This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
| (ഇടക്കുള്ള 3 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.) | |||
| വരി 3: | വരി 3: | ||
Binomial theorem | Binomial theorem | ||
| - | ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ബീജീയ സര്‍വസമവാക്യം. ഒരു ദ്വിപദ(binomial)ത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തിനുള്ള നിയമമാണ് ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം. ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം (binomial formula) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതം, ഭൗതികം, സാംഖ്യികം എന്നീ വിജ്ഞാനശാഖകളുടെ വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുനിയമം ആവിഷ്കരിച്ചത് (1676) ഐസക് ന്യൂട്ടനാണ്; ആദ്യമായി തെളിയിച്ചത് ജേക്കബ് ബര്‍ണോളിയും. | + | [[Image:1993Sir Isaac Newton (1642-1727).jpg|175px|left|thumb|ഐസക് ന്യൂട്ടണ്‍]]ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ബീജീയ സര്‍വസമവാക്യം. ഒരു ദ്വിപദ(binomial)ത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തിനുള്ള നിയമമാണ് ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം. ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം (binomial formula) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതം, ഭൗതികം, സാംഖ്യികം എന്നീ വിജ്ഞാനശാഖകളുടെ വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുനിയമം ആവിഷ്കരിച്ചത് (1676) ഐസക് ന്യൂട്ടനാണ്; ആദ്യമായി തെളിയിച്ചത് ജേക്കബ് ബര്‍ണോളിയും. |
രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ. | രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ. | ||
| വരി 14: | വരി 14: | ||
+........+b<sup>n</sup> | +........+b<sup>n</sup> | ||
| - | + | [[Image:1993jacob bernoulli. -New.jpg|175px|right|thumb|ജേക്കബ് ബര്‍ണോളി]] | |
ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ <sub>n</sub>C<sub>r</sub> ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു. | ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ <sub>n</sub>C<sub>r</sub> ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു. | ||
ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.<sub>n</sub>C<sub>r</sub>എന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ് | ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.<sub>n</sub>C<sub>r</sub>എന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ് | ||
| + | [[Image:p606a2.png]] | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. | ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. | ||
| - | + | n = 0, 1 | |
| - | + | n = 1, 1 1 | |
| - | + | n = 2, 1 2 1 | |
| - | + | n = 3, 1 3 3 1 | |
| - | + | n = 4, 1 4 6 4 1 | |
| - | + | n = 5, 1 5 10 10 5 1 | |
| - | + | ......................................................................... | |
| - | + | ......................................................................... | |
| - | + | ......................................................................... | |
ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്. | ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്. | ||
Current revision as of 12:21, 17 മാര്‍ച്ച് 2009
ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തം
Binomial theorem
.jpg)
രണ്ടു പദങ്ങള്‍ (terms) മാത്രം ഉള്‍ ക്കൊള്ളുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ (expression) ദ്വിപദം എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. a+b,2x-3y മുതലായവ.
(a+b)n=an+ nC1an-1b +nC2an-2b2 +..........+ nCran-rbr +........+bn
ഘാതം n ആയിട്ടുള്ള ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തില്‍ n + 1 പദങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവും. ഒരു ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിന്റെയും വിപുലീകരണത്തില്‍ വരുന്ന ഗുണാങ്കങ്ങളെ nCr ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ (binomial coefficients) എന്നു വിളിക്കുന്നു.
ഇവിടെ n എന്നത് ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കാം. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോജനങ്ങളില്‍ ഏറെയും സിദ്ധിക്കുന്നത് ഈ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ സവിശേഷതകള്‍ മൂലമാണ്.nCrഎന്ന ഗുണാങ്കം,n വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ സഞ്ചയത്തില്‍ r വസ്തുക്കളുടെ ക്രമീകരണം (r<n) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ക്രമസഞ്ചയം (combination) ആണ്
ഏതൊരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്കും ബാധകമായ വിധത്തില്‍ ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതവിജ്ഞാനി ബ്ലേസ് പാസ്കല്‍ (Blaise Pascal : 1623-62) ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. പാസ്കലിനും മുമ്പു ജീവിച്ചിരുന്ന ഇറ്റാലിയിന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടാര്‍ട്ടാലിയ നിക്കോളോ ഫൊണ്ടാന (Tartaglia Nicolo Fontana : 1500 ? - 57) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യാചതുരത്തിലും ഈ സംഖ്യാക്രമീകരണം കാണപ്പെടുന്നുണ്ട്. പ്രാചീന ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ഈദൃശ സംഖ്യാക്രമങ്ങള്‍ കാണാവുന്നതാണ്. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗുണാങ്കങ്ങളെ പാസ്കല്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്. ഇത് പാസ്കല്‍ ത്രികോണം (Pascal's triangle) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു.
n = 0, 1
n = 1, 1 1
n = 2, 1 2 1
n = 3, 1 3 3 1
n = 4, 1 4 6 4 1
n = 5, 1 5 10 10 5 1
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
ഓരോ വരിയിലുമുള്ള ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും അക്കം 1 ആണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടുമുകളിലുള്ള വരിയിലെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്.
അനുയോജ്യമായ വ്യവസ്ഥകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, n ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിലും ദ്വിപദ സൂത്രവാക്യം ആവിഷ്കരിക്കാവുന്നതാണ്. n ഭിന്നസംഖ്യയോ ഋണസംഖ്യയോ ആയാല്‍ പ്പോലും ദ്വിപദത്തിന്റെ ഏതു ഘാതത്തിനും വിപുലീകരണം നല്കാമെന്നും ന്യൂട്ടണ്‍ കണ്ടെത്തി. ദ്വിപദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഈ സാമാന്യവത്കരണത്തിലൂടെ അനന്തശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു വിപുലീ കരണമാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ന്യൂട്ടണ്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഈ ശ്രേണി ദ്വിപദ ശ്രേണി (binomial series) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. (x+y)n=xn+ nC1xn-1y+ nC2xn-2y2+ ........
ഈയിനം ശ്രേണികളുടെ കേന്ദ്ര അഭിസരക സ്വഭാവത്തെ നോര്‍വീജിയന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ നീല്‍സ് ഹെന്റിക് ഏബല്‍ (Neils Hentrik Abel : 1802-29) ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിലൂടെ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. വിപുലീകരണത്തില്‍ ദ്വിപദ ഗുണാങ്കങ്ങളുടെ ഗണം രൂപം കൊടുക്കുന്ന വിതരണങ്ങള്‍ (distributions) സാംഖ്യിക മേഖലയില്‍ പ്രത്യേകിച്ച് സംഭാവ്യതാ സിദ്ധാന്ത(Probability theory)ത്തില്‍ അടിസ്ഥാനപരമായ പങ്കു വഹിക്കുന്നു.
