This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

കേന്ദ്രീയ സീമാസൂത്രം

Central Limit Theorem

സാംഖ്യികത്തില്‍ സ്ഥിരപ്രതിഷ്ഠ നേടിയിട്ടുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം. അനാശ്രിതചരങ്ങ (indpendent variables)ളുടെ മാധ്യം (mean) ഉപഗാമി എന്ന നിലയില്‍ (asymptotically) നോര്‍മല്‍ വിതരണത്തെ അനുസരിക്കുമെന്നതാണ് ഈ സൂത്രത്തിന്റെ അന്തഃസത്ത.n അനന്തത്തിലേക്കു പ്രവണമാകുമ്പോള്‍ (n → ∞) ബൈനോമിയല്‍ വിതരണം നോര്‍മല്‍ വിതരണത്തിലേക്കു പ്രവണമാകുന്നു എന്നതാണ് ഈ പ്രമേയത്തിന്റെ പ്രതിപാദ്യം. ഇതിന്റെ സാമാന്യവത്കൃത രൂപമാണ് കേന്ദ്രീയ സീമാസൂത്രം (Central Limit Theorem).

ലിന്‍ഡിബെര്‍ജ്-ലെവി അവസ്ഥ (Lindeberg Levy condition), ലിയോപൊണോവ് അവസ്ഥ (Liapunov condition) എന്നീ രണ്ടവസ്ഥകളിലാണ് ഈ സൂത്രം തെളിയിച്ചിട്ടുള്ളത്. രണ്ടിടത്തും ഇതു സാധിച്ചിരിക്കുന്നത് മാനകീകൃത ചരത്തിന്റെ ലക്ഷണഫലനം മാനകീകൃത ചരത്തിന്റെ ലക്ഷണഫലനത്തിലേക്കു പ്രവണമാകുന്നു എന്നു കാണിച്ചുകൊണ്ടാണ്.

കേന്ദ്രീയ സീമാസൂത്രം ലിന്‍ഡിബെര്‍ജ്- ലെവി അവസ്ഥയില്‍. മാധ്യം m ഉം മാനകവിചലനം σ ഉം ആയ വിതരണത്തെ അനുസരിക്കുന്ന ചരങ്ങളാണ് X₁, X₂, ......... X_nഎങ്കില്‍ ചിത്രം:Limit1.png

ഈ പ്രമേയം തെളിയിക്കുന്നതിനുവേണ്ടി (X_i) ന്റെ ലക്ഷണഫലനം ∅ (t) എന്നു സങ്കല്പിക്കുമ്പോള്‍ ചിത്രം:Limit12.png

ഇവയ്ക്കു പുറമേ, t സ്ഥിരമാക്കി നിര്‍ത്തി n നെ അനന്തത്തിലേക്കു പ്രവണമാക്കുമ്പോള്‍ പൂജ്യത്തിലേക്കു പ്രവണമാകുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് ചിത്രം:Liimit1.png

എന്ന് എഴുതാവുന്നതാണ്. ഇതില്‍ n അന്തത്തിലേക്കു പ്രവണമാകുമ്പോള്‍

ചിത്രം:Limmit3.png ചിത്രം:Limmit4.png

എന്ന കോഷി (Cauchy) വിതരണത്തെ അനുസരിക്കുന്ന nചരങ്ങളുടെ മാധ്യത്തിന്റെ വിതരണം ഉപഗാമി എന്ന നിലയില്‍ നോര്‍മല്‍ ആയിരിക്കുന്നതല്ല. എന്നാല്‍ ഇതിനും ചില അപവാദങ്ങള്‍ (exceptions) കാണാം.

സംഭവ്യതാ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പുരോഗതിയില്‍ ഗണ്യമായ പങ്ക് നിര്‍വഹിച്ചിട്ടുള്ള സൂത്രമാണ് കേന്ദ്രീയ സീമാസൂത്രം.

(ഡോ. പി. യു. സുരേന്ദ്രന്‍)