This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അന്തര്‍വലനം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
അന്തര്‍വലനം
Involution
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, ഒരു നേര്‍വരയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവായ O-ല്‍നിന്നു p, P';QQ';.... എന്നീ ബിന്ദുജോടികള്‍, OP.OP' = OQ.OQ' = ..... = K (ഒരു സ്ഥിരാങ്കം) അനുസരിച്ച് സ്ഥിതിചെയ്യുകയാണെങ്കില്‍, P,P ; Q, Q'; ...... ഒരു അന്തര്‍വലന ബിന്ദുമാല സൃഷ്ടിക്കുന്നുവെന്നു പറയാം. ഇതിലടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഗണിതതത്ത്വമാണ് അന്തര്‍വലനം.
പൂജ്യത്തെക്കാള്‍ വലിയ ഒരു സംഖ്യയാണ് K എങ്കില്‍ (P,P'), അതായത് ഒരു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കള്‍ (corresponding points) O-യുടെ ഒരു വശത്ത് ആയിരിക്കും. പൂജ്യത്തേക്കാള്‍ കുറവാണെങ്കില്‍, ഒരു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കള്‍ O-യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലായിരിക്കും. O അന്തര്‍വലനകേന്ദ്രവും K അന്തര്‍വലനസ്ഥിരാങ്കവുമാണ്. K > O ആയാല്‍ ബഹിര്‍വളയ-അന്തര്‍വലനം (hyperbolic involution) എന്നും K < O ആയാല്‍ ദീര്‍ഘവൃത്ത-അന്തര്‍വലനമെന്നും പറയുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് എ, എ' എന്ന ബിന്ദുക്കള്‍ ഛ-യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലുമായി ഛഎ2 = ഛഎ'2 = ഗ (> ഛ) - അടയാളപ്പെടുത്തുക. (എ,എ'), (എ',എ') ഇവ രണ്ടു ജോടി അനുയോഗബിന്ദുക്കളാകുന്നു. അതായത് എ-ന്റെ അനുയോഗബിന്ദു എ തന്നെ. എ'-ന്റേത് എ'. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ അനുയോഗബിന്ദു ആ ബിന്ദു തന്നെ ആണെങ്കില്‍ ആ ബിന്ദുവിന് അന്തര്‍വലനമാലയിലെ 'ഇരട്ടബിന്ദു' (റീൌയഹല ുീശി) എന്നു പറയുന്നു. ഇവയെ അന്തര്‍വലനസ്ഥിരബിന്ദുക്കള്‍ എന്നും പറയാറുണ്ട്. എഎ'-ന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ് ഛ. മാത്രമല്ല ഈ വ്യവസ്ഥയും ഉണ്ട്: ഛജ . ഛജ' = ഛഝ . ഛഝ' =
...... = ഗ = ഛഎ2 = ഛഎ'2. അതുകൊണ്ട് (ജ, ജ'; എ, എ') = (ഝ, ഝ' ; എ, എ') = ........ = 1.
അനുയോഗബിന്ദുക്കളുടെയും ഇരട്ടബിന്ദുക്കളുടെയും ഈ സ്വഭാവവിശേഷത്തിന് ഹാര്‍മോണികസ്വഭാവമെന്നു പറയുന്നു. ഈ ഗുണധര്‍മം അന്തര്‍വലനമാലകളെ സംബന്ധിച്ചു സുപ്രധാനമാണ്. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍വലനമാലകളെ നിര്‍വചിക്കാറുണ്ട്. ഗ < ഛ ആണെങ്കില്‍ ഇരട്ടബിന്ദുക്കള്‍ സാങ്കല്പികങ്ങളായിരിക്കും.
അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികകള്‍ (ക്ിീഹൌശീിേ ജലിരശഹ). ു, ു'; ൂ, ൂ'; ....... എന്നീ രേഖാജോടികള്‍ ഒരേ ശീര്‍ഷ (്ലൃലേഃ)ത്തില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോവുകയും അവ ഏതെങ്കിലുമൊരു ഛേദരേഖയിന്‍മേല്‍ (ൃമി്ലൃമെഹ) ഒരു അന്തര്‍വലനമാല സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുകയാണെങ്കില്‍ (ു, ു'; ൂ, ൂ';......) ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക ആണെന്നു പറയുന്നു. ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയില്‍ എപ്പോഴും രണ്ടു ഇരട്ടരേഖകളുണ്ടായിരിക്കും. ഈ ഇരട്ടരേഖകളും ഒരു ജോടി അനുയോഗരേഖകളും ഹാര്‍മോണികങ്ങളായിരിക്കും. ഒരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന ു, ു', ൂ, ൂ' എന്നിങ്ങനെയുള്ള ലംബരേഖാജോടികള്‍ ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക സൃഷ്ടിക്കുന്നതാണ്. ഈ ലംബജോടികള്‍ ഒരു ഛേദരേഖയെ (ഹ) ജ, ജ'; ഝ, ഝ'; ..... എന്നീ ബിന്ദുജോടികളില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ. ഹ എന്ന രേഖയ്ക്കു ലംബമായി ഛഢ വരയ്ക്കുക. ഛജജ'; ഛഝഝ' ..... എന്നീ മട്ടത്രികോണങ്ങളില്‍ നിന്നും ഛജ . ഛജ' = ഛഢ2 = ഛഝ. ഛഝ'; ........ എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട് (ജ, ജ'; ഝ, ഝ'; ......) ഒരു അന്തര്‍വലനമാലയാണ്; അതായത് (ു, ു'; ൂ, ൂ'; ......) ഒരു അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചിക. അന്തര്‍വലനസ്ഥിരാങ്കമായ (ഛഢ2) പൂജ്യത്തെക്കാള്‍ കുറവാകയാല്‍ ഇരട്ടബിന്ദുക്കള്‍ സാങ്ക്ലപികങ്ങളാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ലംബ-അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയിലെ ഇരട്ടരേഖകള്‍ സങ്കല്പികമാണ്. ഈ രണ്ടു രേഖകളുടെയും ഒന്നിച്ചുള്ള സമവാക്യം ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ആകുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഈ രേഖകളെ വൃത്തീയരേഖകള്‍ (രശൃരൌഹമൃ ഹശില) എന്നും പറയാറുണ്ട്. ഒരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി എപ്പോഴും രണ്ടു വൃത്തീയ രേഖകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. അവ ആ ബിന്ദുശീര്‍ഷമായുള്ള ലംബ-അന്തര്‍വലനകൂര്‍ചികയിലെ (ീൃവീേഴീിമഹ ശ്ിീഹൌശീിേ ുലിരശഹ) ഇരട്ടരേഖകളാണ്. ഒരു സമതലത്തിലുള്ള ഓരോ ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടിയും രണ്ടു വൃത്തീയരേഖകളുണ്ട്. ഈ വൃത്തീയരേഖകളെല്ലാം അനന്തരേഖ (ശിളശിശലേ ഹശില)യിലുള്ള രണ്ടു സ്ഥിരബിന്ദുക്കളില്‍ കൂടി കടന്നുപോകുന്നു. ഈ ബിന്ദുക്കളെ ആ സമതലത്തിലുള്ള വൃത്തീയബിന്ദുക്കള്‍ എന്നാണ് പറയുന്നത്. നോ: പ്രക്ഷേപ ജ്യാമിതി
(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)
