This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
കേന്ദ്രീയ പ്രവണത
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(പുതിയ താള്‍: ==കേന്ദ്രീയ പ്രവണത== ==Measures of central tendency== ഒരു സംക്ഷേപിത മാനം. സാംഖ്യികത...) |
(→Measures of central tendency) |
||
| (ഇടക്കുള്ള 6 പതിപ്പുകളിലെ മാറ്റങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണിക്കുന്നില്ല.) | |||
| വരി 14: | വരി 14: | ||
ഏതു സന്ദര്‍ഭത്തിലും എല്ലാ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെയും കണക്കാക്കാന്‍ സാധിക്കണമെന്നില്ല. എല്ലാ അംഗമൂല്യങ്ങളും കൃത്യമായി അറിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമേ സമാന്തര മാധ്യം, ഗുണോത്തര മാധ്യം, ഹരാത്മക മാധ്യം എന്നിവയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സാധിക്കുകയുള്ളു. വര്‍ഗ പരിധികള്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു മാത്രമേ ഈ മൂന്നു മാധ്യങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയൂ. എന്നാല്‍ പരമമൂല്യങ്ങളെ (extreme values) വ്യക്തമാക്കാത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ കണ്ടുപിടിക്കാം. അവ്യക്തമായ പരമ വര്‍ഗങ്ങളുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു ഗണിച്ചെടുക്കാവുന്നത് മീഡിയനും മോഡും മാത്രമാണ്. | ഏതു സന്ദര്‍ഭത്തിലും എല്ലാ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെയും കണക്കാക്കാന്‍ സാധിക്കണമെന്നില്ല. എല്ലാ അംഗമൂല്യങ്ങളും കൃത്യമായി അറിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമേ സമാന്തര മാധ്യം, ഗുണോത്തര മാധ്യം, ഹരാത്മക മാധ്യം എന്നിവയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സാധിക്കുകയുള്ളു. വര്‍ഗ പരിധികള്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു മാത്രമേ ഈ മൂന്നു മാധ്യങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയൂ. എന്നാല്‍ പരമമൂല്യങ്ങളെ (extreme values) വ്യക്തമാക്കാത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ കണ്ടുപിടിക്കാം. അവ്യക്തമായ പരമ വര്‍ഗങ്ങളുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു ഗണിച്ചെടുക്കാവുന്നത് മീഡിയനും മോഡും മാത്രമാണ്. | ||
| - | സമാന്തരമാധ്യം. പ്രേക്ഷണ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ശരാശരി മൂല്യമാണ് സമാന്തര മാധ്യം.x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..................x<sub>n</sub> എന്നിവ അംഗങ്ങളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുമ്പോള്‍, അവയുടെ മാധ്യം, | + | '''സമാന്തരമാധ്യം.''' പ്രേക്ഷണ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ശരാശരി മൂല്യമാണ് സമാന്തര മാധ്യം.x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..................x<sub>n</sub> എന്നിവ അംഗങ്ങളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുമ്പോള്‍, അവയുടെ മാധ്യം, |
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol-8-pg146.png]] |
| - | മീഡിയന്‍. പ്രേക്ഷണ ഗണാംഗ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള മൂല്യമാണ് മീഡിയന്‍. ഗണാംഗങ്ങളെ ആരോഹണ ക്രമത്തിലോ അവരോഹണ ക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അവയെ തുല്യ അംഗങ്ങളുള്ള രണ്ടു ഭാഗമായി വിഭജിക്കുന്നു; അവയില്‍ ഒന്നില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ ന്യൂനമൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മറ്റേതില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ അധിക മൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മാത്രമായിരിക്കും. ആകയാല്‍, അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ ഒറ്റയായിരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി (uniquely) നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കും. അവയുടെ സംഖ്യ ഇരട്ടിയായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഇടയിലുള്ള ഏതു മൂല്യത്തെയും മീഡിയനായി സ്വീകരിക്കാമെങ്കിലും കീഴ്വഴക്കമനുസരിച്ച് ഈ മധ്യസംഖ്യകളുടെ മധ്യമാണ് മീഡിയനായി സ്വീകരിച്ചു വരുന്നത്. ഇത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കയില്ല. | + | '''മീഡിയന്‍.''' പ്രേക്ഷണ ഗണാംഗ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള മൂല്യമാണ് മീഡിയന്‍. ഗണാംഗങ്ങളെ ആരോഹണ ക്രമത്തിലോ അവരോഹണ ക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അവയെ തുല്യ അംഗങ്ങളുള്ള രണ്ടു ഭാഗമായി വിഭജിക്കുന്നു; അവയില്‍ ഒന്നില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ ന്യൂനമൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മറ്റേതില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ അധിക മൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മാത്രമായിരിക്കും. ആകയാല്‍, അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ ഒറ്റയായിരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി (uniquely) നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കും. അവയുടെ സംഖ്യ ഇരട്ടിയായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഇടയിലുള്ള ഏതു മൂല്യത്തെയും മീഡിയനായി സ്വീകരിക്കാമെങ്കിലും കീഴ്വഴക്കമനുസരിച്ച് ഈ മധ്യസംഖ്യകളുടെ മധ്യമാണ് മീഡിയനായി സ്വീകരിച്ചു വരുന്നത്. ഇത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കയില്ല. |
| - | മോഡ്. ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള അംഗത്തിന്റെ മൂല്യമാണ് പ്രേക്ഷണഗണത്തിന്റെ മോഡ്. ഒന്നിലധികം മൂല്യങ്ങള്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ളവയായി ഉണ്ടായിരുന്നാല്‍ ഒന്നിലധികം മോഡുകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇപ്രകാരമുള്ള ഒരു സ്ഥിതിവിശേഷം ഉണ്ടാകാമെന്നതിനാല്‍ മോഡ് എല്ലായ്പോഴും അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്നില്ല. | + | '''മോഡ്.''' ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള അംഗത്തിന്റെ മൂല്യമാണ് പ്രേക്ഷണഗണത്തിന്റെ മോഡ്. ഒന്നിലധികം മൂല്യങ്ങള്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ളവയായി ഉണ്ടായിരുന്നാല്‍ ഒന്നിലധികം മോഡുകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇപ്രകാരമുള്ള ഒരു സ്ഥിതിവിശേഷം ഉണ്ടാകാമെന്നതിനാല്‍ മോഡ് എല്ലായ്പോഴും അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്നില്ല. |
സംഭവ്യതാവിതരണം f(x) ആയിട്ടുള്ള ഒരു സതതചര (continuous variable) മാണ് x എങ്കില്‍ (-α < x < α), മേല്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുള്ള കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ താഴെ ചേര്‍ത്തിരിക്കും വിധം നിര്‍വചിക്കാം: | സംഭവ്യതാവിതരണം f(x) ആയിട്ടുള്ള ഒരു സതതചര (continuous variable) മാണ് x എങ്കില്‍ (-α < x < α), മേല്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുള്ള കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ താഴെ ചേര്‍ത്തിരിക്കും വിധം നിര്‍വചിക്കാം: | ||
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vl8-pg146_-2.png]] |
| - | + | [[ചിത്രം:Vl8-pg146_-03.png]] എന്ന ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന M-ന്റെ മൂല്യമാണ് മീഡിയന്‍. | |
| - | + | [[ചിത്രം:Vl8-pg146_-04.png]] എന്ന ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന M<sub>0</sub>-യുടെ മൂല്യമാണ് X-ന്റെ മോഡ്. | |
| + | |||
| + | '''ഗുണോത്തര മാധ്യം.''' ഒരു പ്രേക്ഷണഗണത്തില്‍ n അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം അവയുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ n-മൂലം (n<sup>th</sup> root) ആകുന്നു. അംഗമൂല്യങ്ങളെ x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,......x<sub>n</sub>കൊണ്ടു കുറിച്ചാല്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം | ||
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol8-pg_10-146_2.png]] | ||
| - | ഇവയില്‍ x<sub>1</sub യുടെ ആവൃത്തി f<sub>1</sub> ആയിരിക്കുകയും | + | ഇവയില്‍ x<sub>1</sub> യുടെ ആവൃത്തി f<sub>1</sub> ആയിരിക്കുകയും [[ചിത്രം:Vol8-pg-11-146.png]] ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍ |
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol8-pg-01-146.png]] ആകുന്നു. |
| - | മേല്‍ സൂചിപ്പിച്ച രണ്ടു സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും [[ചിത്രം: | + | മേല്‍ സൂചിപ്പിച്ച രണ്ടു സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും [[ചിത്രം:Vol8-pg-03-146.png]] എന്നോ [[ചിത്രം:Vol8_-pg05-146.png ]] എന്നോ കാണാവുന്നതാകയാല്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം അംഗമൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിത മാധ്യത്തിന്റെ പ്രതിലോഗരിതമാണ്. കൂടാതെ, മേല്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളില്‍ നിന്നുതന്നെ ഏതെങ്കിലും ഒരംഗത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യവും പൂജ്യമാകുമെന്നു കാണാം. |
| - | ഹരാത്മക മാധ്യം. അംഗങ്ങളുടെ വിപരീത മൂല്യങ്ങളുടെ മാധ്യത്തിന്റെ വിപരീതമാണു ഹരാത്മക മാധ്യം. ഓരോ മൂല്യത്തിന്റെയും ആവൃത്തി ഒന്ന് മാത്രമായിരിക്കുമ്പോള്‍ x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,......x<sub>n</sub> എന്നിവയുടെ ഹരാത്മകമാധ്യം. | + | '''ഹരാത്മക മാധ്യം.''' അംഗങ്ങളുടെ വിപരീത മൂല്യങ്ങളുടെ മാധ്യത്തിന്റെ വിപരീതമാണു ഹരാത്മക മാധ്യം. ഓരോ മൂല്യത്തിന്റെയും ആവൃത്തി ഒന്ന് മാത്രമായിരിക്കുമ്പോള്‍ x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,......x<sub>n</sub> എന്നിവയുടെ ഹരാത്മകമാധ്യം. |
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol8_-pg06-146.png]] |
ആവൃത്തി യഥാക്രമം f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>,......f<sub>n</sub>ആയിരിക്കുമ്പോള്‍ | ആവൃത്തി യഥാക്രമം f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>,......f<sub>n</sub>ആയിരിക്കുമ്പോള്‍ | ||
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol8_-pg07-146.png]] |
ആകുന്നു. ഇതില്‍ N ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഈ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ കാര്യത്തിലും ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂല്യം പൂജ്യമായാല്‍ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ മൂല്യത്തിലും പൂജ്യമാകുന്നതാണ്. | ആകുന്നു. ഇതില്‍ N ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഈ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ കാര്യത്തിലും ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂല്യം പൂജ്യമായാല്‍ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ മൂല്യത്തിലും പൂജ്യമാകുന്നതാണ്. | ||
| വരി 48: | വരി 52: | ||
ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണക്കാക്കുന്നതിനു മുമ്പായി വര്‍ഗങ്ങളെ അവയുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തില്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കേണ്ടതാണ്. അങ്ങനെ ക്രമീകരിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു പട്ടികയില്‍, മുകളില്‍ നിന്നുള്ള സഞ്ചിതാവൃത്തി (cumulative frequency) ഏതു വര്‍ഗത്തില്‍ വച്ച് ആകെ ആവൃത്തിയായ N - ന്റെ പകുതിയായിത്തീരുന്നുവോ ആ വര്‍ഗത്തെ 'മധ്യവര്‍ഗം' (medium class) എന്നു പറയുന്നു. ആവൃത്തിപ്പട്ടികയിലെ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള വര്‍ഗമാണ് 'മോഡല്‍ക്ലാസ്സ്' (modal class). ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്ന് ചില കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു:- | ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണക്കാക്കുന്നതിനു മുമ്പായി വര്‍ഗങ്ങളെ അവയുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തില്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കേണ്ടതാണ്. അങ്ങനെ ക്രമീകരിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു പട്ടികയില്‍, മുകളില്‍ നിന്നുള്ള സഞ്ചിതാവൃത്തി (cumulative frequency) ഏതു വര്‍ഗത്തില്‍ വച്ച് ആകെ ആവൃത്തിയായ N - ന്റെ പകുതിയായിത്തീരുന്നുവോ ആ വര്‍ഗത്തെ 'മധ്യവര്‍ഗം' (medium class) എന്നു പറയുന്നു. ആവൃത്തിപ്പട്ടികയിലെ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള വര്‍ഗമാണ് 'മോഡല്‍ക്ലാസ്സ്' (modal class). ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്ന് ചില കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു:- | ||
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol8-pg-06-146_.png ]] |
ഇവിടെ A = ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ; C = വര്‍ഗാന്തരാളം; വര്‍ഗമാധ്യംx<sub>i</sub> യും വര്‍ഗാവൃത്തി f<sub>i</sub> യും ആയിരിക്കുമ്പോള്‍, | ഇവിടെ A = ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ; C = വര്‍ഗാന്തരാളം; വര്‍ഗമാധ്യംx<sub>i</sub> യും വര്‍ഗാവൃത്തി f<sub>i</sub> യും ആയിരിക്കുമ്പോള്‍, | ||
| - | [[ചിത്രം: | + | [[ചിത്രം:Vol8_pg-146-07.png ]] |
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol8_pg-146-08.png]] | ||
| - | + | [[ചിത്രം:Vol8-pg147.png]] | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
(ഡോ. പി. യു. സുരേന്ദ്രന്‍; സ.പ.) | (ഡോ. പി. യു. സുരേന്ദ്രന്‍; സ.പ.) | ||
Current revision as of 15:40, 2 ഒക്ടോബര്‍ 2015
കേന്ദ്രീയ പ്രവണത
Measures of central tendency
ഒരു സംക്ഷേപിത മാനം. സാംഖ്യികത്തില്‍, ഒരു സംഭാവ്യതാവിതരണ (probability distribution)ത്തിന്റെ മധ്യമൂല്യം അഥവാ മാതൃകാമൂല്യം ആണ് കേന്ദ്രീയപ്രവണതാമാനം. ദത്തങ്ങളെ (data) മൊത്തത്തില്‍ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന മൂല്യമായ ഇതിനെ ശരാശരി (average) എന്നും പറയാറുണ്ട്. പരിമിതഗണങ്ങളുടെയോ സൈദ്ധാന്തിക വിതരണങ്ങളുടെയോ (ഉദാ. നോര്‍മല്‍ വിതരണം, ഇത്യാദി) കേന്ദ്രീയ പ്രവണത കണക്കാക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നതാണ്.
സമാന്തരമാധ്യം (arithmetic mean) അഥവാ മാധ്യം, മീഡിയന്‍ (median), മോഡ് (mode), ഗുണോത്തരമാധ്യം (geometric mean), ഹരാത്മകമാധ്യം (harmonic mean) എന്നിവയാണ് പ്രധാനപ്പെട്ട കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകള്‍. ഇവയില്‍ സമാന്തരമാധ്യം, മീഡിയന്‍, മോഡ് എന്നിവയാണ് സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കാറുള്ളത്.
ഒരു കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയ്ക്കു താത്ത്വികമായി ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ട മാനദണ്ഡങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു:
(i) അത് എല്ലാ അംഗമൂല്യങ്ങളെയും ആധാരമാക്കിയുള്ളതായിരിക്കണം, എളുപ്പത്തില്‍ മനസ്സിലാക്കാനും വേഗത്തില്‍ മൂല്യനിര്‍ണയം ചെയ്യാനും സാധിക്കണം;
(ii) കൃത്യമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടതും പരമമൂല്യങ്ങളാല്‍ സ്വാധീനിക്കപ്പെടാത്തതും ആയിരിക്കണം; (iii) ബീജീയ അഭിക്രിയയ്ക്കു (algebraic treatment) വിധേയമായിരിക്കണം; (iv) അതിന്റെ സാമ്പിളന വ്യതിയാനം (sampling variance) കുറവായിരിക്കണം. ഈ മാനദണ്ഡങ്ങള്‍ വച്ചുനോക്കുമ്പോള്‍ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളില്‍ ഏറ്റവും സ്വീകാര്യമായത് സമാന്തര മാധ്യമാണ്.
ഏതു സന്ദര്‍ഭത്തിലും എല്ലാ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെയും കണക്കാക്കാന്‍ സാധിക്കണമെന്നില്ല. എല്ലാ അംഗമൂല്യങ്ങളും കൃത്യമായി അറിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമേ സമാന്തര മാധ്യം, ഗുണോത്തര മാധ്യം, ഹരാത്മക മാധ്യം എന്നിവയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സാധിക്കുകയുള്ളു. വര്‍ഗ പരിധികള്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു മാത്രമേ ഈ മൂന്നു മാധ്യങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയൂ. എന്നാല്‍ പരമമൂല്യങ്ങളെ (extreme values) വ്യക്തമാക്കാത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ കണ്ടുപിടിക്കാം. അവ്യക്തമായ പരമ വര്‍ഗങ്ങളുള്ള ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു ഗണിച്ചെടുക്കാവുന്നത് മീഡിയനും മോഡും മാത്രമാണ്.
സമാന്തരമാധ്യം. പ്രേക്ഷണ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ശരാശരി മൂല്യമാണ് സമാന്തര മാധ്യം.x1, x2, ..................xn എന്നിവ അംഗങ്ങളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുമ്പോള്‍, അവയുടെ മാധ്യം,
മീഡിയന്‍. പ്രേക്ഷണ ഗണാംഗ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള മൂല്യമാണ് മീഡിയന്‍. ഗണാംഗങ്ങളെ ആരോഹണ ക്രമത്തിലോ അവരോഹണ ക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അവയെ തുല്യ അംഗങ്ങളുള്ള രണ്ടു ഭാഗമായി വിഭജിക്കുന്നു; അവയില്‍ ഒന്നില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ ന്യൂനമൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മറ്റേതില്‍ മീഡിയനെക്കാള്‍ അധിക മൂല്യമുള്ള അംഗങ്ങളും മാത്രമായിരിക്കും. ആകയാല്‍, അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ ഒറ്റയായിരിക്കുമ്പോള്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി (uniquely) നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കും. അവയുടെ സംഖ്യ ഇരട്ടിയായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഏറ്റവും മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഇടയിലുള്ള ഏതു മൂല്യത്തെയും മീഡിയനായി സ്വീകരിക്കാമെങ്കിലും കീഴ്വഴക്കമനുസരിച്ച് ഈ മധ്യസംഖ്യകളുടെ മധ്യമാണ് മീഡിയനായി സ്വീകരിച്ചു വരുന്നത്. ഇത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ മീഡിയന്‍ അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കയില്ല.
മോഡ്. ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള അംഗത്തിന്റെ മൂല്യമാണ് പ്രേക്ഷണഗണത്തിന്റെ മോഡ്. ഒന്നിലധികം മൂല്യങ്ങള്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ളവയായി ഉണ്ടായിരുന്നാല്‍ ഒന്നിലധികം മോഡുകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇപ്രകാരമുള്ള ഒരു സ്ഥിതിവിശേഷം ഉണ്ടാകാമെന്നതിനാല്‍ മോഡ് എല്ലായ്പോഴും അസന്ദിഗ്ധമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്നില്ല.
സംഭവ്യതാവിതരണം f(x) ആയിട്ടുള്ള ഒരു സതതചര (continuous variable) മാണ് x എങ്കില്‍ (-α < x < α), മേല്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുള്ള കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ താഴെ ചേര്‍ത്തിരിക്കും വിധം നിര്‍വചിക്കാം:
എന്ന ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന M-ന്റെ മൂല്യമാണ് മീഡിയന്‍.
എന്ന ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന M0-യുടെ മൂല്യമാണ് X-ന്റെ മോഡ്.
ഗുണോത്തര മാധ്യം. ഒരു പ്രേക്ഷണഗണത്തില്‍ n അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം അവയുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ n-മൂലം (nth root) ആകുന്നു. അംഗമൂല്യങ്ങളെ x1, x2,......xnകൊണ്ടു കുറിച്ചാല്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം
ഇവയില്‍ x1 യുടെ ആവൃത്തി f1 ആയിരിക്കുകയും 
ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍
ആകുന്നു.
മേല്‍ സൂചിപ്പിച്ച രണ്ടു സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും 
എന്നോ 
എന്നോ കാണാവുന്നതാകയാല്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യം അംഗമൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിത മാധ്യത്തിന്റെ പ്രതിലോഗരിതമാണ്. കൂടാതെ, മേല്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളില്‍ നിന്നുതന്നെ ഏതെങ്കിലും ഒരംഗത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഗുണോത്തര മാധ്യവും പൂജ്യമാകുമെന്നു കാണാം.
ഹരാത്മക മാധ്യം. അംഗങ്ങളുടെ വിപരീത മൂല്യങ്ങളുടെ മാധ്യത്തിന്റെ വിപരീതമാണു ഹരാത്മക മാധ്യം. ഓരോ മൂല്യത്തിന്റെയും ആവൃത്തി ഒന്ന് മാത്രമായിരിക്കുമ്പോള്‍ x1, x2,......xn എന്നിവയുടെ ഹരാത്മകമാധ്യം.
ആവൃത്തി യഥാക്രമം f1, f2,......fnആയിരിക്കുമ്പോള്‍
ആകുന്നു. ഇതില്‍ N ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഈ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ കാര്യത്തിലും ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂല്യം പൂജ്യമായാല്‍ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ മൂല്യത്തിലും പൂജ്യമാകുന്നതാണ്.
ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്നു കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണക്കാക്കുന്നതിനു മുമ്പായി വര്‍ഗങ്ങളെ അവയുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തില്‍ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കേണ്ടതാണ്. അങ്ങനെ ക്രമീകരിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു പട്ടികയില്‍, മുകളില്‍ നിന്നുള്ള സഞ്ചിതാവൃത്തി (cumulative frequency) ഏതു വര്‍ഗത്തില്‍ വച്ച് ആകെ ആവൃത്തിയായ N - ന്റെ പകുതിയായിത്തീരുന്നുവോ ആ വര്‍ഗത്തെ 'മധ്യവര്‍ഗം' (medium class) എന്നു പറയുന്നു. ആവൃത്തിപ്പട്ടികയിലെ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആവൃത്തിയുള്ള വര്‍ഗമാണ് 'മോഡല്‍ക്ലാസ്സ്' (modal class). ആവൃത്തിപ്പട്ടികയില്‍ നിന്ന് ചില കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളെ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു:-
ഇവിടെ A = ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ; C = വര്‍ഗാന്തരാളം; വര്‍ഗമാധ്യംxi യും വര്‍ഗാവൃത്തി fi യും ആയിരിക്കുമ്പോള്‍,
(ഡോ. പി. യു. സുരേന്ദ്രന്‍; സ.പ.)
