചില പ്രയോഗഫലങ്ങളും ഇനി ചുരുക്കി വിവരിക്കുന്നു.

ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം

പരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെ ദ്രവ്യതരംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്തുന്നതിനു മുമ്പുതന്നെ പുതിയൊരു ബലതന്ത്രമാതൃക ആവിഷ്കരിക്കുവാന്‍ പല ശാസ്ത്രജ്ഞരും കിണഞ്ഞു പരിശ്രമിച്ചിരുന്നു. ഈ മാതൃകയില്‍, കണികകളുടെ ചലനത്തെ പ്രതിപാദിക്കുമ്പോള്‍ അവയുടെ തരംഗസ്വഭാവംകൂടി ഉള്‍പ്പെടുത്തുകയാണ് വേണ്ടിയിരുന്നത്. ഇതിലാദ്യമായി എര്‍വിന്‍ ഷ്റോഡിങ്ഗറും (Erwin Schroedinger) വെര്‍നര്‍ ഹൈസന്‍ ബെര്‍ഗും (Werner Heisenberg) വിജയം നേടി. ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തെ ഹൈസന്‍ബെര്‍ഗ് ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിലൂടെ അവതരിപ്പിച്ചപ്പോള്‍ ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ ഒരു തരംഗസമവാക്യ (wave equation)ത്തെയാണ് അതിനവലംബിച്ചത്. രൂപം വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിലും ഫലത്തില്‍ രണ്ടും തുല്യമാണ്. പക്ഷേ ഷ്റോഡിങ്ഗറുടെ രീതിയാണ് പ്രയോഗ വൈപുല്യത്തിലും സങ്കല്പന ലാളിത്യത്തിലും മുന്നിട്ടുനിന്നത്. അതുകൊണ്ട് അതിനെപ്പറ്റിമാത്രം ഇവിടെ പ്രസ്താവിക്കാം.

ഒരു കണികയെ പരീക്ഷണവിധേയമാക്കുമ്പോള്‍ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നത് അതിനെ സംബന്ധിക്കുന്ന ഒരു വിവരം-സ്ഥാനമോ സംവേഗമോ ഊര്‍ജമോ മറ്റോ-ആയിരിക്കും. ഈ രാശികളെല്ലാം കണികയെ സംബന്ധിക്കുന്ന സമീകരണങ്ങളില്‍ അതേപടി ഉള്‍പ്പെടുത്തുകയാണ് ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ബലതന്ത്രത്തിന്റെ രീതി. പക്ഷേ ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തില്‍ ഇവയ്ക്കെല്ലാം പ്രാതിനിധ്യം വഹിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ഒരു തരംഗഫലനം (wave function ) ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സങ്കല്പിച്ചു (1926). ψ എന്ന ഗ്രീക്കക്ഷരം കൊണ്ടാണ് പൊതുവേ ഇതിനെ സൂചിപ്പിച്ചുവരുന്നത്. ഒരു കണികയുടെ തരംഗഫലനം എന്താണെന്നു കണ്ടെത്തിയാല്‍ അതില്‍നിന്നു മറ്റു വിവരങ്ങള്‍ ഗണിച്ചെടുക്കാനുള്ള ഉപായങ്ങളുണ്ട്. ആദ്യമായി തരംഗഫലനം ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഒരു സമവാക്യം രചിക്കുകയും നിര്‍ധാരണം വഴി, അതു കണ്ടെത്തുകയും വേണം. ഈ സമവാക്യം ഒരു തരംഗഫലനത്തിന്റെ ദ്വിതീയ ക്രമത്തിലുള്ള ഭാഗികാവകലന സമവാക്യം (Second order partial differential equation) ആണെന്നു ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സമര്‍ഥിച്ചു. ഇതിനെ 'ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സമവാക്യം' എന്നു വിളിക്കുന്നു. പൊതുവേ ഈ സമവാക്യത്തെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്യുക എളുപ്പമല്ല. എങ്കിലും ചില പ്രത്യേക പ്രശ്നങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അതിന്റെ പൂര്‍ണമായ നിര്‍ധാരണം സാധിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സമവാക്യത്തിലുള്ള അജ്ഞാതരാശിയാണ് തരംഗഫലനം. ഇതുപയോഗിച്ച് അനേകം പ്രതിഭാസങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുവാന്‍ ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കിലും തരംഗഫലനത്തിന്റെ യഥാര്‍ഥമായ അര്‍ഥം അജ്ഞാതമാണ്. ദ്രവ്യതരംഗത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഗണിതരാശിയാണിത്. ഇതിന്റെ വര്‍ഗം സംഭാവ്യതയെ (probability) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ഒരു സ്ഥാനത്ത് കണികയെ കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത ഈ സംഭാവ്യതയെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയാണ് നിലകൊള്ളുന്നത്. സംഭാവ്യതയ്ക്ക് ഏറ്റവുമധികം മൂല്യമുള്ള സ്ഥാനത്തായിരിക്കും കണികയെ കണ്ടെത്താന്‍ ഏറ്റവുമധികം സാധ്യതയുള്ളത്. ഒരു കണികയുടെ സ്ഥാനത്തിനു നിഷ്കൃഷ്ടമായ ഒരു സ്ഥാനം ഇവിടെ കല്പിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല-ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ബലതന്ത്രത്തിലുള്ളതുപോലെ. കണികയുടെ സ്ഥാനം സ്പേസില്‍ വ്യാപിച്ചു നില്‍ക്കുന്നതായിട്ടാണ് കരുതപ്പെടുന്നത്. പക്ഷേ ചിലടത്തു സംഭാവ്യത കൂടുതലായിരിക്കും. മറ്റു ചിലടത്ത് കുറവോ പൂജ്യമോ ആകാം. കണികയുടെ രൂപവും സ്ഥാനവും ഈ സിദ്ധാന്തത്തില്‍ അവ്യക്തമാണ്. സാംഖ്യികീയമായ (statistical) അടിസ്ഥാനത്തില്‍ മാത്രമേ വ്യക്തമായ പരിമാണ മൂല്യങ്ങള്‍ കണികയ്ക്ക് നല്കാനാവുകയുള്ളൂ. പ്രപഞ്ചത്തിലെ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ സൂക്ഷ്മവശങ്ങള്‍ അവ്യക്തമാണെന്നും സ്ഥൂലമായ സാമാന്യബുദ്ധിയ്ക്ക് വിചിത്രമായി തോന്നാവുന്ന തരത്തിലുള്ള പ്രത്യേകതകള്‍ അവയ്ക്കുണ്ടെന്നും ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നു.

തരംഗഫലനത്തെ സംബന്ധിച്ചുള്ള പൊതുവിവരങ്ങളാണ് മുകളില്‍ നല്കിയത്. കുറേക്കൂടി ഇക്കാര്യം വിശദീകരിക്കുവാന്‍ ഗണിതസംജ്ഞകളെ സ്വീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സമവാക്യത്തെ ഏറ്റവും ലളിതമായി എഴുതാവുന്ന രീതി H ψ = E ψ എന്നാണ്; E കണികയുടെ (അല്ലെങ്കില്‍ ഏതെങ്കിലും വ്യവസ്ഥയുടെ) ഊര്‍ജതുല്യമാണ്. സാധാരണയായി പരീക്ഷണങ്ങളില്‍ നിന്നു ലഭിക്കുന്ന രാശി (സംഖ്യ)യാണിത്. H എന്നത് സ്ഥിത (static)വും ഗതിജ(dynamic)വുമായ ഊര്‍ജങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് പ്രാതിനിധ്യം നല്കിക്കൊണ്ടുള്ള ഒരു സംകാരകം (operator) ആകുന്നു. ഗണിതഭാഷയില്‍ ψ ഒരു 'ഐഗന്‍ഫലന'വും (eigen function), E ഒരു 'ഐഗന്‍മൂല്യ'വുമാണ്. ഈ സമീകരണത്തിന്റെ നിര്‍ധാരണത്തില്‍ നിന്നാണ് ψ കണ്ടെത്തുന്നത്. ഇതിനു സഹായകമായി സീമാന്ത നിബന്ധനകള്‍ (boundary conditions) പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നു. സംകാരകങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് ചില സങ്കല്പനങ്ങളുണ്ട്. അവയ്ക്ക് തനതായ ഉപപത്തിയൊന്നും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല. ഷ്റോഡിങ്ഗര്‍ സമവാക്യം എങ്ങനെ വിരചിക്കാമെന്നു മനസ്സിലാക്കുവാന്‍ അവ സഹായകമാണ്.

1. ഗതികീയമായ ഓരോ ചരത്തിനും (dynamical variable) തുല്യമായ ഓരോ സംകാരമുണ്ട്. ഈ സംകാരകത്തെ ആശ്രയിട്ടുണ്ടാകുന്ന ഐഗന്‍ മൂല്യമാണ് പരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്ന രാശി.

2.q, r എന്നിവ പ്രത്യേക തരത്തില്‍പ്പെടുന്ന രണ്ടു ചരങ്ങള്‍ (canonically conjugate variables) ആണെങ്കില്‍, അവയ്ക്കു തുല്യമായ q, r എന്നീ സംകാരകങ്ങള്‍ താഴെ പറയുന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കണം: h പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം, ; i² = -1. ഉദാഹരണമായി x എന്ന നിര്‍ദേശാങ്കവും P എന്ന സംവേഗവും സംകാരങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍ യഥാക്രമം x ഉം ഉം ആയിത്തീരുന്നു.

3. (a) തരംഗഫലനത്തിന്റെ വര്‍ഗം ψ∗ ψ സംഭാവ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. (ψ യുടെ സങ്കീര്‍ണ പൂരകം (complex conjugate) ആണ് ψ ∗) ഉദാ.x നും (x + dx)നും ഇടയിലായി x ഉണ്ടാകാനുള്ള സംഭാവ്യത ψ∗ ψ dx ആകുന്നു. മറ്റു നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ക്കും ഇതുപോലെതന്നെ.