This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.

Reading Problems? see Enabling Malayalam

അനന്ത ഗുണിതങ്ങള്‍

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

(തിരഞ്ഞെടുത്ത പതിപ്പുകള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം)
(അനന്ത ഗുണിതങ്ങള്‍)
(അനന്ത ഗുണിതങ്ങള്‍)
 
(ഇടക്കുള്ള 4 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.)
വരി 2: വരി 2:
Infinite products
Infinite products
-
ഗണിതത്തില്‍ ഘടകങ്ങള്‍ അവസാനമില്ലാതെ തുടര്‍ച്ചയായി ചേര്‍ത്ത് ഗുണിച്ചുണ്ടാകുന്ന ഫലം. ?എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അനന്തഗുണിതത്തെ സംക്ഷിപ്തരൂപത്തില്‍ എഴുതാം. ഉദാ.2/1.3/2.4/3........... എന്ന അനന്തഗുണിതം തന്നെയാണ്:
+
ഗണിതത്തില്‍ ഘടകങ്ങള്‍ അവസാനമില്ലാതെ തുടര്‍ച്ചയായി ചേര്‍ത്ത് ഗുണിച്ചുണ്ടാകുന്ന ഫലം. ∏എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അനന്തഗുണിതത്തെ സംക്ഷിപ്തരൂപത്തില്‍ എഴുതാം. ഉദാ.2/1.3/2.4/3........... എന്ന അനന്തഗുണിതം തന്നെയാണ്:
[[Image:p465.png]]
[[Image:p465.png]]
-
എന്നത് മുന്‍ ഉദാഹരണത്തിലെ ആംശികഗുണിതം (partial product) എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. (ഒരു അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ) ആംശിക ഗുണിതത്തിലുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയോട് അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍, ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണം (convergent) എന്നും; ആ ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുന്നതോടൊത്ത്, അനന്തതയെയോ പൂജ്യത്തെയോ സമീപിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍,ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അപകേന്ദ്രസരണം (divergent) എന്നും പറയുന്നു. അനന്തഗുണിതത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഘടകത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ ആ അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ തന്നെ മൂല്യം പൂജ്യമാണ്. ഒരു ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ഘടകങ്ങള്‍ക്കൊന്നിനും പൂജ്യം മൂല്യമായിരിക്കുകയില്ലെന്ന് ഓര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രതിപാദന സൌകര്യത്തെ ഉദ്ദേശിച്ച് അനന്തഗുണിതങ്ങളെ
+
എന്നത് മുന്‍ ഉദാഹരണത്തിലെ ആംശികഗുണിതം (partial product) എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. (ഒരു അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ) ആംശിക ഗുണിതത്തിലുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയോട് അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍, ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണം (convergent) എന്നും; ആ ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുന്നതോടൊത്ത്, അനന്തതയെയോ പൂജ്യത്തെയോ സമീപിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍,ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അപകേന്ദ്രസരണം (divergent) എന്നും പറയുന്നു. അനന്തഗുണിതത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഘടകത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ ആ അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ തന്നെ മൂല്യം പൂജ്യമാണ്. ഒരു ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ഘടകങ്ങള്‍ക്കൊന്നിനും പൂജ്യം മൂല്യമായിരിക്കുകയില്ലെന്ന് ഓര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രതിപാദന  
 +
സൌകര്യത്തെ ഉദ്ദേശിച്ച് അനന്തഗുണിതങ്ങളെ
 +
[[Image:466f.png]]
-
എന്ന തരത്തിലാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. അപ്പോള്‍ P_n എന്ന ആംശികഗുണിതം
+
 
 +
എന്ന തരത്തിലാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. അപ്പോള്‍ P<sub>n</sub> എന്ന ആംശികഗുണിതം
 +
 
 +
[[Image:466f.png]]
എന്നാകും. ഘടകങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായിരിക്കുന്ന
എന്നാകും. ഘടകങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായിരിക്കുന്ന
 +
[[Image:466f.png]]
-
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമാകാമെങ്കില്‍ അവശ്യം വേണ്ടതും (necessary) മതിയായതുമായ (sufficient) ഒരു വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: എന്ന ധനരാശി എത്ര ചെറുതായിരുന്നാലും, ിച0 ആണെങ്കില്‍, m = 1, 2, 3... എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം
 
 +
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമാകാമെങ്കില്‍ അവശ്യം വേണ്ടതും (necessary) മതിയായതുമായ (sufficient) ഒരു വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: ∈ എന്ന ധനരാശി എത്ര ചെറുതായിരുന്നാലും, n&ge;N<sub>0</sub> ആണെങ്കില്‍, m = 1, 2, 3... എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം
-
എന്ന അസമത (inequality) ഒത്തുവരത്തക്കവണ്ണം N_0 എന്നൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യ കണ്ടെത്തുവാന്‍ കഴിയണം. ഈ പ്രസ്താവനയിലെ m-ന് 1 എന്ന മൂല്യം കല്പിക്കുന്നതായാല്‍
+
[[Image:p466d.png]]
-
എന്ന അഭികേന്ദ്രസരണ-അനന്തഗുണിതത്തില്‍ a_n+1 പൂജ്യത്തെ സമീപിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഈ നിബന്ധന അഭികേന്ദ്രസരണത്തിനു വേണ്ടതാണ്; പക്ഷേ മതിയാകുന്നതല്ല.അനന്തഗുണിതങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ (theorems) ചുവടെ ചേര്‍ക്കുന്നു. ഇവിടെ എല്ലാ മൃ-ഉം വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ (real numbers) ആണെന്നു സങ്കല്പിച്ചിരിക്കുകയാണ്.
+
എന്ന അസമത (inequality) ഒത്തുവരത്തക്കവണ്ണം N<sub>0</sub> എന്നൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യ കണ്ടെത്തുവാന്‍ കഴിയണം. ഈ പ്രസ്താവനയിലെ m-ന് 1 എന്ന മൂല്യം കല്പിക്കുന്നതായാല്‍
-
'''പ്രമേയം-1'''. എല്ലാ ar-ഉം ധനാത്മകമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ a1 + a2 + a3 + ...എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
+
[[Image:p466e.png]]
 +
എന്ന അഭികേന്ദ്രസരണ-അനന്തഗുണിതത്തില്‍ a<sub>n+1</sub> പൂജ്യത്തെ സമീപിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഈ നിബന്ധന അഭികേന്ദ്രസരണത്തിനു വേണ്ടതാണ്; പക്ഷേ മതിയാകുന്നതല്ല.അനന്തഗുണിതങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ (theorems) ചുവടെ ചേര്‍ക്കുന്നു. ഇവിടെ എല്ലാ a<sub>r</sub>-ഉം വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ (real numbers) ആണെന്നു സങ്കല്പിച്ചിരിക്കുകയാണ്.
 +
 +
'''പ്രമേയം-1'''. എല്ലാ ar-ഉം ധനാത്മകമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + ...എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
 +
 +
[[Image:p466c.png]]
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ.
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ.
വരി 31: വരി 42:
'''പ്രമേയം-2.'''
'''പ്രമേയം-2.'''
-
 
+
[[Image:p466g.png]]
എന്ന അനന്തഗുണിതം അല്ലെങ്കില്‍
എന്ന അനന്തഗുണിതം അല്ലെങ്കില്‍
-
 
+
[[Image:p466h.png]]
എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, തീര്‍ച്ചയായും
എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, തീര്‍ച്ചയായും
 +
[[Image:p466i.png]]
എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും. അഥവാ
എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും. അഥവാ
 +
 +
[[Image:p466j.png]]
എന്ന അനന്തശ്രേണി നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
എന്ന അനന്തശ്രേണി നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
 +
 +
[[Image:p466k.png]]
വരി 51: വരി 67:
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കുകയുള്ളു.
എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കുകയുള്ളു.
-
'''പ്രമേയം-3'''. എല്ലാ ar-ഉം 0 ar < 1 എന്ന നിബന്ധന പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍
+
'''പ്രമേയം-3'''. എല്ലാ ar-ഉം 0&le; ar < 1 എന്ന നിബന്ധന പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍
 +
 
 +
[[Image:p466l.png]]
അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ
 +
 +
[[Image:p466m.png]]
വരി 62: വരി 82:
(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)
(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)
 +
[[Category:ഗണിതം]]

Current revision as of 11:10, 23 നവംബര്‍ 2014

അനന്ത ഗുണിതങ്ങള്‍

Infinite products

ഗണിതത്തില്‍ ഘടകങ്ങള്‍ അവസാനമില്ലാതെ തുടര്‍ച്ചയായി ചേര്‍ത്ത് ഗുണിച്ചുണ്ടാകുന്ന ഫലം. ∏എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അനന്തഗുണിതത്തെ സംക്ഷിപ്തരൂപത്തില്‍ എഴുതാം. ഉദാ.2/1.3/2.4/3........... എന്ന അനന്തഗുണിതം തന്നെയാണ്:

Image:p465.png

എന്നത് മുന്‍ ഉദാഹരണത്തിലെ ആംശികഗുണിതം (partial product) എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. (ഒരു അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ) ആംശിക ഗുണിതത്തിലുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയോട് അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍, ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണം (convergent) എന്നും; ആ ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുന്നതോടൊത്ത്, അനന്തതയെയോ പൂജ്യത്തെയോ സമീപിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍,ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അപകേന്ദ്രസരണം (divergent) എന്നും പറയുന്നു. അനന്തഗുണിതത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഘടകത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ ആ അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ തന്നെ മൂല്യം പൂജ്യമാണ്. ഒരു ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ഘടകങ്ങള്‍ക്കൊന്നിനും പൂജ്യം മൂല്യമായിരിക്കുകയില്ലെന്ന് ഓര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രതിപാദന സൌകര്യത്തെ ഉദ്ദേശിച്ച് അനന്തഗുണിതങ്ങളെ

Image:466f.png


എന്ന തരത്തിലാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. അപ്പോള്‍ Pn എന്ന ആംശികഗുണിതം

Image:466f.png


എന്നാകും. ഘടകങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായിരിക്കുന്ന

Image:466f.png


എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമാകാമെങ്കില്‍ അവശ്യം വേണ്ടതും (necessary) മതിയായതുമായ (sufficient) ഒരു വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: ∈ എന്ന ധനരാശി എത്ര ചെറുതായിരുന്നാലും, n≥N0 ആണെങ്കില്‍, m = 1, 2, 3... എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം

Image:p466d.png


എന്ന അസമത (inequality) ഒത്തുവരത്തക്കവണ്ണം N0 എന്നൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യ കണ്ടെത്തുവാന്‍ കഴിയണം. ഈ പ്രസ്താവനയിലെ m-ന് 1 എന്ന മൂല്യം കല്പിക്കുന്നതായാല്‍

Image:p466e.png


എന്ന അഭികേന്ദ്രസരണ-അനന്തഗുണിതത്തില്‍ an+1 പൂജ്യത്തെ സമീപിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഈ നിബന്ധന അഭികേന്ദ്രസരണത്തിനു വേണ്ടതാണ്; പക്ഷേ മതിയാകുന്നതല്ല.അനന്തഗുണിതങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ (theorems) ചുവടെ ചേര്‍ക്കുന്നു. ഇവിടെ എല്ലാ ar-ഉം വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ (real numbers) ആണെന്നു സങ്കല്പിച്ചിരിക്കുകയാണ്.

പ്രമേയം-1. എല്ലാ ar-ഉം ധനാത്മകമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ a1 + a2 + a3 + ...എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

Image:p466c.png

എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ.

പ്രമേയം-2.

Image:p466g.png

എന്ന അനന്തഗുണിതം അല്ലെങ്കില്‍

Image:p466h.png

എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, തീര്‍ച്ചയായും

Image:p466i.png


എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും. അഥവാ

Image:p466j.png


എന്ന അനന്തശ്രേണി നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

Image:p466k.png


എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കുകയുള്ളു.

പ്രമേയം-3. എല്ലാ ar-ഉം 0≤ ar < 1 എന്ന നിബന്ധന പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍

Image:p466l.png


അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

Image:p466m.png


എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ. നോ: അനാലിസിസ്; അഭികേന്ദ്രസരണം, അപകേന്ദ്രസരണം

(ഡോ. എസ്. പരമേശ്വരന്‍)

താളിന്റെ അനുബന്ധങ്ങള്‍
സ്വകാര്യതാളുകള്‍