This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അംശബന്ധം, അനുപാതം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(പുതിയ താള്‍: അംശബന്ധം, അനുപാതം (ഞമശീേ മിറ ജൃീുീൃശീിേ) രണ്ടു സംഖ്യകളെ താരതമ...) |
|||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
| - | അംശബന്ധം, അനുപാതം | + | =അംശബന്ധം, അനുപാതം= |
| - | + | (Ratio and Proportion) | |
| - | ( | + | |
രണ്ടു സംഖ്യകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്താന്‍ ആ സംഖ്യകളുടെ ഭിന്നിതം ഉപയോഗപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ഈ ഭിന്നിതമാണ് അവയുടെ അംശബന്ധം. രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ തുല്യമായിരുന്നാല്‍ ആ സമവാക്യത്തെ അനുപാതം എന്നു പറയുന്നു. അവയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്ന സംഖ്യകള്‍ ഈരണ്ടായി ക്രമത്തില്‍ അനുപാതത്തില്‍ (ആനുപാതികം) ആണെന്നു പറയുന്നു. അംശബന്ധം എന്നതിന് അനുപാതം എന്നും അനുപാതസംഖ്യ എന്നും പറയാറുണ്ട്; അനുപാതത്തിന് സമാനുപാതം എന്നും പേരുണ്ട്. | രണ്ടു സംഖ്യകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്താന്‍ ആ സംഖ്യകളുടെ ഭിന്നിതം ഉപയോഗപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ഈ ഭിന്നിതമാണ് അവയുടെ അംശബന്ധം. രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ തുല്യമായിരുന്നാല്‍ ആ സമവാക്യത്തെ അനുപാതം എന്നു പറയുന്നു. അവയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്ന സംഖ്യകള്‍ ഈരണ്ടായി ക്രമത്തില്‍ അനുപാതത്തില്‍ (ആനുപാതികം) ആണെന്നു പറയുന്നു. അംശബന്ധം എന്നതിന് അനുപാതം എന്നും അനുപാതസംഖ്യ എന്നും പറയാറുണ്ട്; അനുപാതത്തിന് സമാനുപാതം എന്നും പേരുണ്ട്. | ||
| - | + | പ്രാചീന ഭാരതീയഗണിതത്തില്‍ അംശബന്ധവും അനുപാതവും പ്രയോഗിച്ചിരുന്നു. ''ലീലാവതി'' എന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ II അനുപാതത്തിന്റെ സവിശേഷതകള്‍ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ട്. അംശബന്ധത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെയും പ്രായോഗിക പ്രമാണങ്ങള്‍ അങ്കഗണിതത്തില്‍ കാണാം. ബീജഗണിതത്തില്‍ ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളുണ്ട്. a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ അംശബന്ധം a/b ആണ്.a,b;c,d എന്നിവ ആനുപാതികമാണെങ്കില്‍ a/b = c/d ആയിരിക്കും. ഈ അനുപാതത്തില്‍ a, d എന്നിവയെ ബാഹ്യപദങ്ങള്‍ (extremes) എന്നും b, c എന്നിവയെ മധ്യപദങ്ങള്‍ (middles) എന്നും പറയുന്നു. ബാഹ്യപദങ്ങളുടെ ഗുണിതവും മധ്യപദങ്ങളുടെ ഗുണിതവും തുല്യമായിരിക്കും, അതായത്, ad = bc. നാലാമത്തെ സ്ഥാനത്തുള്ള d ഈ അനുപാതത്തിലെ നാലാം ആനുപാതികാംശം (fourth proportional) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. a/b = b/c എന്ന ഒരനുപാതമുണ്ടെങ്കില്‍ അതിലെ c മൂന്നാം ആനുപാതികാംശം (third proportional) ആണ്. b ഇവിടെ a, c എന്നിവയുടെ മാധ്യ-ആനുപാതികാംശം (mean-proportional) ആണ്. | |
| + | |||
| + | a/b = b/c = c/d = ....................... | ||
| - | + | എന്നു തുടങ്ങുന്ന അനുപാത ശൃംഖലയെ അനുസ്യൂതാനുപാതം (continued proportion) എന്നു പറയുന്നു. a/b = c/d ആണെങ്കില്‍ | |
| - | + | (a+b)/b = (c+d)/d, | |
| - | + | (a-b)/b = (c-d)/d, | |
| - | + | (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) | |
| - | എന്നീ ഫലങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്. | + | എന്നീ ഫലങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്. a/b = c/d = e/f ആണെങ്കില്‍, ഇതില്‍ ഓരോന്നിനും തുല്യമായ (la+mc+ne)/(lb+md+nf) എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഫലങ്ങള്‍ സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയും. ''നോ: അങ്കഗണിതം; ആള്‍ജിബ്ര; ലീലാവതി |
| + | '' | ||
Current revision as of 07:27, 30 ജൂലൈ 2009
അംശബന്ധം, അനുപാതം
(Ratio and Proportion)
രണ്ടു സംഖ്യകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്താന്‍ ആ സംഖ്യകളുടെ ഭിന്നിതം ഉപയോഗപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ഈ ഭിന്നിതമാണ് അവയുടെ അംശബന്ധം. രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങള്‍ തുല്യമായിരുന്നാല്‍ ആ സമവാക്യത്തെ അനുപാതം എന്നു പറയുന്നു. അവയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്ന സംഖ്യകള്‍ ഈരണ്ടായി ക്രമത്തില്‍ അനുപാതത്തില്‍ (ആനുപാതികം) ആണെന്നു പറയുന്നു. അംശബന്ധം എന്നതിന് അനുപാതം എന്നും അനുപാതസംഖ്യ എന്നും പറയാറുണ്ട്; അനുപാതത്തിന് സമാനുപാതം എന്നും പേരുണ്ട്.
പ്രാചീന ഭാരതീയഗണിതത്തില്‍ അംശബന്ധവും അനുപാതവും പ്രയോഗിച്ചിരുന്നു. ലീലാവതി എന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ II അനുപാതത്തിന്റെ സവിശേഷതകള്‍ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ട്. അംശബന്ധത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെയും പ്രായോഗിക പ്രമാണങ്ങള്‍ അങ്കഗണിതത്തില്‍ കാണാം. ബീജഗണിതത്തില്‍ ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളുണ്ട്. a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ അംശബന്ധം a/b ആണ്.a,b;c,d എന്നിവ ആനുപാതികമാണെങ്കില്‍ a/b = c/d ആയിരിക്കും. ഈ അനുപാതത്തില്‍ a, d എന്നിവയെ ബാഹ്യപദങ്ങള്‍ (extremes) എന്നും b, c എന്നിവയെ മധ്യപദങ്ങള്‍ (middles) എന്നും പറയുന്നു. ബാഹ്യപദങ്ങളുടെ ഗുണിതവും മധ്യപദങ്ങളുടെ ഗുണിതവും തുല്യമായിരിക്കും, അതായത്, ad = bc. നാലാമത്തെ സ്ഥാനത്തുള്ള d ഈ അനുപാതത്തിലെ നാലാം ആനുപാതികാംശം (fourth proportional) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. a/b = b/c എന്ന ഒരനുപാതമുണ്ടെങ്കില്‍ അതിലെ c മൂന്നാം ആനുപാതികാംശം (third proportional) ആണ്. b ഇവിടെ a, c എന്നിവയുടെ മാധ്യ-ആനുപാതികാംശം (mean-proportional) ആണ്.
a/b = b/c = c/d = .......................
എന്നു തുടങ്ങുന്ന അനുപാത ശൃംഖലയെ അനുസ്യൂതാനുപാതം (continued proportion) എന്നു പറയുന്നു. a/b = c/d ആണെങ്കില്‍
(a+b)/b = (c+d)/d,
(a-b)/b = (c-d)/d,
(a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
എന്നീ ഫലങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്. a/b = c/d = e/f ആണെങ്കില്‍, ഇതില്‍ ഓരോന്നിനും തുല്യമായ (la+mc+ne)/(lb+md+nf) എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഫലങ്ങള്‍ സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയും. നോ: അങ്കഗണിതം; ആള്‍ജിബ്ര; ലീലാവതി
