This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
116.68.67.59 (സംവാദം)
(New page: = അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം = കിലൃുീേഹമശീിേ, ഋഃൃമുീഹമശീിേ പരസ്പരബന്ധമുള...)
അടുത്ത വ്യത്യാസം →
10:22, 5 ഫെബ്രുവരി 2008-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം
കിലൃുീേഹമശീിേ, ഋഃൃമുീഹമശീിേ
പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (ഠ)യും ഘനമാന(ഢ)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(യശ്മൃശമലേ മേയഹല) ഉണ്ടാകുന്നു. (ഠശ, ഢശ) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (രീൃൃലുീിറശിഴ ുമശൃ ീള ്മഹൌല). ശ= 1,2, ...., സ എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം സ ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് ഠശയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഢശ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ ഠശയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ ഢശമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.
സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(ചൌാലൃശരമഹ മിമഹ്യശെ)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.
ലേഖാ-ഗണനം (ഏൃമുവശര ാലവീേറ). പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (അിമഹ്യശേരമഹ ഏലീാലൃ്യ)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (മഃല ീള രീീൃറശിമലേ) പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (ാീീവേ ര്ൌൃല) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (ലശാെേമലേ) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍. പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. ഃ, ്യ എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(റലുലിറലി ്മൃശമയഹല)വും സ്വതന്ത്രചര(ശിറലുലിറലി ്മൃശമയഹല)വും ആണെങ്കില്‍, ഃ-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് ്യ-ക്ക് ൌ0, ൌ1, ൌ2, ൌ3, ൌ4, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് ൌ1, ൌ2, ൌ3..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ ൌൃ+1 ൌൃ ന് ?ൌൃ എന്നും ?ൌൃ+1ബ?ൌൃ ന് ?2ൌൃ എന്നും ?2ൌൃ+1 ബ??2ൌൃ ന് ?3ൌൃ എന്നും ഈ ക്രമത്തില്‍ തുടര്‍ന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങള്‍ക്കും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് താഴെയുള്ള വ്യത്യാസപ്പട്ടികയുണ്ടാക്കാവുന്നതാണ്.
വ്യത്യാസപ്പട്ടിക
ൌ ??ൌ ??2ൌ ? 3ൌ ???ൌ
ൌ2 ??ൌ2 ??2ൌ2 ??3ൌ2 ???ൌ2
ൌ1 ??ൌ1 ? 2ൌ1 ??3ൌ1 ???ൌ1
ൌ0 ??ൌ0 ??2ൌ0 ??3ൌ0
ൌ1 ??ൌ1 ? 2ൌ1
ൌ2 ?ൌ2 .... .... ....
ൌ3 ...... .... .... ....
ഈ പട്ടികയില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു കോളത്തില്‍ ഒരേ മൂല്യം വന്നാല്‍ അടുത്ത കോളം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഒരേ മൂല്യം വരുന്ന കോളം എത്തുകയോ കൂടുതല്‍ കോളം തയ്യാറാക്കാന്‍ സാധിക്കാത്ത അവസ്ഥയിലെത്തുകയോ ചെയ്താല്‍ പട്ടിക അവസാനിച്ചതായി കരുതാം.
അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍ (ട്യായീഹ ീള ീുലൃമശീിേ). ഋ, ? എന്നിവയാണ് സര്‍വസാധാരണമായ പ്രതീകങ്ങള്‍. ള(ഃ) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഃ-ന് മ, മ+1, മ+2, മ+3 എന്നിങ്ങനെയാകുമ്പോള്‍ ള(മ), ള(മ+1), ള(മ+2) എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നതാണ്; ഇവ ക്രമത്തില്‍ ഋ0 ള(മ), ഋ1ള(മ), ഋ2 ള(മ), ഋ3 ള(മ) എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍നിന്നു ഋയുടെ അര്‍ഥം മനസ്സിലാക്കാം. ?ള(മ) = ള(മ+1) ള(മ),
?ള(മ+1) = ള(മ+2) ള(മ+1). ഋ1 നും ??ക്കും ഒരേ വിധത്തിലുള്ള ഫലമാണ്. അതായത്,
?ള(മ) = (ഋ1) ള(മ). ഈ ബന്ധമുപയോഗിച്ച് ?ി = (ഋ1)ി എന്നും ഋി = ???1)ി എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
ന്യൂട്ടന്റെ അന്തര്‍ഗണനഫോര്‍മുല
ൌമ+ി = ഋി ൌമ = (1+ ?)ി ൌമ
മ = 0 എന്നെടുത്താല്‍ ന്യൂട്ടന്റെ 'മുന്നോക്കഫോര്‍മുല' (എീൃംമൃറ ളീൃാൌഹമ) താഴെ കാണുന്ന വിധത്തിലെഴുതാം:
ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം
