This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ക്രമചയം, സഞ്ചയം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(→Permutation, Combination) |
(→Permutation, Combination) |
||
| (ഇടക്കുള്ള 3 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.) | |||
| വരി 4: | വരി 4: | ||
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഏതാനും സംഖ്യകളെയോ ചിഹ്നങ്ങളെയോ നിര്‍ദിഷ്ട ക്രമത്തില്‍ നിരത്തുകയും അപ്രകാരം നിരത്തുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ ക്രമചയം എന്നും അവയെ ക്രമം അവഗണിച്ചു കൂട്ടങ്ങളായി തിരിക്കുകയും ഇപ്രകാരം തിരിക്കുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ സഞ്ചയം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. A, B എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളെ നിരത്തിയാല്‍ AB, BA എന്നീ രണ്ടുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. അതുകൊണ്ടു ക്രമചയത്തിന്റെ എണ്ണം ഇതില്‍ 2 ആയിരിക്കും; സഞ്ചയത്തിന്റെ എണ്ണം 1. സഞ്ചയത്തില്‍ AB, BA എന്നിവ വിഭിന്നമല്ല. ABC എന്നിവയെ രണ്ടു വീതം ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ AB, BA; AC, CA; BC, CB എന്നിങ്ങനെ 6 തരത്തില്‍ ക്രമങ്ങളുണ്ടാകുന്നു. ക്രമചയം ഇവിടെ 6 ആണ്. AB, BA | ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഏതാനും സംഖ്യകളെയോ ചിഹ്നങ്ങളെയോ നിര്‍ദിഷ്ട ക്രമത്തില്‍ നിരത്തുകയും അപ്രകാരം നിരത്തുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ ക്രമചയം എന്നും അവയെ ക്രമം അവഗണിച്ചു കൂട്ടങ്ങളായി തിരിക്കുകയും ഇപ്രകാരം തിരിക്കുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ സഞ്ചയം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. A, B എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളെ നിരത്തിയാല്‍ AB, BA എന്നീ രണ്ടുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. അതുകൊണ്ടു ക്രമചയത്തിന്റെ എണ്ണം ഇതില്‍ 2 ആയിരിക്കും; സഞ്ചയത്തിന്റെ എണ്ണം 1. സഞ്ചയത്തില്‍ AB, BA എന്നിവ വിഭിന്നമല്ല. ABC എന്നിവയെ രണ്ടു വീതം ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ AB, BA; AC, CA; BC, CB എന്നിങ്ങനെ 6 തരത്തില്‍ ക്രമങ്ങളുണ്ടാകുന്നു. ക്രമചയം ഇവിടെ 6 ആണ്. AB, BA | ||
| - | എന്നിവ സഞ്ചയമെന്ന നിലയില്‍ വിഭിന്നമല്ല. അതുപോലെ AC, CA; BC, CB എന്നിവയും. അതിനാല്‍ മൊത്തം സഞ്ചയം 3 ആയിരിക്കും. A,B,C എന്നിവയെ ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA എന്ന് 6 ക്രമചയങ്ങളും | + | |
| + | എന്നിവ സഞ്ചയമെന്ന നിലയില്‍ വിഭിന്നമല്ല. അതുപോലെ AC, CA; BC, CB എന്നിവയും. അതിനാല്‍ മൊത്തം സഞ്ചയം 3 ആയിരിക്കും. A,B,C എന്നിവയെ ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA എന്ന് 6 ക്രമചയങ്ങളും ABC എന്ന ഒരു സഞ്ചയവും കിട്ടും. | ||
| - | ക്രമചയവും സഞ്ചയവും സാമാന്യമായി പരിഗണിച്ച് n പദാര്‍ഥങ്ങള്‍ ഓരോ പ്രാവശ്യം r എണ്ണംവീതം എടുത്തു ക്രമപ്പെടുത്തുന്ന വിധവും ആ ക്രമങ്ങളുടെ എണ്ണവും സഞ്ചയങ്ങള്‍ എടുക്കുന്നയെണ്ണവും സൂത്രവാക്യമായി രൂപപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും. ആദ്യത്തെ ആകെ n പദാര്‍ഥങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒന്നെടുക്കുമ്പോള്‍n തരത്തിലാകാമെന്നതുകൊണ്ട് ഇപ്രകാരം എടുക്കുന്നതിന്റെ എണ്ണം n ആണ്; ഒന്നെടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ ശേഷിക്കുന്ന (n-1)ല്‍ നിന്നു മറ്റൊരെണ്ണം എടുക്കുമ്പോള്‍ (n-1) തരത്തിലാകാം. ഈ രണ്ടു പ്രക്രിയകളും ഒന്നിച്ചു n(n-1) തരത്തില്‍ നടത്താന്‍ കഴിയും. ഇപ്രകാരം തുടര്‍ന്ന് r-ാമത്തെ പദാര്‍ഥം (n-r) എണ്ണത്തില്‍നിന്ന് എടുക്കുമ്പോള്‍ ആകെ n(n-1)(n-2)...(n-r+1) തരത്തില്‍ സാധിക്കുന്നതാണ്. | + | ക്രമചയവും സഞ്ചയവും സാമാന്യമായി പരിഗണിച്ച് n പദാര്‍ഥങ്ങള്‍ ഓരോ പ്രാവശ്യം r എണ്ണംവീതം എടുത്തു ക്രമപ്പെടുത്തുന്ന വിധവും ആ ക്രമങ്ങളുടെ എണ്ണവും സഞ്ചയങ്ങള്‍ എടുക്കുന്നയെണ്ണവും സൂത്രവാക്യമായി രൂപപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും. ആദ്യത്തെ ആകെ n പദാര്‍ഥങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒന്നെടുക്കുമ്പോള്‍n തരത്തിലാകാമെന്നതുകൊണ്ട് ഇപ്രകാരം എടുക്കുന്നതിന്റെ എണ്ണം n ആണ്; ഒന്നെടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ ശേഷിക്കുന്ന (n-1)ല്‍ നിന്നു മറ്റൊരെണ്ണം എടുക്കുമ്പോള്‍ (n-1) തരത്തിലാകാം. ഈ രണ്ടു പ്രക്രിയകളും ഒന്നിച്ചു n(n-1) തരത്തില്‍ നടത്താന്‍ കഴിയും. ഇപ്രകാരം തുടര്‍ന്ന് r-ാമത്തെ പദാര്‍ഥം (n-r) എണ്ണത്തില്‍നിന്ന് എടുക്കുമ്പോള്‍ ആകെ n(n-1)(n-2)...(n-r+1) തരത്തില്‍ സാധിക്കുന്നതാണ്. അങ്ങനെ n വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍ നിന്ന് r സാധനങ്ങള്‍ ഓരോ പ്രാവശ്യവും ക്രമത്തില്‍ എടുക്കുമ്പോള്‍ n(n-1) (n-2)...(n-r+1) ക്രമചയങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇത്nജൃ എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടു സൂചിപ്പിച്ചുവരുന്നു. ഈ ഓരോ സഞ്ചയത്തിലും r സാധനങ്ങള്‍ ഉള്ളതുകൊണ്ട് അവ തമ്മില്‍ ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ r! (1x2 x 3 x.... x r) ക്രമചയങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും. അങ്ങനെn വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍നിന്ന് ഓരോ പ്രാവശ്യവും r എണ്ണം വീതം എടുക്കുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന സഞ്ചയങ്ങള്‍ nC<sub>r</sub> എന്നു സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കില്‍ ആകെ ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം nCr x r! ആയിരിക്കും, അതുകൊണ്ട്,nCr x r! = nP<sub>r</sub> ഇതില്‍ നിന്ന് nC<sub>r</sub> = nP<sub>r</sub> / r! എന്നും |
| + | [[ചിത്രം:Pg343 scree009.png]] എന്നും കിട്ടുന്നു. | ||
| + | |||
ഉദാ. 6 വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒരേസമയം | ഉദാ. 6 വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒരേസമയം | ||
| വരി 13: | വരി 16: | ||
എണ്ണം 6 P <sub>4</sub> = 6 x 5 x 4 x 3 = 360; സഞ്ചയങ്ങളുടെ എണ്ണം | എണ്ണം 6 P <sub>4</sub> = 6 x 5 x 4 x 3 = 360; സഞ്ചയങ്ങളുടെ എണ്ണം | ||
| - | + | ||
| - | nC<sub>r</sub> എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഘടനയില്‍നിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ചില സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഉദാ. nC<sub>r</sub> = nC<sub>n-r</sub> ;nC<sub>o</sub> = 1; nC<sub>n/sub> = 1; n-ന്റെ വില ക്ലിപ്തപ്പെടുത്തിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ ക്രമചയത്തെ nP<sub>r</sub> എന്നും സഞ്ചയത്തെ അഥവാ എന്നും അടയാളപ്പെടുത്താറുണ്ട്.r-ന്റെ 0, 1, 2,....,n എന്നീ വിലകള്‍ക്കനുസരിച്ച് -ന്റെ വിലകള്‍ക്ക് സഞ്ചയഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (combinational coefficients) എന്നുപറയുന്നു. | + | [[ചിത്രം:Pag343_scree0010.png]] |
| + | |||
| + | nC<sub>r</sub> എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഘടനയില്‍നിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ചില സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഉദാ. nC<sub>r</sub> = nC<sub>n-r</sub> ;nC<sub>o</sub> = 1; nC<sub>n</sub> = 1; n-ന്റെ വില ക്ലിപ്തപ്പെടുത്തിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ ക്രമചയത്തെ nP<sub>r</sub> എന്നും സഞ്ചയത്തെ അഥവാ [[ചിത്രം:Pg344scree01.png]] എന്നും അടയാളപ്പെടുത്താറുണ്ട്.r-ന്റെ 0, 1, 2,....,n എന്നീ വിലകള്‍ക്കനുസരിച്ച് nC<sub>r</sub>-ന്റെ വിലകള്‍ക്ക് സഞ്ചയഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (combinational coefficients) എന്നുപറയുന്നു. | ||
| - | n സാധനങ്ങളില്‍നിന്ന് r സാധനങ്ങള്‍ എടുത്തുകഴിയുമ്പോള്‍ ശേഷിക്കുന്ന n-r സാധനങ്ങള്‍ മറ്റൊരു കൂട്ടമായി അവശേഷിക്കുന്നു. ഇപ്രകാരം രണ്ടുഭാഗങ്ങള്‍ക്കു പകരം t ഭാഗങ്ങളായി n സാധനങ്ങള്‍ വേര്‍തിരിക്കുകയും ക്രമത്തില്‍ ഈ t കൂട്ടങ്ങളില്‍ n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>, ....n <sub>t</sub> സാധനങ്ങളായിട്ടാണ് വേര്‍തിരിച്ചതെങ്കില്‍ മൊത്തം ഇത്തരം സഞ്ചയങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതിന് ബഹുപദസഞ്ചയഗുണാങ്കം (multi combinational coefficient ) എന്നുപറയുന്നു. സഞ്ചയം എന്ന ഗണിതീയപ്രക്രിയ ആധുനികശാസ്ത്രത്തില്‍ സാമാന്യവത്കരണഫലമായി സഞ്ചയികം(combinatories) എന്ന ഒരു ഗണിതശാഖയായി വളര്‍ന്നു വികസിച്ചിരിക്കുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത(Number theory)ത്തിലും മറ്റും ഇതു പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു. | + | n സാധനങ്ങളില്‍നിന്ന് r സാധനങ്ങള്‍ എടുത്തുകഴിയുമ്പോള്‍ ശേഷിക്കുന്ന n-r സാധനങ്ങള്‍ മറ്റൊരു കൂട്ടമായി അവശേഷിക്കുന്നു. ഇപ്രകാരം രണ്ടുഭാഗങ്ങള്‍ക്കു പകരം t ഭാഗങ്ങളായി n സാധനങ്ങള്‍ വേര്‍തിരിക്കുകയും ക്രമത്തില്‍ ഈ t കൂട്ടങ്ങളില്‍ n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>, ....n <sub>t</sub> സാധനങ്ങളായിട്ടാണ് വേര്‍തിരിച്ചതെങ്കില്‍ മൊത്തം ഇത്തരം സഞ്ചയങ്ങള്‍ [[ചിത്രം:Pg344_scree002.png]] ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതിന് ബഹുപദസഞ്ചയഗുണാങ്കം (multi combinational coefficient ) എന്നുപറയുന്നു. സഞ്ചയം എന്ന ഗണിതീയപ്രക്രിയ ആധുനികശാസ്ത്രത്തില്‍ സാമാന്യവത്കരണഫലമായി സഞ്ചയികം(combinatories) എന്ന ഒരു ഗണിതശാഖയായി വളര്‍ന്നു വികസിച്ചിരിക്കുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത(Number theory)ത്തിലും മറ്റും ഇതു പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു. |
Current revision as of 17:14, 14 സെപ്റ്റംബര്‍ 2015
ക്രമചയം, സഞ്ചയം
Permutation, Combination
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഏതാനും സംഖ്യകളെയോ ചിഹ്നങ്ങളെയോ നിര്‍ദിഷ്ട ക്രമത്തില്‍ നിരത്തുകയും അപ്രകാരം നിരത്തുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ ക്രമചയം എന്നും അവയെ ക്രമം അവഗണിച്ചു കൂട്ടങ്ങളായി തിരിക്കുകയും ഇപ്രകാരം തിരിക്കുന്നത് എത്രതരത്തിലാകാമെന്നു കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയെ സഞ്ചയം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. A, B എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളെ നിരത്തിയാല്‍ AB, BA എന്നീ രണ്ടുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. അതുകൊണ്ടു ക്രമചയത്തിന്റെ എണ്ണം ഇതില്‍ 2 ആയിരിക്കും; സഞ്ചയത്തിന്റെ എണ്ണം 1. സഞ്ചയത്തില്‍ AB, BA എന്നിവ വിഭിന്നമല്ല. ABC എന്നിവയെ രണ്ടു വീതം ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ AB, BA; AC, CA; BC, CB എന്നിങ്ങനെ 6 തരത്തില്‍ ക്രമങ്ങളുണ്ടാകുന്നു. ക്രമചയം ഇവിടെ 6 ആണ്. AB, BA
എന്നിവ സഞ്ചയമെന്ന നിലയില്‍ വിഭിന്നമല്ല. അതുപോലെ AC, CA; BC, CB എന്നിവയും. അതിനാല്‍ മൊത്തം സഞ്ചയം 3 ആയിരിക്കും. A,B,C എന്നിവയെ ക്രമപ്പെടുത്തിയാല്‍ ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA എന്ന് 6 ക്രമചയങ്ങളും ABC എന്ന ഒരു സഞ്ചയവും കിട്ടും.
ക്രമചയവും സഞ്ചയവും സാമാന്യമായി പരിഗണിച്ച് n പദാര്‍ഥങ്ങള്‍ ഓരോ പ്രാവശ്യം r എണ്ണംവീതം എടുത്തു ക്രമപ്പെടുത്തുന്ന വിധവും ആ ക്രമങ്ങളുടെ എണ്ണവും സഞ്ചയങ്ങള്‍ എടുക്കുന്നയെണ്ണവും സൂത്രവാക്യമായി രൂപപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും. ആദ്യത്തെ ആകെ n പദാര്‍ഥങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒന്നെടുക്കുമ്പോള്‍n തരത്തിലാകാമെന്നതുകൊണ്ട് ഇപ്രകാരം എടുക്കുന്നതിന്റെ എണ്ണം n ആണ്; ഒന്നെടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ ശേഷിക്കുന്ന (n-1)ല്‍ നിന്നു മറ്റൊരെണ്ണം എടുക്കുമ്പോള്‍ (n-1) തരത്തിലാകാം. ഈ രണ്ടു പ്രക്രിയകളും ഒന്നിച്ചു n(n-1) തരത്തില്‍ നടത്താന്‍ കഴിയും. ഇപ്രകാരം തുടര്‍ന്ന് r-ാമത്തെ പദാര്‍ഥം (n-r) എണ്ണത്തില്‍നിന്ന് എടുക്കുമ്പോള്‍ ആകെ n(n-1)(n-2)...(n-r+1) തരത്തില്‍ സാധിക്കുന്നതാണ്. അങ്ങനെ n വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍ നിന്ന് r സാധനങ്ങള്‍ ഓരോ പ്രാവശ്യവും ക്രമത്തില്‍ എടുക്കുമ്പോള്‍ n(n-1) (n-2)...(n-r+1) ക്രമചയങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇത്nജൃ എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടു സൂചിപ്പിച്ചുവരുന്നു. ഈ ഓരോ സഞ്ചയത്തിലും r സാധനങ്ങള്‍ ഉള്ളതുകൊണ്ട് അവ തമ്മില്‍ ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ r! (1x2 x 3 x.... x r) ക്രമചയങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും. അങ്ങനെn വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍നിന്ന് ഓരോ പ്രാവശ്യവും r എണ്ണം വീതം എടുക്കുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന സഞ്ചയങ്ങള്‍ nCr എന്നു സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കില്‍ ആകെ ക്രമചയങ്ങളുടെ എണ്ണം nCr x r! ആയിരിക്കും, അതുകൊണ്ട്,nCr x r! = nPr ഇതില്‍ നിന്ന് nCr = nPr / r! എന്നും
എന്നും കിട്ടുന്നു.
ഉദാ. 6 വ്യത്യസ്ത സാധനങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒരേസമയം
4 സാധനങ്ങള്‍ വീതമെടുത്ത് ക്രമപ്പെടുത്തുന്നതിന്റെ
എണ്ണം 6 P 4 = 6 x 5 x 4 x 3 = 360; സഞ്ചയങ്ങളുടെ എണ്ണം
nCr എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഘടനയില്‍നിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ചില സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഉദാ. nCr = nCn-r ;nCo = 1; nCn = 1; n-ന്റെ വില ക്ലിപ്തപ്പെടുത്തിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ ക്രമചയത്തെ nPr എന്നും സഞ്ചയത്തെ അഥവാ 
എന്നും അടയാളപ്പെടുത്താറുണ്ട്.r-ന്റെ 0, 1, 2,....,n എന്നീ വിലകള്‍ക്കനുസരിച്ച് nCr-ന്റെ വിലകള്‍ക്ക് സഞ്ചയഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (combinational coefficients) എന്നുപറയുന്നു.
n സാധനങ്ങളില്‍നിന്ന് r സാധനങ്ങള്‍ എടുത്തുകഴിയുമ്പോള്‍ ശേഷിക്കുന്ന n-r സാധനങ്ങള്‍ മറ്റൊരു കൂട്ടമായി അവശേഷിക്കുന്നു. ഇപ്രകാരം രണ്ടുഭാഗങ്ങള്‍ക്കു പകരം t ഭാഗങ്ങളായി n സാധനങ്ങള്‍ വേര്‍തിരിക്കുകയും ക്രമത്തില്‍ ഈ t കൂട്ടങ്ങളില്‍ n1,n2, ....n t സാധനങ്ങളായിട്ടാണ് വേര്‍തിരിച്ചതെങ്കില്‍ മൊത്തം ഇത്തരം സഞ്ചയങ്ങള്‍ 
ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതിന് ബഹുപദസഞ്ചയഗുണാങ്കം (multi combinational coefficient ) എന്നുപറയുന്നു. സഞ്ചയം എന്ന ഗണിതീയപ്രക്രിയ ആധുനികശാസ്ത്രത്തില്‍ സാമാന്യവത്കരണഫലമായി സഞ്ചയികം(combinatories) എന്ന ഒരു ഗണിതശാഖയായി വളര്‍ന്നു വികസിച്ചിരിക്കുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത(Number theory)ത്തിലും മറ്റും ഇതു പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു.
