This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

അന്തര്‍വലനം

Involution

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, ഒരു നേര്‍വരയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവായ O-ല്‍നിന്നു p, P';QQ';.... എന്നീ ബിന്ദുജോടികള്‍, OP.OP' = OQ.OQ' = ..... = K (ഒരു സ്ഥിരാങ്കം) അനുസരിച്ച് സ്ഥിതിചെയ്യുകയാണെങ്കില്‍, P,P ; Q, Q'; ...... ഒരു അന്തര്‍വലന ബിന്ദുമാല സൃഷ്ടിക്കുന്നുവെന്നു പറയാം. ഇതിലടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഗണിതതത്ത്വമാണ് അന്തര്‍വലനം.

പൂജ്യത്തെക്കാള്‍ വലിയ ഒരു സംഖ്യയാണ് K എങ്കില്‍ (P,P'), അതായത് ഒരു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കള്‍ (‍‍‍corresponding points) O-യുടെ ഒരു വശത്ത് ആയിരിക്കും. പൂജ്യത്തേക്കാള്‍ കുറവാണെങ്കില്‍, ഒരു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കള്‍ O-യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലായിരിക്കും. O അന്തര്‍വലനകേന്ദ്രവും K അന്തര്‍വലനസ്ഥിരാങ്കവുമാണ്. K > O ആയാല്‍ ബഹിര്‍വളയ-അന്തര്‍വലനം (hyperbolic involution) എന്നും K < O ആയാല്‍ ദീര്‍ഘവൃത്ത-അന്തര്‍വലനമെന്നും പറയുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് F, F' എന്ന ബിന്ദുക്കള്‍ O-യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലുമായി OF² = OF^'2 = K (> O) - അടയാളപ്പെടുത്തുക. (F,F'), (F',F') ഇവ രണ്ടു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കളാകുന്നു. അതായത് F-ന്റെ അനുയോഗബിന്ദു F തന്നെ. F'-ന്റേത് F'. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ അനുയോഗബിന്ദു ആ ബിന്ദു തന്നെ ആണെങ്കില്‍ ആ ബിന്ദുവിന് അന്തര്‍വലനമാലയിലെ 'ഇരട്ടബിന്ദു' (double point) എന്നു പറയുന്നു. ഇവയെ അന്തര്‍വലനസ്ഥിരബിന്ദുക്കള്‍ എന്നും പറയാറുണ്ട്. FF'-ന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ് O. മാത്രമല്ല ഈ വ്യവസ്ഥയും ഉണ്ട്: OP . OP' = OQ . OQ' = ......==K=OF^'2 = OF² = OF^'2. അതുകൊണ്ട് (P,P';F,F') = (Q, Q' ; F, F') = ........ = -1.

അനുയോഗബിന്ദുക്കളുടെയും ഇരട്ടബിന്ദുക്കളുടെയും ഈ സ്വഭാവവിശേഷത്തിന് ഹാര്‍മോണികസ്വഭാവമെന്നു പറയുന്നു. ഈ ഗുണധര്‍മം അന്തര്‍വലനമാലകളെ സംബന്ധിച്ചു സുപ്രധാനമാണ്. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍വലനമാലകളെ നിര്‍വചിക്കാറുണ്ട്. K < O ആണെങ്കില്‍ ഇരട്ടബിന്ദുക്കള്‍ സാങ്കല്പികങ്ങളായിരിക്കും.

അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികകള്‍ (Involution Pencils). p,p',q,q'; ....... എന്നീ രേഖാജോടികള്‍ ഒരേ ശീര്‍ഷ (vertex)ത്തില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോവുകയും അവ ഏതെങ്കിലുമൊരു ഛേദരേഖയിന്‍മേല്‍ (transversal) ഒരു അന്തര്‍വലനമാല സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുകയാണെങ്കില്‍ (p,p';q,q'......) ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക ആണെന്നു പറയുന്നു. ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയില്‍ എപ്പോഴും രണ്ടു ഇരട്ടരേഖകളുണ്ടായിരിക്കും. ഈ ഇരട്ടരേഖകളും ഒരു ജോടി അനുയോഗരേഖകളും ഹാര്‍മോണികങ്ങളായിരിക്കും. ഒരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന p,p',q,q'നിങ്ങനെയുള്ള ലംബരേഖാജോടികള്‍ ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക സൃഷ്ടിക്കുന്നതാണ്. ഈ ലംബജോടികള്‍ ഒരു ഛേദരേഖയെ (l) P,P'; Q, Q'; ..... എന്നീ ബിന്ദുജോടികളില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ. l എന്ന രേഖയ്ക്കു ലംബമായി OV വരയ്ക്കുക. OPP'; OQQ' ..... എന്നീ മട്ടത്രികോണങ്ങളില്‍ നിന്നും OP . OP' = -OV² = OQ. OQ'; ........ എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട് (P,P';Q,Q'; ......) ഒരു അന്തര്‍വലനമാലയാണ്; അതായത് (p,p';q,q' ......) ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക. അന്തര്‍വലനസ്ഥിരാങ്കമായ (-OV²) പൂജ്യത്തെക്കാള്‍ കുറവാകയാല്‍ ഇരട്ടബിന്ദുക്കള്‍ സാങ്കല്‍പികങ്ങളാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ലംബ-അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയിലെ ഇരട്ടരേഖകള്‍ സങ്കല്പികമാണ്. ഈ രണ്ടു രേഖകളുടെയും ഒന്നിച്ചുള്ള സമവാക്യം ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ആകുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഈ രേഖകളെ വൃത്തീയരേഖകള്‍ (circular lines) എന്നും പറയാറുണ്ട്. ഒരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി എപ്പോഴും രണ്ടു വൃത്തീയ രേഖകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. അവ ആ ബിന്ദുശീര്‍ഷമായുള്ള ലംബ-അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയിലെ (ortho-gonal involution pencil) ഇരട്ടരേഖകളാണ്. ഒരു സമതലത്തിലുള്ള ഓരോ ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടിയും രണ്ടു വൃത്തീയരേഖകളുണ്ട്. ഈ വൃത്തീയരേഖകളെല്ലാം അനന്തരേഖ (infinite line)യിലുള്ള രണ്ടു സ്ഥിരബിന്ദുക്കളില്‍ കൂടി കടന്നുപോകുന്നു. ഈ ബിന്ദുക്കളെ ആ സമതലത്തിലുള്ള വൃത്തീയബിന്ദുക്കള്‍ എന്നാണ് പറയുന്നത്. നോ: പ്രക്ഷേപ ജ്യാമിതി

(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)