This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
| വരി 50: | വരി 50: | ||
ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം | ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം | ||
| - | [[Category: | + | [[Category:സാംഖ്യികം]] |
11:11, 18 ഏപ്രില്‍ 2008-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഉള്ളടക്കം |
അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം
Interpolation Extrapolation
പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (T)യും ഘനമാന(V)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(bivariate table) ഉണ്ടാകുന്നു. (Ti, Vi) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (corresponding pairs of values). i= 1,2, ...., k എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം സ ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് ഠശയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഢശ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ Tiയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ Viമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.
സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(Numerical analysis)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.
ലേഖാ-ഗണനം
(Graphic method).
പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytical Geometry)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (axes of co-ordinate)
പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (smooth curve) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (estimate) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍
പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. x, y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(depended variable)വും സ്വതന്ത്രചര(ശിറലുലിറലി ്മൃശമയഹല)വും ആണെങ്കില്‍, x-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് y-ക്ക് u0, u1, u2, u3, u4, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് u-1, u-2, u-3..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ ur+1 -ur ന് = അന്തര്‍ഗണനം, ബാഹ്യഗണനം = Interpolation Extrapolation
പരസ്പരബന്ധമുള്ള രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസൃതമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കുന്ന സ്ഥിതി വിവരശാസ്ത്രസമ്പ്രദായം; അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ നിര്‍ണയനമാണ് ബാഹ്യഗണനം. ഉദാ. കാനേഷുമാരി കണക്കില്‍നിന്നും 1921, 1931, 1941, 1951, 1961 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ യഥാക്രമം 20, 25, 29, 36, 40 കോടി വീതമാണെങ്കില്‍, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കണക്കാക്കി കണ്ടെത്തുന്ന സമ്പ്രദായം അന്തര്‍ഗണനവും 1965-ലേതു കാണുന്ന സമ്പ്രദായം ബാഹ്യഗണനവുമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില (T)യും ഘനമാന(V)വും പരീക്ഷണത്തിലൂടെ അളക്കുന്നതായാല്‍ അവയുടെ ഒരു ദ്വിചരപ്പട്ടിക(bivariate table) ഉണ്ടാകുന്നു. (Ti, Vi) എന്നിവ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ ആയിരിക്കും (corresponding pairs of values). i= 1,2, ...., k എന്നാണെങ്കില്‍, ഇത്തരം സ ജോടികളുടെ ഇടയ്ക്ക് ഠശയുടെ അറിയാവുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഢശ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമാണ് അന്തര്‍ഗണനം; ഇവയ്ക്കുപുറമേ Tiയുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനനുസൃതമായ Viമൂല്യനിര്‍ണയം ബാഹ്യഗണനം. ബാഹ്യഗണനം അന്തര്‍ഗണനത്തെക്കാള്‍ ക്ളേശകരമാണ്.
സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണ(Numerical analysis)ത്തില്‍ ആണ് അന്തര്‍ഗണനത്തിന്റെ സാങ്കേതിക മാര്‍ഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠനം നടത്തുന്നത്.
ലേഖാ-ഗണനം
(Graphic method).
പരസ്പരബന്ധമുള്ള ചരങ്ങളുടെ അറിയാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytical Geometry)യിലെ അക്ഷരേഖകളില്‍ (axes of co-ordinate) പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കില്‍ അനുയോഗമൂല്യജോടികള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളാക്കി ബിന്ദുക്കള്‍ കുറിക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രത്തില്‍ വര്‍ഷവും ജനസംഖ്യയും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ബിന്ദുക്കളെ അങ്കനം ചെയ്ത് ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു നിഷ്കോണവക്രരേഖ (smooth curve) വരച്ചാല്‍ അതുപയോഗിച്ച്, 1956-ലെ ജനസംഖ്യ കാണാം. വര്‍ഷം രേഖപ്പെടുത്തിയ അക്ഷത്തിന് 1956-ന്റെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരച്ച്, ഈ ലംബം രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന ബിന്ദുവരെയുള്ള നീളം അളന്നെടുത്ത് അതിന്നനുസൃതമായ ജനസംഖ്യ കാണാന്‍ കഴിയും. 1965 ബിന്ദുവിലൂടെ വര്‍ഷാക്ഷത്തിനു ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന നേര്‍വരയില്‍ മുട്ടുന്നവിധം വക്രരേഖയുടെ പൊതുവേയുള്ള ആക്കമനുസരിച്ച് നീട്ടിയാല്‍, ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് 1965-ലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു മതിപ്പുസംഖ്യ (estimate) കിട്ടുന്നതാണ്. ഈ മാര്‍ഗം ശാസ്ത്രപരീക്ഷണങ്ങളിലും മറ്റു ഗവേഷണങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
ഗണനഫോര്‍മുലകള്‍
പട്ടികയും മറ്റു ഫോര്‍മുലകളും ഉപയോഗിച്ചും അന്തര്‍ഗണനം സാധിക്കാവുന്നതാണ്. വിട്ടുപോയ കണ്ണി കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുകയാണ് അന്തര്‍ഗണനംവഴി സാധിക്കുന്നത്. x, y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ആശ്രിതചര(depended variable)വും സ്വതന്ത്രചര(ശിറലുലിറലി ്മൃശമയഹല)വും ആണെങ്കില്‍, x-ന് 0, 1, 2, 3, 4,.... -ഉം അതനുസരിച്ച് y-ക്ക് u0, u1, u2, u3, u4, ....-ഉം സാധാരണയായി ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അതുപോലെ -1, -2, -3, ... എന്നിവയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് u-1, u-2, u-3..... എന്നിങ്ങനെയും. മുന്നോക്കവ്യത്യാസങ്ങള്‍ ur+1 -ur ന് δur എന്നും δur+1 -δur ന് δ2ur എന്നും δ2ur+1-δ2ur ന് δ3ur എന്നും ഈ ക്രമത്തില്‍ തുടര്‍ന്നുള്ള വ്യത്യാസങ്ങള്‍ക്കും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. ഇതനുസരിച്ച് താഴെയുള്ള വ്യത്യാസപ്പട്ടികയുണ്ടാക്കാവുന്നതാണ്.
ഈ പട്ടികയില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു കോളത്തില്‍ ഒരേ മൂല്യം വന്നാല്‍ അടുത്ത കോളം പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഒരേ മൂല്യം വരുന്ന കോളം എത്തുകയോ കൂടുതല്‍ കോളം തയ്യാറാക്കാന്‍ സാധിക്കാത്ത അവസ്ഥയിലെത്തുകയോ ചെയ്താല്‍ പട്ടിക അവസാനിച്ചതായി കരുതാം.
അഭിക്രിയാപ്രതീകങ്ങള്‍
(Symbols of operation)
E, δ എന്നിവയാണ് സര്‍വസാധാരണമായ പ്രതീകങ്ങള്‍. f(x) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ x-ന് a, a+1, a+2, a+3 എന്നിങ്ങനെയാകുമ്പോള്‍ f(a), f(a+1), f(a+2) എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നതാണ്; ഇവ ക്രമത്തില്‍ E0 f(a), E1f(a), 2 f(a),3 f(a) എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍നിന്നു ഋയുടെ അര്‍ഥം മനസ്സിലാക്കാം. δf(a) = f(a+1) -f(a),
δf(a+1) = f(a+2) - f(a+1). E-1 നും δക്കും ഒരേ വിധത്തിലുള്ള ഫലമാണ്. അതായത്,
δf(a) = (E-1) f(a). ഈ ബന്ധമുപയോഗിച്ച് δ = (ഋ1)ി എന്നും ഋി = ???1)ി എന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.
ന്യൂട്ടന്റെ ഫോര്‍മുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂനതകള്‍ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഗോസ്, ലഗ്രാഞ്ചെ, എവറെറ്റ് എന്നിവര്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: സംഖ്യാത്മകവിശ്ളേഷണം
