This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
അഭാജ്യസംഖ്യ
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
| വരി 4: | വരി 4: | ||
ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും ഒഴികെ മറ്റൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യയും ഘടകമായി ഇല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യ. ഉദാ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... ഈ അനുക്രമം അനന്തം ആണ്. അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകള്‍ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; ഒരേ വിധത്തിലേ പിരിച്ചെഴുതാന്‍ കഴിയൂ. ഉദാ. | ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും ഒഴികെ മറ്റൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യയും ഘടകമായി ഇല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യ. ഉദാ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... ഈ അനുക്രമം അനന്തം ആണ്. അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകള്‍ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; ഒരേ വിധത്തിലേ പിരിച്ചെഴുതാന്‍ കഴിയൂ. ഉദാ. | ||
| - | 24 = 2 | + | 24 = 2<sup>3</sup> x 3. ഈ വസ്തുത അങ്കഗണിതത്തിലെ മൌലിക സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. |
എറാട്ടോസ്ത്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂര്‍ണസംഖ്യകളില്‍നിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. 'എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ അരിപ്പ' (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍, ഈ മാര്‍ഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ല്‍ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വര്‍ഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങള്‍ മാറ്റിയാല്‍ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ആയിരിക്കും. | എറാട്ടോസ്ത്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂര്‍ണസംഖ്യകളില്‍നിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. 'എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ അരിപ്പ' (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍, ഈ മാര്‍ഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ല്‍ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വര്‍ഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങള്‍ മാറ്റിയാല്‍ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ആയിരിക്കും. | ||
| വരി 10: | വരി 10: | ||
അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താന്‍ പിത്തഗറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ മുതല്‍ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂര്‍ണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ മാര്‍ഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്ന എഡ്വേര്‍ഡ് വെയറിങ് ഒരു മാര്‍ഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോണ്‍ വില്‍സണ്‍ (1741-93) ആണ് ഈ മാര്‍ഗം (വില്‍സണ്‍ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ. | അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താന്‍ പിത്തഗറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ മുതല്‍ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂര്‍ണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ മാര്‍ഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്ന എഡ്വേര്‍ഡ് വെയറിങ് ഒരു മാര്‍ഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോണ്‍ വില്‍സണ്‍ (1741-93) ആണ് ഈ മാര്‍ഗം (വില്‍സണ്‍ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ. | ||
| - | n = 7, (n -1)! = 6! = 6 | + | n = 7, (n -1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. |
(n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാല്‍ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതല്‍ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല. | (n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാല്‍ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതല്‍ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല. | ||
| - | അറിയാവുന്നതില്‍വച്ച് ഏറ്റവും വലിയ അഭാജ്യസംഖ്യ 2 | + | അറിയാവുന്നതില്‍വച്ച് ഏറ്റവും വലിയ അഭാജ്യസംഖ്യ 2<sup>127</sup> -1 ആണ് എന്ന് വളരെക്കാലം വിശ്വസിച്ചിരുന്നു. ഈ സംഖ്യ: 170141183460469231731687303715884105727 ഇത് 1876-ല്‍ എഡ്വേര്‍ഡ് ല്യൂക്കസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെന്നു തെളിയിച്ചത്. എന്നാല്‍ 1952-ല്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ച് 222811 എന്ന സംഖ്യ അഭാജ്യമാണെന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചു. |
2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യന്‍ ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ല്‍ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തില്‍ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ല്‍ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ല്‍ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ല്‍ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതില്‍നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല. നോ: അങ്കഗണിതം, അങ്കഗണിതഫലനം, അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി, ആള്‍ജിബ്ര, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം | 2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യന്‍ ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ല്‍ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തില്‍ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ല്‍ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ല്‍ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ല്‍ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതില്‍നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല. നോ: അങ്കഗണിതം, അങ്കഗണിതഫലനം, അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി, ആള്‍ജിബ്ര, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം | ||
| + | [[Category:ഗണിതം]] | ||
07:02, 8 ഏപ്രില്‍ 2008-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
അഭാജ്യസംഖ്യ
Prime Number
ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും ഒഴികെ മറ്റൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യയും ഘടകമായി ഇല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യ. ഉദാ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... ഈ അനുക്രമം അനന്തം ആണ്. അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകള്‍ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; ഒരേ വിധത്തിലേ പിരിച്ചെഴുതാന്‍ കഴിയൂ. ഉദാ.
24 = 23 x 3. ഈ വസ്തുത അങ്കഗണിതത്തിലെ മൌലിക സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
എറാട്ടോസ്ത്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂര്‍ണസംഖ്യകളില്‍നിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. 'എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ അരിപ്പ' (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍, ഈ മാര്‍ഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ല്‍ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വര്‍ഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങള്‍ മാറ്റിയാല്‍ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ആയിരിക്കും.
അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താന്‍ പിത്തഗറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ മുതല്‍ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂര്‍ണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ മാര്‍ഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്ന എഡ്വേര്‍ഡ് വെയറിങ് ഒരു മാര്‍ഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോണ്‍ വില്‍സണ്‍ (1741-93) ആണ് ഈ മാര്‍ഗം (വില്‍സണ്‍ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ.
n = 7, (n -1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
(n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാല്‍ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതല്‍ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല.
അറിയാവുന്നതില്‍വച്ച് ഏറ്റവും വലിയ അഭാജ്യസംഖ്യ 2127 -1 ആണ് എന്ന് വളരെക്കാലം വിശ്വസിച്ചിരുന്നു. ഈ സംഖ്യ: 170141183460469231731687303715884105727 ഇത് 1876-ല്‍ എഡ്വേര്‍ഡ് ല്യൂക്കസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെന്നു തെളിയിച്ചത്. എന്നാല്‍ 1952-ല്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ച് 222811 എന്ന സംഖ്യ അഭാജ്യമാണെന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചു.
2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യന്‍ ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ല്‍ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തില്‍ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ല്‍ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ല്‍ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ല്‍ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതില്‍നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല. നോ: അങ്കഗണിതം, അങ്കഗണിതഫലനം, അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി, ആള്‍ജിബ്ര, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം
