This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അധികതമം, അല്പതമം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→അധികതമം, അല്പതമം) |
|||
| (ഇടക്കുള്ള 2 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.) | |||
| വരി 6: | വരി 6: | ||
ഗണിതത്തില്‍, അവകലനം ഉപയോഗിച്ച് അവിച്ഛിന്ന ഫലനത്തിന്റെ (continuous function) ഏറ്റമിറക്കങ്ങളും വഴിത്തിരിവുകളും തിട്ടപ്പെടുത്താം. y = f(x) ഒരു അവിച്ഛിന്ന ഫലനമാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അതിന്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചാല്‍ അവിടവിടെ ഉന്നതികളും നിമ്നങ്ങളും കാണാം. ചിത്രത്തില്‍ വക്രരേഖ (curve) ഉയരുകയും A എന്ന ബിന്ദുവിലെത്തിയശേഷം താഴുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണ് A ആ പരിസരത്തിലെ ഉന്നതിയാകുന്നത്; അതുപോലെ വക്രരേഖ താഴുകയും B-യിലെത്തിയാല്‍ ഉയരുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് B ആ പരിസരത്തിലെ നിമ്നമാണ്. A, C, E, G ഉന്നതികളും B, D, F നിമ്നങ്ങളുമാണ്. നിമ്നം ചിലപ്പോള്‍ ചില ഉന്നതിയേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കാം. (നിമ്നം F ഉന്നതി A-യേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കുന്നതു നോക്കുക) | ഗണിതത്തില്‍, അവകലനം ഉപയോഗിച്ച് അവിച്ഛിന്ന ഫലനത്തിന്റെ (continuous function) ഏറ്റമിറക്കങ്ങളും വഴിത്തിരിവുകളും തിട്ടപ്പെടുത്താം. y = f(x) ഒരു അവിച്ഛിന്ന ഫലനമാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അതിന്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചാല്‍ അവിടവിടെ ഉന്നതികളും നിമ്നങ്ങളും കാണാം. ചിത്രത്തില്‍ വക്രരേഖ (curve) ഉയരുകയും A എന്ന ബിന്ദുവിലെത്തിയശേഷം താഴുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണ് A ആ പരിസരത്തിലെ ഉന്നതിയാകുന്നത്; അതുപോലെ വക്രരേഖ താഴുകയും B-യിലെത്തിയാല്‍ ഉയരുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് B ആ പരിസരത്തിലെ നിമ്നമാണ്. A, C, E, G ഉന്നതികളും B, D, F നിമ്നങ്ങളുമാണ്. നിമ്നം ചിലപ്പോള്‍ ചില ഉന്നതിയേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കാം. (നിമ്നം F ഉന്നതി A-യേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കുന്നതു നോക്കുക) | ||
[[Image:p.no.402.jpg|thumb|150x150px|left|y=f(x)]] | [[Image:p.no.402.jpg|thumb|150x150px|left|y=f(x)]] | ||
| - | ഒരു സ്പര്‍ശക(tangent)ത്തിന്റെ ചരിവ് | + | ഒരു സ്പര്‍ശക(tangent)ത്തിന്റെ ചരിവ് θ° ആണെങ്കില്‍ ചരിവുമാനം (ചായ്വ്) tanθ ആണ്. 0° മുതല്‍ 90° വരെ ചരിവുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും 90°യില്‍ കവിഞ്ഞാല്‍ ഋണസംഖ്യയുമായിരിക്കും. ഉയര്‍ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു വക്രരേഖയ്ക്ക് അതിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും, താഴ്ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നതിന് ചരിവുമാനം ന്യൂനസംഖ്യയുമാണ്. y-ഫലനഗ്രാഫിന്റെ പൊതു സ്പര്‍ശകത്തിന് ചരിവുമാനം dy/dx(=y')എന്ന അവകലനഗുണോത്തരമാണ്. വക്രം ഒരു പരിസരത്തില്‍ ഉയര്‍ന്ന് ഒരു ഉന്നതിയിലെത്തി താഴുമ്പോള്‍ y'-ന്റെ മൂല്യം ധനസംഖ്യയില്‍നിന്ന് അവിച്ഛിന്നമായി ഋണസംഖ്യയിലെത്തുന്നു. ധാരമുറിയാത്ത ഈ നീക്കത്തില്‍ y'-ന്റെ മൂല്യത്തിന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ തരമില്ല. |
| - | ഇതില്‍നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തമാണ്. ഒന്ന്, ഉന്നതിയില്‍ y' പൂജ്യമാണ്. രണ്ട്, y = f(x) ന്റെ അധികതമ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന് മൂല്യശോഷണം വന്നുകൊണ്ടിരിക്കും. മുമ്പു പറഞ്ഞ ന്യായത്തില്‍തന്നെ, ഈ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന്റെ ചരിവുമാനം d | + | ഇതില്‍നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തമാണ്. ഒന്ന്, ഉന്നതിയില്‍ y' പൂജ്യമാണ്. രണ്ട്, y = f(x) ന്റെ അധികതമ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന് മൂല്യശോഷണം വന്നുകൊണ്ടിരിക്കും. മുമ്പു പറഞ്ഞ ന്യായത്തില്‍തന്നെ, ഈ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന്റെ ചരിവുമാനം d<sup>2</sup>y/dx<sup>2</sup>(=y")ഒരു ന്യൂനസംഖ്യ ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ y-യുടെ അധികതമമുണ്ടാകുന്നത് y' പൂജ്യവും y" ന്യൂനസംഖ്യയും ആകുമ്പോഴാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥകളുപയോഗിച്ച് y = f(X) ഫലനത്തിന്റെ അധികതമങ്ങള്‍ കണക്കാക്കാം. അല്പതമത്തെക്കുറിച്ച് ഇങ്ങനെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുമ്പോള്‍, y' പൂജ്യവും y" ധനസംഖ്യയും ആയിരിക്കുമ്പോഴാണ് അല്പതമങ്ങള്‍ കിട്ടുന്നതെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. |
| + | [[Category:ഗണിതം]] | ||
Current revision as of 07:08, 23 നവംബര്‍ 2014
അധികതമം, അല്പതമം
Maximum,Minimum
ഗണിതത്തില്‍, ഒരു വക്രരേഖയുടെ ഉന്നതിബിന്ദുവില്‍ ആ രേഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ അധികതമം എന്നോ മഹിഷ്ഠമെന്നോ പറയുന്നു; നിമ്നബിന്ദുവിലുള്ള ഫലനമൂല്യത്തെ അല്പതമം അഥവാ അല്പിഷ്ഠമെന്നും.
ഗണിതത്തില്‍, അവകലനം ഉപയോഗിച്ച് അവിച്ഛിന്ന ഫലനത്തിന്റെ (continuous function) ഏറ്റമിറക്കങ്ങളും വഴിത്തിരിവുകളും തിട്ടപ്പെടുത്താം. y = f(x) ഒരു അവിച്ഛിന്ന ഫലനമാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അതിന്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചാല്‍ അവിടവിടെ ഉന്നതികളും നിമ്നങ്ങളും കാണാം. ചിത്രത്തില്‍ വക്രരേഖ (curve) ഉയരുകയും A എന്ന ബിന്ദുവിലെത്തിയശേഷം താഴുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണ് A ആ പരിസരത്തിലെ ഉന്നതിയാകുന്നത്; അതുപോലെ വക്രരേഖ താഴുകയും B-യിലെത്തിയാല്‍ ഉയരുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് B ആ പരിസരത്തിലെ നിമ്നമാണ്. A, C, E, G ഉന്നതികളും B, D, F നിമ്നങ്ങളുമാണ്. നിമ്നം ചിലപ്പോള്‍ ചില ഉന്നതിയേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കാം. (നിമ്നം F ഉന്നതി A-യേക്കാള്‍ ഉയര്‍ന്നിരിക്കുന്നതു നോക്കുക)
ഒരു സ്പര്‍ശക(tangent)ത്തിന്റെ ചരിവ് θ° ആണെങ്കില്‍ ചരിവുമാനം (ചായ്വ്) tanθ ആണ്. 0° മുതല്‍ 90° വരെ ചരിവുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും 90°യില്‍ കവിഞ്ഞാല്‍ ഋണസംഖ്യയുമായിരിക്കും. ഉയര്‍ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു വക്രരേഖയ്ക്ക് അതിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും, താഴ്ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നതിന് ചരിവുമാനം ന്യൂനസംഖ്യയുമാണ്. y-ഫലനഗ്രാഫിന്റെ പൊതു സ്പര്‍ശകത്തിന് ചരിവുമാനം dy/dx(=y')എന്ന അവകലനഗുണോത്തരമാണ്. വക്രം ഒരു പരിസരത്തില്‍ ഉയര്‍ന്ന് ഒരു ഉന്നതിയിലെത്തി താഴുമ്പോള്‍ y'-ന്റെ മൂല്യം ധനസംഖ്യയില്‍നിന്ന് അവിച്ഛിന്നമായി ഋണസംഖ്യയിലെത്തുന്നു. ധാരമുറിയാത്ത ഈ നീക്കത്തില്‍ y'-ന്റെ മൂല്യത്തിന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ തരമില്ല.
ഇതില്‍നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തമാണ്. ഒന്ന്, ഉന്നതിയില്‍ y' പൂജ്യമാണ്. രണ്ട്, y = f(x) ന്റെ അധികതമ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന് മൂല്യശോഷണം വന്നുകൊണ്ടിരിക്കും. മുമ്പു പറഞ്ഞ ന്യായത്തില്‍തന്നെ, ഈ പരിസരത്തില്‍ y' ഫലനത്തിന്റെ ചരിവുമാനം d2y/dx2(=y")ഒരു ന്യൂനസംഖ്യ ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ y-യുടെ അധികതമമുണ്ടാകുന്നത് y' പൂജ്യവും y" ന്യൂനസംഖ്യയും ആകുമ്പോഴാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥകളുപയോഗിച്ച് y = f(X) ഫലനത്തിന്റെ അധികതമങ്ങള്‍ കണക്കാക്കാം. അല്പതമത്തെക്കുറിച്ച് ഇങ്ങനെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുമ്പോള്‍, y' പൂജ്യവും y" ധനസംഖ്യയും ആയിരിക്കുമ്പോഴാണ് അല്പതമങ്ങള്‍ കിട്ടുന്നതെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.
