This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അനന്തത
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(→അനന്തത) |
|||
| വരി 3: | വരി 3: | ||
| - | 'അവസാനമില്ലാത്ത അവസ്ഥ' എന്ന അര്‍ഥത്തില്‍ ഈ പദം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളില്‍ പ്രയോഗത്തിലിരിക്കുന്നു. തടസ്സമെന്യേ വീണ്ടും വീണ്ടും നീട്ടാവുന്ന ഒരു ഋജുരേഖയുടെ നീളം; 1, 2, 3, ......... എന്നിങ്ങനെ എണ്ണിയാല്‍ അവസാനമെത്താത്ത ഒരു സംഖ്യാസമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ എന്നിവ അനന്തതയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളായി പറഞ്ഞുവരുന്നു. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു ക്ളിപ്ത മൂല്യം ഇല്ലെന്നു സങ്കല്പിക്കപ്പെട്ടു. അങ്ങനെ അനന്തത ഒരാശയമായി നിലകൊള്ളുകയാണ്; അനന്തത ഒരു അക്കമല്ല. എ.ഡി. 19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ആദ്യഘട്ടത്തില്‍ എ.എല്‍. കോഷി (1789-1857) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ സീമ (limit) എന്ന ആശയത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ സമീപനം നിര്‍ദേശിച്ചു. അതോടുകൂടി കലനം അഥവാ കാല്‍ക്കുലസ്, ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി തുടങ്ങിയ ഗണിതശാഖകളില്‍ അനന്തത ഒരു സീമയായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു. അനന്തതയെ '' എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. ഒരു പരിമിത സംഖ്യയെ എന്നപോലെ, അനന്തതയെ കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്നതല്ല. ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഗണിതക്രിയകള്‍ താഴെക്കാണുന്ന നിയമങ്ങള്‍ക്കു വിധേയമായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്. ∞+∞=∞;∞*∞=∞a ഒരു പരിമിതസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a+∞=∞ a /∞→0കൂടാതെ a, ഒരു ധനാത്മക സംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a | + | 'അവസാനമില്ലാത്ത അവസ്ഥ' എന്ന അര്‍ഥത്തില്‍ ഈ പദം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളില്‍ പ്രയോഗത്തിലിരിക്കുന്നു. തടസ്സമെന്യേ വീണ്ടും വീണ്ടും നീട്ടാവുന്ന ഒരു ഋജുരേഖയുടെ നീളം; 1, 2, 3, ......... എന്നിങ്ങനെ എണ്ണിയാല്‍ അവസാനമെത്താത്ത ഒരു സംഖ്യാസമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ എന്നിവ അനന്തതയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളായി പറഞ്ഞുവരുന്നു. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു ക്ളിപ്ത മൂല്യം ഇല്ലെന്നു സങ്കല്പിക്കപ്പെട്ടു. അങ്ങനെ അനന്തത ഒരാശയമായി നിലകൊള്ളുകയാണ്; അനന്തത ഒരു അക്കമല്ല. എ.ഡി. 19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ആദ്യഘട്ടത്തില്‍ എ.എല്‍. കോഷി (1789-1857) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ സീമ (limit) എന്ന ആശയത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ സമീപനം നിര്‍ദേശിച്ചു. അതോടുകൂടി കലനം അഥവാ കാല്‍ക്കുലസ്, ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി തുടങ്ങിയ ഗണിതശാഖകളില്‍ അനന്തത ഒരു സീമയായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു. അനന്തതയെ '' എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. ഒരു പരിമിത സംഖ്യയെ എന്നപോലെ, അനന്തതയെ കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്നതല്ല. ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഗണിതക്രിയകള്‍ താഴെക്കാണുന്ന നിയമങ്ങള്‍ക്കു വിധേയമായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്. ∞+∞=∞;∞*∞=∞a ഒരു പരിമിതസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a+∞=∞ a /∞→0കൂടാതെ a, ഒരു ധനാത്മക സംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a x ∞=∞എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു. |
| - | + | ||
19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ഉത്തരാര്‍ധത്തില്‍ ജോര്‍ജ് കാന്റാര്‍ (1845-1918) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഗണസിദ്ധാന്ത (Set theory)ത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടു നല്കി. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനവും നിലവില്‍ വന്നു. ഏതൊരു സമൂഹത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും ആ സമൂഹത്തിന്റെ ഒരംശത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും തമ്മില്‍ ഒന്നിനോടൊന്ന് അനുയോഗം (one-one correspondence) സ്ഥാപിക്കാമെങ്കില്‍ ആ സമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയാണ്. കാന്റാര്‍ ഒന്നിലധികം അനന്തതകള്‍ കണ്ടെത്തി. | 19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ഉത്തരാര്‍ധത്തില്‍ ജോര്‍ജ് കാന്റാര്‍ (1845-1918) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഗണസിദ്ധാന്ത (Set theory)ത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടു നല്കി. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനവും നിലവില്‍ വന്നു. ഏതൊരു സമൂഹത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും ആ സമൂഹത്തിന്റെ ഒരംശത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും തമ്മില്‍ ഒന്നിനോടൊന്ന് അനുയോഗം (one-one correspondence) സ്ഥാപിക്കാമെങ്കില്‍ ആ സമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയാണ്. കാന്റാര്‍ ഒന്നിലധികം അനന്തതകള്‍ കണ്ടെത്തി. | ||
(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍) | (ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍) | ||
07:49, 20 മാര്‍ച്ച് 2008-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
അനന്തത
Infinity
'അവസാനമില്ലാത്ത അവസ്ഥ' എന്ന അര്‍ഥത്തില്‍ ഈ പദം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളില്‍ പ്രയോഗത്തിലിരിക്കുന്നു. തടസ്സമെന്യേ വീണ്ടും വീണ്ടും നീട്ടാവുന്ന ഒരു ഋജുരേഖയുടെ നീളം; 1, 2, 3, ......... എന്നിങ്ങനെ എണ്ണിയാല്‍ അവസാനമെത്താത്ത ഒരു സംഖ്യാസമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ എന്നിവ അനന്തതയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളായി പറഞ്ഞുവരുന്നു. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു ക്ളിപ്ത മൂല്യം ഇല്ലെന്നു സങ്കല്പിക്കപ്പെട്ടു. അങ്ങനെ അനന്തത ഒരാശയമായി നിലകൊള്ളുകയാണ്; അനന്തത ഒരു അക്കമല്ല. എ.ഡി. 19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ആദ്യഘട്ടത്തില്‍ എ.എല്‍. കോഷി (1789-1857) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ സീമ (limit) എന്ന ആശയത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ സമീപനം നിര്‍ദേശിച്ചു. അതോടുകൂടി കലനം അഥവാ കാല്‍ക്കുലസ്, ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി തുടങ്ങിയ ഗണിതശാഖകളില്‍ അനന്തത ഒരു സീമയായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു. അനന്തതയെ എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. ഒരു പരിമിത സംഖ്യയെ എന്നപോലെ, അനന്തതയെ കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്നതല്ല. ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഗണിതക്രിയകള്‍ താഴെക്കാണുന്ന നിയമങ്ങള്‍ക്കു വിധേയമായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്. ∞+∞=∞;∞*∞=∞a ഒരു പരിമിതസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a+∞=∞ a /∞→0കൂടാതെ a, ഒരു ധനാത്മക സംഖ്യയാണെങ്കില്‍ a x ∞=∞എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
19-ാം ശ.-ത്തിന്റെ ഉത്തരാര്‍ധത്തില്‍ ജോര്‍ജ് കാന്റാര്‍ (1845-1918) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഗണസിദ്ധാന്ത (Set theory)ത്തിലൂടെ അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടു നല്കി. അനന്തതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനവും നിലവില്‍ വന്നു. ഏതൊരു സമൂഹത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും ആ സമൂഹത്തിന്റെ ഒരംശത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ക്കും തമ്മില്‍ ഒന്നിനോടൊന്ന് അനുയോഗം (one-one correspondence) സ്ഥാപിക്കാമെങ്കില്‍ ആ സമൂഹത്തിലെ ആകെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയാണ്. കാന്റാര്‍ ഒന്നിലധികം അനന്തതകള്‍ കണ്ടെത്തി.
(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)
