This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(New page: = അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി = അളളശില ഏലീാലൃ്യ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. നീളം, കോണം (മിഴ...) |
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി) |
||
| (ഇടക്കുള്ള 4 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.) | |||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
= അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി = | = അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി = | ||
| + | Affine Geometry | ||
| - | |||
| + | ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. നീളം, കോണം (angle) എന്നിവയെ സാധാരണ അര്‍ഥത്തില്‍ അളക്കുന്ന യുക്ളീഡിയന്‍ സമ്പ്രദായത്തിലുള്ള അളവുകളെ ഇതില്‍ ഒഴിവാക്കുന്നു. പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി (projective Geometry)യില്‍ നിന്നു വ്യത്യസ്തമായി സമാന്തരത (parallelism) യുടെ ഒരു നിര്‍വചനത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഈ ശാഖ കെട്ടിപ്പടുത്തിട്ടുള്ളത്. | ||
| - | |||
| + | ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകരേഖയെ (നേര്‍രേഖ ആകണമെന്നില്ല) ആസ്പദമാക്കിയായിരിക്കും ഇതില്‍ സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്; പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതിയില്‍ അത്തരം ഒരു സ്ഥിരരേഖ അഥവാ അടിസ്ഥാനരേഖ ഉണ്ടായിരിക്കുകയില്ല. ജ്യാമിതിയിലെ അനന്തതാരേഖയെ (line at infinity) തന്നെ അടിസ്ഥാനരേഖയായി ഇതില്‍ സ്വീകരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന രണ്ടു രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിരിക്കാമെന്നതുകൊണ്ട് അനന്തതാരേഖയ്ക്ക് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. സമാന്തരതയുടെ ഒരു നിര്‍വചനം ഇതില്‍നിന്നുണ്ടാകുന്നു. ആ നിര്‍വചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയും. ഏതെങ്കിലും ഒരു രേഖയെ പ്രത്യേകമായി സ്വീകരിക്കുവാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ ആ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു സമാന്തരതയും അതില്‍നിന്ന് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയും രൂപപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. പ്രക്ഷേപീയജ്യാമിതിയില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തവും പരവളയ (parabola)വും ബഹിര്‍വളയ(hyperbola)വും തമ്മില്‍ തത്ത്വത്തില്‍ വ്യത്യാസമില്ല; എന്നാല്‍ അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ ഇവ വ്യത്യസ്തമാണ്. മിതീയ ജ്യാമിതി(Metrical Geometry)യില്‍ മാത്രമേ വൃത്തവും ദീര്‍ഘവൃത്തവും തമ്മില്‍ വ്യത്യാസമുള്ളു. യുക്ളീഡിയന്‍ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് നീളം, കോണം എന്നിവ അളക്കുന്ന സമ്പ്രദായം സമതല യുക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി (Plane Euclidean Geometry)യില്‍ നിന്നു മാറ്റിയാല്‍ അവശേഷിക്കുന്നത് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയിരിക്കും. | ||
| - | + | സമാന്തരരേഖകളെ സമാന്തരരേഖകളായിതന്നെ നിലനിര്‍ത്തുന്നതും അതുപോലെ വസ്തുതകളെ നിശ്ചരം (invariant) ആയി നിലനിര്‍ത്തുന്നതും ആയ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ (transformations) ഉണ്ട്. ഉദാ. | |
| + | x<sub>1</sub> = ax + by + c | ||
| - | + | y<sub>1</sub> = dx + ey + f | |
| - | |||
| - | + | (ae-bd) എന്നതു പൂജ്യം ആകാത്തവിധം ഈ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ x, y എന്നീ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub> എന്നിവയായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇതുകൊണ്ടു സമാന്തര രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിത്തന്നെ വര്‍ത്തിക്കും. ഇത്തരം നിശ്ചര രൂപാന്തരണ (invariant transformations)ങ്ങളെ അഫൈന്‍ അഥവാ സജാതീയം എന്നു പറയുന്നു. ഇത്തരം രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ എല്ലാംകൂടി ആധുനിക ബീജഗണിതം അനുസരിച്ച് ഒരു 'ഗ്രൂപ്പ്' ആയിത്തീരുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത(Group Theory )ത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന വസ്തുതകളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളും തത്ത്വങ്ങളും ചേര്‍ന്നാല്‍ ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയി. | |
| + | (ae-bd) എന്നതിന്റെ മൂല്യം ഒന്ന് ആണെങ്കില്‍ മേല്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലെ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ | ||
| - | ( | + | (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>), (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>), (x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>) |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
എന്നീ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേര്‍രേഖയില്‍ അല്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍ | എന്നീ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേര്‍രേഖയില്‍ അല്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍ | ||
| - | + | x<sub>1</sub> (y<sub>2</sub> - y<sub>3</sub>) + x<sub>2</sub> (y<sub>3</sub> - y<sub>1</sub>) + x<sub>3</sub> (y<sub>1</sub> - y<sub>2</sub>) | |
| - | + | ||
| + | എന്നതു നിശ്ചരമായിരിക്കും. ഇത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളെ സമജാതീയം (equi-affine) എന്നു പറയുന്നു. സമജാതീയ രൂപാന്തരണത്തെ ആധാരമാക്കി നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന സമതലവക്രങ്ങ (plane curves)ളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്. | ||
| - | ഇക്കാര്യങ്ങളെല്ലാം ഉയര്‍ന്ന മാനങ്ങളിലുള്ള പ്രതലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സാമാന്യവത്കരിച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രിമാന പദ്ധതിയിലെ യൂക്ളിഡിയന്‍ വക്രങ്ങള്‍ക്കും പ്രതലങ്ങള്‍ക്കും എന്നപോലെ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഇവയെ സംബന്ധിച്ച് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയിലുണ്ട്. | + | ഇക്കാര്യങ്ങളെല്ലാം ഉയര്‍ന്ന മാനങ്ങളിലുള്ള പ്രതലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സാമാന്യവത്കരിച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രിമാന പദ്ധതിയിലെ യൂക്ളിഡിയന്‍ വക്രങ്ങള്‍ക്കും പ്രതലങ്ങള്‍ക്കും എന്നപോലെ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഇവയെ സംബന്ധിച്ച് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയിലുണ്ട്. n-മാന പദ്ധതിയില്‍ n സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുടെ ഒരു സമുച്ചയംകൊണ്ട് n-മാന പദ്ധതിയിലെ ഒരു ബിന്ദു പ്രതിനിധാനം ചെയ്യപ്പെടാവുന്നതാണ്. ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പ്രതലത്തില്‍ സമാന്തരത എന്നതു കേവലാര്‍ഥത്തില്‍ പറയുന്നതു ശരിയല്ല ഇതില്‍ സമാന്തരതയെ ആപേക്ഷികമായിട്ടേ നിര്‍വചിക്കാന്‍ കഴിയൂ. സമാന്തരതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനം നല്കുന്നതുകൊണ്ടു മാത്രമേ ഇതു സാധ്യമാകൂ. യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ കേവലാര്‍ഥത്തിലാണ് സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്. |
| - | പ്രതലങ്ങള്‍ക്ക് ഇത്തരം അഫൈന്‍ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ ആ പ്രതലങ്ങളെ സജാതീയബന്ധിതം ( | + | പ്രതലങ്ങള്‍ക്ക് ഇത്തരം അഫൈന്‍ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ ആ പ്രതലങ്ങളെ സജാതീയബന്ധിതം (affinely connected) എന്നു പറയുന്നു. റീമാനിയന്‍ ജ്യാമിതി (Riemannian Geometry)യുടെ മാതൃകയില്‍ സജാതീയ ബന്ധിതമായ പ്രതലങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം തന്നെ കാര്‍ടണ്‍, എഡിങ്ടണ്‍, ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍, വെബ്ലന്, വീയില്‍ എന്നിവര്‍ രൂപം നല്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം, പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി, യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി |
| + | [[Category:ഗണിതം]] | ||
Current revision as of 09:40, 27 നവംബര്‍ 2014
അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി
Affine Geometry
ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. നീളം, കോണം (angle) എന്നിവയെ സാധാരണ അര്‍ഥത്തില്‍ അളക്കുന്ന യുക്ളീഡിയന്‍ സമ്പ്രദായത്തിലുള്ള അളവുകളെ ഇതില്‍ ഒഴിവാക്കുന്നു. പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി (projective Geometry)യില്‍ നിന്നു വ്യത്യസ്തമായി സമാന്തരത (parallelism) യുടെ ഒരു നിര്‍വചനത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഈ ശാഖ കെട്ടിപ്പടുത്തിട്ടുള്ളത്.
ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകരേഖയെ (നേര്‍രേഖ ആകണമെന്നില്ല) ആസ്പദമാക്കിയായിരിക്കും ഇതില്‍ സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്; പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതിയില്‍ അത്തരം ഒരു സ്ഥിരരേഖ അഥവാ അടിസ്ഥാനരേഖ ഉണ്ടായിരിക്കുകയില്ല. ജ്യാമിതിയിലെ അനന്തതാരേഖയെ (line at infinity) തന്നെ അടിസ്ഥാനരേഖയായി ഇതില്‍ സ്വീകരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന രണ്ടു രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിരിക്കാമെന്നതുകൊണ്ട് അനന്തതാരേഖയ്ക്ക് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. സമാന്തരതയുടെ ഒരു നിര്‍വചനം ഇതില്‍നിന്നുണ്ടാകുന്നു. ആ നിര്‍വചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയും. ഏതെങ്കിലും ഒരു രേഖയെ പ്രത്യേകമായി സ്വീകരിക്കുവാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ ആ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു സമാന്തരതയും അതില്‍നിന്ന് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയും രൂപപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. പ്രക്ഷേപീയജ്യാമിതിയില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തവും പരവളയ (parabola)വും ബഹിര്‍വളയ(hyperbola)വും തമ്മില്‍ തത്ത്വത്തില്‍ വ്യത്യാസമില്ല; എന്നാല്‍ അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ ഇവ വ്യത്യസ്തമാണ്. മിതീയ ജ്യാമിതി(Metrical Geometry)യില്‍ മാത്രമേ വൃത്തവും ദീര്‍ഘവൃത്തവും തമ്മില്‍ വ്യത്യാസമുള്ളു. യുക്ളീഡിയന്‍ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് നീളം, കോണം എന്നിവ അളക്കുന്ന സമ്പ്രദായം സമതല യുക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി (Plane Euclidean Geometry)യില്‍ നിന്നു മാറ്റിയാല്‍ അവശേഷിക്കുന്നത് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയിരിക്കും.
സമാന്തരരേഖകളെ സമാന്തരരേഖകളായിതന്നെ നിലനിര്‍ത്തുന്നതും അതുപോലെ വസ്തുതകളെ നിശ്ചരം (invariant) ആയി നിലനിര്‍ത്തുന്നതും ആയ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ (transformations) ഉണ്ട്. ഉദാ.
x1 = ax + by + c
y1 = dx + ey + f
(ae-bd) എന്നതു പൂജ്യം ആകാത്തവിധം ഈ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ x, y എന്നീ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ x1, y1 എന്നിവയായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇതുകൊണ്ടു സമാന്തര രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിത്തന്നെ വര്‍ത്തിക്കും. ഇത്തരം നിശ്ചര രൂപാന്തരണ (invariant transformations)ങ്ങളെ അഫൈന്‍ അഥവാ സജാതീയം എന്നു പറയുന്നു. ഇത്തരം രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ എല്ലാംകൂടി ആധുനിക ബീജഗണിതം അനുസരിച്ച് ഒരു 'ഗ്രൂപ്പ്' ആയിത്തീരുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത(Group Theory )ത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന വസ്തുതകളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളും തത്ത്വങ്ങളും ചേര്‍ന്നാല്‍ ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയി.
(ae-bd) എന്നതിന്റെ മൂല്യം ഒന്ന് ആണെങ്കില്‍ മേല്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലെ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
എന്നീ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേര്‍രേഖയില്‍ അല്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍
x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)
എന്നതു നിശ്ചരമായിരിക്കും. ഇത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളെ സമജാതീയം (equi-affine) എന്നു പറയുന്നു. സമജാതീയ രൂപാന്തരണത്തെ ആധാരമാക്കി നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന സമതലവക്രങ്ങ (plane curves)ളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്.
ഇക്കാര്യങ്ങളെല്ലാം ഉയര്‍ന്ന മാനങ്ങളിലുള്ള പ്രതലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സാമാന്യവത്കരിച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രിമാന പദ്ധതിയിലെ യൂക്ളിഡിയന്‍ വക്രങ്ങള്‍ക്കും പ്രതലങ്ങള്‍ക്കും എന്നപോലെ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഇവയെ സംബന്ധിച്ച് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയിലുണ്ട്. n-മാന പദ്ധതിയില്‍ n സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുടെ ഒരു സമുച്ചയംകൊണ്ട് n-മാന പദ്ധതിയിലെ ഒരു ബിന്ദു പ്രതിനിധാനം ചെയ്യപ്പെടാവുന്നതാണ്. ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പ്രതലത്തില്‍ സമാന്തരത എന്നതു കേവലാര്‍ഥത്തില്‍ പറയുന്നതു ശരിയല്ല ഇതില്‍ സമാന്തരതയെ ആപേക്ഷികമായിട്ടേ നിര്‍വചിക്കാന്‍ കഴിയൂ. സമാന്തരതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനം നല്കുന്നതുകൊണ്ടു മാത്രമേ ഇതു സാധ്യമാകൂ. യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ കേവലാര്‍ഥത്തിലാണ് സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്.
പ്രതലങ്ങള്‍ക്ക് ഇത്തരം അഫൈന്‍ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ ആ പ്രതലങ്ങളെ സജാതീയബന്ധിതം (affinely connected) എന്നു പറയുന്നു. റീമാനിയന്‍ ജ്യാമിതി (Riemannian Geometry)യുടെ മാതൃകയില്‍ സജാതീയ ബന്ധിതമായ പ്രതലങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം തന്നെ കാര്‍ടണ്‍, എഡിങ്ടണ്‍, ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍, വെബ്ലന്, വീയില്‍ എന്നിവര്‍ രൂപം നല്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം, പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി, യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി
