This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

07:00, 25 സെപ്റ്റംബര്‍ 2015-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം

ഗണിതശാസ്ത്രം

Mathematics

പരിമാണങ്ങളുടെയും ഗണങ്ങളുടെയും മാപനം, സവിശേഷത, പരസ്പരബന്ധം എന്നിവയെ സംഖ്യകളും ചിഹ്നങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു പഠനം നടത്തുന്ന ശാസ്ത്രശാഖ. പ്രമുഖ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ഒന്നാണ് ഗണിതം. അറിവ്, പഠനം എന്നീ അര്‍ഥങ്ങളുള്ള മാത്തേമാറ്റ (Mathemata) എന്ന ഗ്രീക്ക് പദത്തില്‍നിന്നാണ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് പദത്തിന്റെ നിഷ്പത്തി. 'പരിമാണങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് അരിസ്റ്റോട്ടലും 'ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ പഠിപ്പുരയും താക്കോലും' എന്ന് റോജര്‍ ബേക്കണും 'പരോക്ഷമാപനങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് ആഗസ്റ്റെ കോമ്തെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ വിശേഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ആമുഖം

സംഖ്യകളും പ്രതീകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് പ്രപഞ്ചവസ്തുക്കളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും വിശദമാക്കുന്ന ഈ ശാസ്ത്രശാഖ ജീവിതത്തിന്റെ എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. കടയില്‍നിന്നു സാധനം വാങ്ങുമ്പോഴും വാച്ചുനോക്കി സമയം അറിയുമ്പോഴും കുടുംബ ബജറ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോഴും നടന്നു തളര്‍ന്ന ദൂരം പറയുമ്പോഴും എന്നുവേണ്ട കളികളില്‍ വ്യാപരിക്കുമ്പോള്‍പ്പോലും നാം അറിയാതെ ഗണിതം പ്രയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. ശാസ്ത്രസന്ദര്‍ഭങ്ങളെ കൃത്യമായി വിവരിക്കുമ്പോഴും നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ നടത്തുമ്പോഴും പരീക്ഷണനിരീക്ഷണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിക്കുമ്പോഴും ശാസ്ത്രകാരന്‍ ഗണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഗണിതാധിഷ്ഠിതമാണ്. 17-ാം നൂറ്റാണ്ട് ആയപ്പോഴേക്ക് മിക്കവാറും എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളും ഗണിതപരമായി പ്രകാശിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയും എന്ന നിലവന്നു. 17-ാം ശതകത്തിലെ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഖമുദ്രയായി ശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാര്‍ എടുത്തുകാട്ടുന്നതും ഗണിതപരമായ പ്രകാശനക്ഷമതയത്രെ. ധനതത്വശാസ്ത്രം, സോഷ്യോളജി, മനശ്ശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ സാമൂഹ്യശാസ്ത്രശാഖകളിലും ഗണിതത്തിന് അദ്വിതീയമായ സ്ഥാനമുണ്ട്. എന്‍ജിനീയറിങ്ങിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ് ഗണിതം. ആരോഗ്യശാസ്ത്രത്തിലും ജീവശാസ്ത്രത്തിലും പരിസ്ഥിതി വിജ്ഞാനത്തിലും ഇന്നു ഗണിതം അപ്രധാനമല്ലാത്ത പങ്കുവഹിക്കുന്നുണ്ട്. വ്യവസായരംഗത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രം ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്. രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ് (Linear Programming) പോലുള്ള പ്രക്രിയകളുടെ സഹായത്തോടെ അനുകൂലതമന സങ്കേതങ്ങള്‍ (optimization techniques) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടല്ലാതെ വ്യവസായരംഗത്തു പിടിച്ചുനില്ക്കാന്‍ ആവാതായിട്ടുണ്ട്. ക്രയവിക്രയത്തിലും ഇന്‍ഷ്വറന്‍സിലും ബാങ്കിടപാടുകളിലും അക്കൗണ്ടന്‍സിയിലും കയറ്റുമതി-ഇറക്കുമതി രംഗങ്ങളിലും എന്നുവേണ്ട ജീവിതത്തിന്റെ നാനാമുഖങ്ങളായ പ്രവര്‍ത്തനമേഖലകളിലെല്ലാം ഗണിതത്തിന്റെ വ്യക്തമായ സ്വാധീനം കാണാം.

ഭൗതികശാസ്ത്രങ്ങളിലെന്നപോലെ ഈ പ്രപഞ്ചത്തിലെ വസ്തുക്കളെയും പ്രതിഭാസങ്ങളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും കുറിച്ചല്ല ഗണിതത്തിന്റെ പരിചിന്തനം. എന്നാല്‍ ഇതെല്ലാം കൃത്യമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാനും വിശദീകരിക്കാനും മനസ്സിലാക്കണമെങ്കില്‍പ്പോലും ഗണിതസഹായം അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. ഗണിതം ഒരു ശുദ്ധശാസ്ത്ര(pure science)മാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് തനതായ സങ്കേതങ്ങളും, സമ്പ്രദായങ്ങളുമുണ്ട്. ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളുടെയും സങ്കേതങ്ങളുടെയും രീതികളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഗണിതം വസ്തുക്കളെയും ബന്ധങ്ങളെയും പരിഗണിക്കുന്നത്. ശാസ്ത്രീയാശയങ്ങള്‍ പറഞ്ഞറിയിക്കാനും ശാസ്ത്രകാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തവും നിയതവുമായി പ്രതിപാദിക്കാനും ഗണിതത്തിന്റെ സഹായം കൂടാതെ കഴിയുകയില്ല. അതിനാല്‍ ഗണിതത്തിലൂടെയാണ് ശാസ്ത്രപ്രകാശനം എന്നു പറയാറുണ്ട്. ശാസ്ത്രവസ്തുതകള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുകയും വിശദീകരിക്കുകയും ശാസ്ത്രത്തിലെ സങ്കല്പനങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രയോഗക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുക മാത്രമല്ല ഗണിതം ചെയ്യുന്നത്. പലപ്പോഴും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവിഛിന്നഭാഗമായി നിന്നുകൊണ്ട് ശാസ്ത്രസൃഷ്ടിക്കും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രത്യക്ഷീകരണത്തിനും കാരണമായും ഗണിതം വര്‍ത്തിക്കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെയെല്ലാം ആയിരിക്കവേതന്നെ ശാസ്ത്രബാഹ്യമായി തനതായ നിലനില്പ് ഗണിതത്തിനുണ്ട്. ശാസ്ത്രങ്ങളില്‍ അലിഞ്ഞുചേര്‍ന്നുകൊണ്ട്, സ്വന്തമായ അസ്തിത്വം അവ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ടുപോലും, ഗണിതം ഇതര ശാസ്ത്രങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുകയും വിപുലമാക്കുകയും വളര്‍ത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

മനുഷ്യമനസ്സിന്റെ ഉദാത്തമായ സിദ്ധികളെ എടുത്തുകാട്ടുന്ന ശുദ്ധചിന്തയുടെ പാറ്റേണുകളുടെയും രൂപങ്ങളുടെയും സര്‍ഗാത്മക സൃഷ്ടിയാണ് ഗണിതം. അതിനാല്‍ ഗണിതം കലയാണ്. മനുഷ്യന്റെ ശീലവര്‍ത്തനങ്ങളെ സമ്പൂര്‍ണമായി അഭിവ്യഞ്ജിപ്പിക്കുകയും വിശദീകരിക്കുകയും മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് പകര്‍ന്നുകൊടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം മാനവികം ആണ്. വ്യക്തവും അശിഥിലവും നിയമബദ്ധവും താര്‍ക്കികവുമായ ഘടന ഗണിതത്തിനുണ്ട്. സര്‍വഗുണസംയുക്തമായ ഉദ്ദേശ്യങ്ങള്‍ സംഭാവന ചെയ്തുകൊണ്ട് ഇതരശാസ്ത്രശാഖകളെ ഗണിതം സമ്പൂര്‍ണമാക്കിത്തീര്‍ക്കുന്നു. ഭൗതികവും ജൈവികവും സാമൂഹികവുമായ മണ്ഡലങ്ങളിലെ ഗവേഷണത്തിന് ഗണിതം പ്രേരണയും താങ്ങും നല്കുന്നു.

അറിവിന്റെ ഉടല്‍, പ്രായോഗിക ഉപകരണം, തത്വചിന്തയുടെ മൂലാധാരം, താര്‍ക്കിക സമ്പ്രദായത്തിന്റെ പരിപൂര്‍ണത, പ്രകൃതിയിലേക്കുള്ള താക്കോല്‍, പ്രകൃതിയുടെ വാസ്തവികത, ബുദ്ധിപരമായ കേളി, രസനിഷ്യന്ദിയായ അനുഭൂതി, യുക്തിപരമായ വിക്രമം എന്നിങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ പലതരത്തില്‍ വിശേഷിപ്പിച്ചുവരുന്നു. വിശേഷണങ്ങളെല്ലാം തികച്ചും അര്‍ഥവത്താണ്. ഭൗതികവും മാനസികവും വൈകാരികവും ആയ അനുഭവങ്ങളുടെ പ്രകടരൂപമായ പ്രപഞ്ചത്തോടുള്ള ഒരു സമീപനരീതിയാണ് ഗണിതം എന്നും പറയാവുന്നതാണ്. പ്രപഞ്ചത്തെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങളില്‍ നിന്ന് യഥാര്‍ഥചിന്ത ഊറ്റിയെടുത്ത അത്യന്തം വിശുദ്ധമായ സത്താണ് ഗണിതശാസ്ത്രം എന്ന് ചിലര്‍ ഗണിതത്തെ വാഴ്ത്താറുണ്ട്. ഭൗതികലോകത്ത് അനുഭവപ്പെടുന്ന ക്രമരാഹിത്യങ്ങള്‍ക്ക് ക്രമം നല്കാനും പ്രപഞ്ചത്തിനു സൗന്ദര്യം പകരാനും ആരോഗ്യസമ്പന്നമായ മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ നൈസര്‍ഗിക വാസനകള്‍ പ്രയോഗക്ഷമമാക്കാനും വേണ്ടി മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം താങ്ങും തണലുമായി ഗണിതശാസ്ത്രം വര്‍ത്തിക്കുന്നു.

ശാഖകള്‍

ഗണിതത്തെ പലരീതിയില്‍ വിഭാഗങ്ങളാക്കാം. ഇവയില്‍ പ്രാഥമികമായത് ശുദ്ധഗണിതം എന്നും പ്രയുക്തഗണിതം (applied mathematics) എന്നുമുള്ള തരംതിരിക്കലാണ്. പ്രായോഗികത എന്ന പ്രശ്നം ശുദ്ധഗണിതം എന്ന ശാഖ ചിന്തിക്കുന്നതേയില്ല. അതിന്റെ ഗണിതവിശുദ്ധിയും ഗണിതപരമായ സുഘടനയും ഗണിതപരമായ വൈരുദ്ധ്യങ്ങളില്ലായ്മയും സ്വന്തം കാലില്‍ നില്ക്കാനുള്ള കഴിവും അതിന്റെ സ്നിഗ്ധതയും ചാരുതയും ആണ് ആരെയും അതിലേക്ക് ആകര്‍ഷിക്കുന്നത്. പ്രയുക്തഗണിതം അങ്ങനെയല്ല. പ്രയോഗക്ഷമവും ഭൗതികസാഹചര്യങ്ങളില്‍ നിന്നു രൂപംകൊണ്ടതുമായ ഗണിതമാണ് പ്രയുക്തഗണിതം എന്നുപറയാം. ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതികളില്‍ പ്രയോഗിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ഒന്നാണിത്. ഇങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കുന്നതോടെ ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതി ആവഹിക്കുന്ന തെളിമയും സ്വച്ഛതയും അദ്ഭുതാവഹമാണ്. ശുദ്ധഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയ്ക്ക് പല ശാസ്ത്രശാഖകളിലും പ്രായോഗികത ഉണ്ടായെന്നുവരാം. ഒരു ശുദ്ധഗണിതശാഖയെ ഒരേ ഭൗതികഘട്ടത്തില്‍ മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാവു എന്നില്ല എന്നു സാരം. ജ്യാമിതി എന്ന ശുദ്ധ ഗണിതശാഖ ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. അളക്കല്‍, സര്‍വേ, യന്ത്രനിര്‍മിതി, കെട്ടിടനിര്‍മാണം തുടങ്ങി വിവിധ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ജ്യാമിതി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നു; ചിത്രകല തുടങ്ങി പല ശാസ്ത്രേതര രംഗങ്ങളിലും ഗണിതത്തിന്റെ ശാഖോപശാഖകളിലൂടെയുള്ള പര്യടനമാണ് തുടര്‍ന്നുവരുന്നത്.

അങ്കഗണിതം

സംഖ്യകളുടെ ശാസ്ത്രമാണ് അങ്കഗണിതം. സംഖ്യകളെയും അവയുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെയും അവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരികലനങ്ങളെയും കണക്കുകൂട്ടലുകളെയും അങ്കഗണിതം വിവരിക്കുന്നു. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ ചതുഷ്ക്രിയകളാണ് അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ആധാരശിലകള്‍. ഇവയോടൊപ്പം ഘാതനിര്‍ണയവും മൂല്യനിര്‍ണയവും ഉള്‍പ്പെടുന്നു. എന്നാല്‍ വ്യവകലനത്തെ സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും ഹരണത്തെ ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും മൂല്യനിര്‍ണയത്തെ ഘാതനിര്‍ണയത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും കണക്കാക്കിയാല്‍ മതിയാകും. ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ ഇത്രയേറെ പ്രാധാന്യമുള്ള മറ്റൊന്നില്ലതന്നെ. അക്ഷരം അഭ്യസിക്കുന്നതോടൊപ്പം അങ്കഗണിതപഠനവും ആരംഭിക്കുന്നു. സങ്കലനപ്പട്ടികയും ഗുണനപ്പട്ടികയും ഹൃദിസ്ഥമാക്കുക പ്രാഥമിക വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം വളരെ പ്രധാനം തന്നെ.

ബീജഗണിതം. അങ്കഗണിതത്തില്‍ നിയതവിലയോടുകൂടിയ സംഖ്യകളെയാണ് പരിഗണിക്കുക. ഇവയുടെ സ്ഥാനത്ത് അനിശ്ചിത വിലകളുള്ള അജ്ഞാതരാശികളെ പ്രതിഷ്ഠിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ശാഖയാണ് ബീജഗണിതം. ഈ അജ്ഞാതരാശികളുടെ വിലനിര്‍ണയിക്കലാണ് ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുഖ്യലക്ഷ്യങ്ങളിലൊന്ന്. ഇതിനായി സമവാക്യങ്ങള്‍ക്കു രൂപം കൊടുക്കലും അവയുടെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം തേടലും ആവശ്യമാണ്. കാലാനുസൃതമായ മാറ്റങ്ങള്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തില്‍ കടന്നുകൂടി. ഇന്ന് ബീജഗണിതം അമൂര്‍ത്തഘടനകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്. അമൂര്‍ത്തഘടനകള്‍ മൂര്‍ത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ കടന്ന് അവയ്ക്ക് മുമ്പെങ്ങുമില്ലാത്ത തെളിമയും വ്യക്തതയും നല്കുന്നു.

ജ്യാമിതി

ഭൗതികജ്ഞന്മാര്‍ക്കും സര്‍വേയര്‍മാര്‍ക്കും ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്കും നാവികര്‍ക്കും വാസ്തുശില്പികള്‍ക്കും എന്‍ജിനീയര്‍മാര്‍ക്കും എന്നുവേണ്ട എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലും പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ക്കും അങ്കഗണിതംപോലെ തന്നെ ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണ് ജ്യാമിതി. ആകൃതിയെയും വലുപ്പത്തെയുംകുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് ജ്യാമിതി. തലത്തിലും ഇടത്തിലും (space) ഉള്ള രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധങ്ങളും അവയുടെ ആന്തരിക ബന്ധങ്ങളും പരിചിന്തിക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണിത്. യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള യൂക്ലിഡിയാ ജ്യാമിതിയും യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതത്തെ പിന്തള്ളുന്ന അയൂക്ലിഡിയാ ജ്യാമിതിയും പ്രപഞ്ചത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കാന്‍ ഒന്നുപോലെ സഹായിച്ചിട്ടുണ്ട്.

വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി

ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവവിശേഷതകളും സമ്പ്രദായങ്ങളും ജ്യാമിതിയിലേക്കു പകര്‍ന്നതിന്റെ ഫലമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി അഥവാ നിര്‍ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി. കാര്‍ത്തീയജ്യാമിതി (cartitian geometry) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു പ്രതിനിധീകരിക്കലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അപഗ്രഥിച്ച് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കലുമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വഭാവം. ദ്വിമാനതലത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമജോടികളെയും ത്രിമാന ഇടത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമത്രയങ്ങളെയും ആധാരമാക്കിയാണ് സമവാക്യങ്ങള്‍. ഇത്തരം സംഖ്യകള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ വ്യക്തമാക്കുന്ന ക്രമജോടി സംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ, അഥവാ ക്രമത്രയസംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ ബന്ധവാക്യങ്ങളാണ് വിസ്ലേഷകജ്യാമിതിയിലെ സമവാക്യങ്ങള്‍.

ത്രികോണമിതി

ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഭുജങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഇവ തമ്മില്‍ത്തമ്മിലുമുള്ള ബന്ധം വിശദമാക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഫലനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയുള്ള ഗണിതപരിഗണനകളാണ് ത്രികോണമിതിയില്‍ ഉള്ളത്. ഗോളോപരിതലത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ഗോളീയത്രികോണമിതി.

കലനം

മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഗണിതരാശികളാണ് കലനം (Calculus) എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ ചിന്താവിഷയം. അവയുടെ മാറ്റനിരക്കിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഭൗതിക വിശദീകരണങ്ങള്‍ നല്കാന്‍ എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളെയും ശാസ്ത്രേതര ശാഖകളെപ്പോലും കലനം സഹായിക്കുന്നു. മാറ്റനിരക്കു നിര്‍ണയിക്കാനുള്ള അവകലനവും (differentiation) മാറ്റനിരക്ക് അറിഞ്ഞിരുന്നാല്‍ മാറ്റത്തിനു വിധേയമാകുന്ന രാശികളെ നിര്‍ണയിക്കുന്ന സമാകലനവും (integration) ആണ് കലനത്തിലെ രണ്ടു മുഖ്യവിഷയങ്ങള്‍.

അവകലങ്ങളോ (differential) അവകലജങ്ങളോ (derivative) അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതു അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ (differential equations). സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍, ആംശിക (partial) അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്നിങ്ങനെ ഇവ രണ്ടിനമുണ്ട്. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങളില്‍ ഒരേ ഒരു സ്വതന്ത്ര ചരമേ ഉണ്ടായിരിക്കു. ഒന്നിലധികം സ്വതന്ത്രചരങ്ങളും അവയെയെല്ലാമോ അവയില്‍ ചിലതിനെ മാത്രമോ ആസ്പദമാക്കി അസ്വതന്ത്രചരത്തിനുള്ള അവകലജങ്ങളും പരിഗണിക്കുമ്പോഴാണ് ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ ആവശ്യമായി വരിക.

അജ്ഞാതഫലനം സമാകലനത്തിനു വിധേയമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന വേളകളില്‍ ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചതാണ് സമാകലസമവാക്യങ്ങള്‍ (integral equations).

ഗണിതവിസ്ലേഷണം.

സങ്കീര്‍ണമായ ഒരു വസ്തുവിനെ ഘടകങ്ങളാക്കി വേര്‍പെടുത്തല്‍ ആണ് വിസ്ലേഷണം. ഒരു പ്രസ്താവനയെ, നേരത്തേതന്നെ തെളിയിച്ചു കഴിഞ്ഞതോ തെളിവുകൂടാതെ അംഗീകരിക്കാവുന്നതോ ആയ, ലളിതമായ ഏതാനും പ്രസ്താവനകളായി വേര്‍തിരിക്കുകയും, അങ്ങനെ ആ പ്രസ്താവനയെ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമ്പ്രദായത്തെയാണ് ഗ്രീക്കുകാര്‍ ഗണിതവിസ്ലേഷണം എന്നു വിളിച്ചത്. നവോത്ഥാനകാലത്ത് ഈ പദത്തിന്റെ അര്‍ഥം കുറച്ചുകൂടി വിപുലമായിത്തീര്‍ന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായംതേടിക്കൊണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളെ നിര്‍ധരിക്കുന്ന ഗണിതസമ്പ്രദായം ആണ് ഗണിതവിസ്ലേഷണം എന്നു വന്നുകൂടി. ഇന്നാകട്ടെ, ഗണിതശാഖകളുടെയെല്ലാം സര്‍വാസ്ലേഷിയായ ഒന്നായി ഗണിതവിസ്ലേഷണം വികാസം പ്രാപിച്ചിരിക്കുന്നു. കലനം, വാസ്തവിക സമ്മിശ്രചരങ്ങള്‍, വിശിഷ്ടഫലനങ്ങള്‍ (special functions), അനന്തശ്രേണി (infinite series) തുടങ്ങിയവയെല്ലാം ഇന്നു ഗണിതവിസ്ലേഷണത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.

അവകല ജ്യാമിതി

കലനം എന്ന ഗണിതശാഖയെ അവലംബിച്ച് വക്രങ്ങളെയും പ്രതലങ്ങളെയും കുറിച്ചു പഠിക്കുകയാണ് അവകലജ്യാമിതി (Differential geometry)യില്‍ ചെയ്യുന്നത്.

ഇതരഘടകങ്ങള്‍

സമ്മിശ്രസംഖ്യ

സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകളാണ് സമ്മിശ്രചര വിസ്ലേഷണത്തിന്റെ പ്രതിപാദ്യം. √-1 എന്ന പ്രതീകംകൊണ്ടു കുറിച്ചുവരുന്നഎന്ന അധികല്പിത സംഖ്യ ചേര്‍ന്നുള്ള, a + ib പോലെയുള്ള വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമജോടി (a, b) ആണ് സമ്മിശ്രസംഖ്യ (complex number) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

ഗണങ്ങള്‍

വ്യക്തമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ട വസ്തുക്കളുടെയോ ആശയങ്ങളുടെയോ ശേഖരമാണ് ഗണം. ഒരു വസ്തു (ആശയം) ഒരു ഗണത്തിലുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യത്തിന് 'ഉണ്ട്', 'ഇല്ല' എന്നീ ഉത്തരങ്ങളില്‍ ഒന്നുമാത്രമേ ലഭിക്കാവു എന്നതാണ് 'വ്യക്തമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ട' എന്ന വിശേഷണം കൊണ്ട് അര്‍ഥമാക്കുന്നത്. ഗണങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഗണസിദ്ധാന്തം എല്ലാ ആധുനിക ഗണിതശാഖകളുടെയും അടിത്തറയാണ്. ഗണിതത്തെ പൂര്‍ണമായും വ്യക്തമായും വിശദമാക്കാനുള്ള ഒന്നായിത്തീര്‍ന്നിരിക്കുന്നു ഗണസിദ്ധാന്തം. ഗണിതത്തെപ്പറ്റി സാകല്യമായി കുറേക്കൂടി സുവ്യക്തമായ അറിവു ലഭിക്കാന്‍ ഗണസിദ്ധാന്തം സഹായിക്കുന്നു.

ഗണിതീയതര്‍ക്കം

സാധുതയുള്ള യുക്തിചിന്തയുടെ തത്ത്വങ്ങളെ സ്ഥാപിക്കുകയും പരിശോധിക്കുകയും വ്യക്തവും നിയതവുമായി പ്രതിപാദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു തര്‍ക്കം. പ്രതീകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള തര്‍ക്കം (logic), ഗണിതീയതര്‍ക്കം (mathematical logic) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതത്തിലെ പ്രതീകങ്ങളും സംക്രിയകളും തര്‍ക്കത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ധാരണത്തിനു പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സമ്പ്രദായമാണ് പ്രതീകാത്മക തര്‍ക്കം (symbolic logic). ഇതില്‍ സംജ്ഞകളെയും പ്രസ്താവനകളെയും ബന്ധങ്ങളെയും കുറിക്കാന്‍ പ്രതീകങ്ങള്‍ ആണ് ഉപയോഗിക്കുക.

സദിശ വിസ്ലേഷണം

നിശ്ചിത ദിശകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിതരാശികളായ സദിശങ്ങളുടെ (Vectors) വ്യവഹാരമാണ് സദിശവിസ്ലേഷണം (vector analysis).

ടെന്‍സര്‍

പരിഗണനാവിധേയമായ ഓരോ നിര്‍ദേശാങ്കപദ്ധതിയിലും (co-ordinate system) പ്രത്യേകതരം രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ക്കു വിധേയമായതും സുനിശ്ചിതമായി വ്യവഹരിക്കാവുന്നതുമായ ഒരു പറ്റം ഘടകങ്ങളോടുകൂടിയ അമൂര്‍ത്തവസ്തുവാണ് ടെന്‍സര്‍ (tensor). ഒരു നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള പരിചിന്തനയില്‍നിന്നു വിട്ടുമാറി മറ്റു നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതികളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള പരിചിന്തന കൈക്കൊള്ളേണ്ടി വരുമ്പോള്‍, നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതിയുടെ മാറ്റംമൂലം സഹചാരി (covarient) ആയ ഗുണധര്‍മങ്ങളോടു കൂടിയ രാശികളെയാണ് ടെന്‍സര്‍ വിസ്ലേഷണം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍ പ്രപഞ്ചത്തെ വ്യാഖ്യാനിച്ചത് ടെന്‍സറിന്റെ സഹായത്തോടെയാണ്.

സംഖ്യാത്മക വിസ്ലേഷണം

കൃത്യമായ നിര്‍ധാരണം അസാധ്യമാകുംവിധം സങ്കീര്‍ണമായ പല സമവാക്യങ്ങളും ആധുനികശാസ്ത്രത്തിലും സാങ്കേതിക വിദ്യകളിലും കടന്നുകൂടാറുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഇവയുടെ ഏകദേശ നിര്‍ധാരണം കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയും. ഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഏകദേശനിര്‍ധാരണം (Approximate solution) സാധിക്കാനുള്ള സങ്കേതങ്ങളും സമ്പ്രദായങ്ങളും വിവരിക്കുന്ന ശാഖയാണ് സംഖ്യാത്മക വിസ്ലേഷണം (Numerical analysis).

ടോപോളജി

ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെ ഏതെങ്കിലും ഏകൈക തുടര്‍രൂപാന്തരണത്തിനു (one to one continuous transformation)) വിധേയമാക്കുമ്പോള്‍ മാറ്റം സംഭവിക്കാത്ത ഗുണധര്‍മങ്ങളെ ടോപോളജി (Topology) പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു വസ്തു പൊട്ടാതെയോ വിഘടിക്കാതെയോ തുടര്‍ച്ചയായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍-വലിച്ചുനീട്ടലും വളയ്ക്കലും മറ്റും ഉദാഹരണങ്ങള്‍-മാറ്റം സംഭവിക്കാത്ത ജ്യാമിതീയ ഘടകങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ടോപോളജി.

സാംഖ്യികം

സ്ഥിതിവിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണം, ക്രമീകരണം, അപഗ്രഥനം എന്നിവയെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുകയും ഇത്തരം പ്രതിപാദനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വിശ്വാസ്യവും യുക്തിസഹവുമായ നിഗമനങ്ങളില്‍ എത്തിച്ചേരുകയും, ഈ നിഗമനങ്ങളുടെ വിശ്വാസ്യതയെ സംഭാവ്യതാരൂപത്തില്‍ അളന്നു തിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് സാംഖ്യികം (Statistics). മുന്‍കാലങ്ങളില്‍ സാംഖ്യികത്തെ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയായാണ് കണക്കാക്കിയിരുന്നത്. എന്നാല്‍ ഇന്ന് അത് വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ഒരു സ്വതന്ത്രശാഖയായി വളര്‍ന്നു വികാസംപ്രാപിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംക്രിയാഗവേഷണം

ഘടനാപരമായ സംക്രിയകള്‍ അടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങളില്‍, തീരുമാനം കൈക്കൊള്ളലിനെ സഹായിക്കുന്ന ശാസ്ത്രീയ സമീപനരീതിയാണ് സംക്രിയാഗവേഷണം (Operations Research). അനുകൂലതമ നിര്‍ധാരണങ്ങള്‍(optimal solutions)കൊണ്ട് നിയന്ത്രിക്കുവാന്‍ സാധിക്കുമാറുള്ള സംക്രിയകളിലൂടെ പദ്ധതികളെ എങ്ങനെ കാര്യക്ഷമമായി സംഘടിപ്പിക്കാം എന്ന ലക്ഷ്യത്തോടെ, ശാസ്ത്രീയ മാര്‍ഗങ്ങളും സങ്കേതങ്ങളും രീതികളും ഉപയോഗിച്ച്, പദ്ധതികളെ വിശകലനം ചെയ്യുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് സംക്രിയാഗവേഷണം. നിത്യജീവിതത്തില്‍ തീരുമാനമെടുക്കേണ്ടിവരുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലെല്ലാം ഇതു പ്രയോഗക്ഷമമാണ്. സര്‍ക്കാര്‍ സ്ഥാപനങ്ങള്‍, വ്യാപാര വ്യവസായ മണ്ഡലങ്ങള്‍, എന്‍ജിനീയറിങ്, ധനതത്ത്വശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയവയില്‍ എല്ലാം ഇന്ന് സംക്രിയാഗവേഷണം കാര്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു.

രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ്

പരിമിതമായ വിഭവങ്ങള്‍ ഏതു രീതിയില്‍ സമര്‍ഥമായി ഉപയോഗിച്ചാലാണ് നിശ്ചിത ലക്ഷ്യത്തിന്റെ പരമാവധി നേടാന്‍ കഴിയുക എന്ന് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ തീരുമാനിക്കുകയാണ് രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ് ചെയ്യുന്നത്. ആള്‍, അര്‍ഥം, പദാര്‍ഥം, ഭൂമി, യന്ത്രം തുടങ്ങി വേണ്ടത്ര സുലഭമായി ലഭിക്കാത്തവയില്‍ ഒന്നോ പലതോ ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നോ അതിലധികമോ പുതിയ വസ്തുക്കള്‍ പരമാവധി ലാഭകരമായി എങ്ങനെ സംഘടിപ്പിക്കാം എന്ന് ഏതാനും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ നടത്തുന്ന അനുകൂലതമ നിര്‍ണയപ്രക്രിയ ആണിത്.

ഗ്രാഫ്

ശീര്‍ഷകങ്ങളുടെ ശൂന്യേതരഗണം (non-empty set) V (G), വക്കുകളുടെ ശൂന്യേതര ഗണം E(G) [ഇവ രണ്ടും അസംയുക്തഗണങ്ങള്‍ (disjoint set) ആകണം], ഓരോ വാക്കിനെയും ക്രമജോടി അല്ലാത്ത ഒരു ജോടി ശീര്‍ഷകങ്ങളുമായി (ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ വിഭിന്നങ്ങളാകണം എന്നില്ല) ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ആപതനഫലനം ψ_G(incidence relation) എന്നിവയുടെ ഒരു ക്രമത്രയം ആണ് G എന്ന ഗ്രാഫ്. G = [V(G), E(G), ψ_G] എന്ന് ഇക്കാര്യം കുറിക്കാം. ഉദാ. e ഒരു വക്കും u-വും v-യും ശീര്‍ഷകങ്ങളും ആകട്ടെ e യുടെ ഒരു ആപതനഫലനമാണ് uv എങ്കില്‍, u, v എന്നിവയെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വക്ക് ആണ് e; വക്കിന്റെ അറ്റങ്ങളാണ് u-യും v-യും. ഗ്രാഫുകളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തമാണ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം (Graph Theory).

അടിസ്ഥാന പ്രമാണങ്ങള്‍

അഭിഗൃഹീതാത്മകത

ഗണിതത്തിലെ വസ്തുതകള്‍ ശാസ്ത്രീയമായി വിശകലനം ചെയ്ത് കാര്യകാരണസഹിതം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വഴിക്ക് ആദ്യം ചിന്തിച്ചത് ഗ്രീക്കുകാരാണ്. ജ്യാമിതിയിലാണ് ഈ രീതി ആദ്യം പ്രയോഗിക്കപ്പെട്ടത്. ഇതിനായി സ്വയം പ്രമാണങ്ങള്‍ (Axioms), അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ (Postulates) എന്നീ രണ്ടുതരം പ്രസ്താവനകള്‍ അവര്‍ സ്വീകരിച്ചു. ഇവ തെളിയിക്കേണ്ടതില്ല. ശ്രവണമാത്രയില്‍ത്തന്നെ ശരിയെന്നു തോന്നുന്ന ഇവ ശരിയായ വസ്തുതകളായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു. സ്വയം സ്പഷ്ടമായവയാണ് ഇവ. ഏതു ഗണിതശാഖയെ സംബന്ധിച്ചും സ്വയം സ്പഷ്ടമായ പ്രമാണങ്ങളാണ് സ്വയം പ്രമാണങ്ങള്‍. തുല്യങ്ങളോടു തുല്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്താല്‍ തുല്യങ്ങള്‍ ലഭിക്കുന്നു എന്നത് ഒരു സ്വയം പ്രമാണമാണ്. ശരിതന്നെ എന്ന് അംഗീകരിക്കേണ്ട ജ്യാമിതീയ വസ്തുതകളാണ് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍. രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു ഋജുരേഖയേ വരയ്ക്കാന്‍ കഴിയു എന്നത് ഒരു അഭിഗൃഹീതമാണ്. ഇവയുടെ സഹായത്തോടെയാണ് ജ്യാമിതി പുരോഗമിച്ചത്. എന്നാല്‍ പില്ക്കാലത്ത് സ്വയം പ്രമാണം, അഭിഗൃഹീതം എന്നീ വേര്‍തിരിവ് ആവശ്യമില്ലെന്ന നില സ്വീകൃതമായി. രണ്ടും അഭിഗൃഹീതം എന്നറിയപ്പെട്ടു.

ബിന്ദു, രേഖ, തലം, കോണം എന്നു തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് യൂക്ലിഡ് തന്റെ എലിമെന്റ്സ് ആരംഭിക്കുന്നത്. ഇവയെ ഇട(സ്പേസ്)വുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട് 'വീതി ഇല്ലാത്ത നീളമാണ് രേഖ' എന്നിങ്ങനെയുള്ള നിര്‍വചനങ്ങള്‍ യൂക്ളിഡ് നല്കുന്നുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഇവ നിര്‍വചനങ്ങള്‍ എന്നതിലേറെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളാല്‍ നിയന്ത്രിതമായ അര്‍ഥത്തോടുകൂടിയ ചില വസ്തുതകള്‍ മാത്രമാണ്. ഇത്തരം നിര്‍വചനങ്ങള്‍ ആശയങ്ങള്‍ വിശദമാക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന സഹജാവബോധപരമായ വിശദീകരണങ്ങള്‍ മാത്രമാണ്. അതിനാല്‍ യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി ആശ്രയിക്കുന്നത് അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ ആണ് എന്നു പറഞ്ഞുവരുന്നു. തുടര്‍ന്ന് അനിര്‍വചിതമായ ഈ പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച ചില പ്രാഥമിക പ്രസ്താനവനകള്‍ നടത്തുകയാണ് യൂക്ലിഡ്. അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ ആസ്പദമാക്കി ഭൗതിക ലോകത്തെക്കുറിച്ചു നടത്തുന്ന ഇത്തരം പ്രസ്താവനകള്‍ ശരിതന്നെ എന്ന വിശ്വാസത്തോടെ വിഷയത്തെ മുന്നോട്ടുകൊണ്ടു പോകുന്നു. ഈ അഭിഗൃഹീതങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിക്കൊണ്ട്, അവയില്‍നിന്ന് അദ്ദേഹം ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ നിഷ്പാദിപ്പിക്കുന്നു. അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ ശരിയാണ് എന്ന സങ്കല്പത്തില്‍, അവയില്‍ നിന്ന് നിഷ്പാദിപ്പിക്കപ്പെട്ടവയാണ് പ്രമേയങ്ങള്‍ എന്നു സാരം. ഇതിനിടയില്‍ ത്രികോണം, കര്‍ണം എന്നു തുടങ്ങി ഒട്ടേറെ പദങ്ങളെ നിര്‍വചിക്കാന്‍ അദ്ദേഹം ശ്രമിക്കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെ ആവിഷ്കരിക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളെ അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകള്‍കൊണ്ടാണ് വ്യവഹരിച്ചിട്ടുള്ളത്. അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളുടെ സഹായംകൊണ്ടോ സാധാരണ ഭാഷകൊണ്ടോ വിശദീകരിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചില സംജ്ഞകളെയാണ് ഇങ്ങനെ നിര്‍വചിച്ചിട്ടുള്ളത്. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടാനാകാത്ത അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍ നിന്നാരംഭിച്ച്, വിശ്വാസ്യയോഗ്യമായ യുക്തിയിലൂടെ പ്രമേയങ്ങളിലേക്ക് എത്തുന്നു. ഇതിനായി നിഗമനയുക്തി (deductive) കൈക്കൊള്ളുന്നു. ഇങ്ങനെ 456 പ്രമേയങ്ങള്‍ യൂക്ലിഡ് താര്‍ക്കിക ശൃംഖലയായി അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

എന്നാല്‍ യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതം മറ്റ് അഭിഗൃഹീതങ്ങളെന്നപോലെ അതേപടി അംഗീകരിക്കാവുന്നതല്ല എന്ന ചിന്താഗതി പില്ക്കാലത്തുണ്ടായി. L എന്ന രേഖയില്‍ അല്ലാത്ത P എന്ന ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി L-നു സമാന്തരമായി ഒരേയൊരു രേഖയേയുള്ളു എന്നാണ് അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതത്തിന്റെ സാരം. മറ്റ് നാല് അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍നിന്നു നിഗമനാത്മകരീതിയില്‍ നിഷ്പാദിപ്പിക്കാവുന്ന ഒരു പ്രമേയമായി അതിനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാനും അവതരിപ്പിക്കാനും ശ്രമങ്ങളുണ്ടായി. ഈ ശ്രമത്തിനിടയില്‍ L എന്ന രേഖയിലല്ലാത്ത P എന്നൊരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി L-നു സമാന്തരമായി ഒന്നിലധികം രേഖകള്‍ വരയ്ക്കാം എന്നു വന്നുകൂടി. ഈ തത്ത്വത്തെ ആധാരമാക്കി ഹംഗറിയിലെ ബൊള്യായ് (Bolyai) 1831-ലും റഷ്യയിലെ ലൊബച്യേവ്സ്കി 1829-ലും വളര്‍ത്തിയെടുത്ത ജ്യാമിതിക്ക് അയൂക്ലിഡിയ-ജ്യാമിതി എന്നു പറയുന്നു. 1854-ല്‍ ജര്‍മനിയിലെ റീമാന്‍ മറ്റൊരു അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതിക്കു രൂപംനല്കി. യൂക്ലിഡിയ-അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതികള്‍ തമ്മില്‍ സമാന്തര-അഭിഗൃഹീതത്തിലും (Parallel-postulate) അതിനെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള പ്രമേയങ്ങളിലും ഒഴികെ സാരമായ വ്യത്യാസമൊന്നുമില്ല. തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിതമായ യുക്തിയുക്ത ഘടന എന്ന നില ഇരു ജ്യാമിതികള്‍ക്കുമുണ്ട്. രണ്ടും പ്രപഞ്ചത്തെ വിശദീകരിക്കാന്‍ കെല്പുറ്റവയാണ്. യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയുടെ തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിത ഘടന അംഗീകരിക്കുന്നവര്‍ക്ക് അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതിയുടെ തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിത ഘടനയും അംഗീകരിക്കാതെ തരമില്ല. ഇവയുടെയെല്ലാം അടിസ്ഥാനം അതതിലുള്ള പരസ്പരവിരുദ്ധമല്ലാത്ത ഒരു പറ്റം പ്രമേയങ്ങളാണ്.

1899-ല്‍ ഡേവിഡ് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് തന്റെ ജ്യാമിതിയാശയങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അടിസ്ഥാന സങ്കല്പങ്ങളെയും പ്രസ്താവനകളെയും ഹില്‍ബര്‍ട്ട് അഭിഗൃഹീതം എന്നു വിളിച്ചു. ബിന്ദു, രേഖ തുടങ്ങി ചില പദങ്ങള്‍ അനിര്‍വചിതങ്ങളായിത്തന്നെ ഹില്‍ബര്‍ട്ടും സ്വീകരിച്ചു. ഇദ്ദേഹത്തെയാണ് ഫോര്‍മല്‍ അഭിഗൃഹീതാത്മക രീതിയുടെ പിതാവായി കണക്കാക്കുന്നത്. മോറിറ്റ് സ്പാഷിന്റെ ജ്യാമിതിയും (1882) 1899-ല്‍ പിയാനോയുടെ ജ്യാമിതിയും (1889) ഈ വഴിക്കുള്ള തിരിവുകളാണ്. പിയറി 1899-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ജ്യാമിതിയും ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഇവരും അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. ഹില്‍ബര്‍ട്ട് ആറ് പ്രാഥമികാശയങ്ങളെ അനിര്‍വചിതമായി സ്വീകരിച്ചു. അവയാണ് ബിന്ദു, രേഖ, തലം, പതനം (incidence), ഇടനില (betweenness), സര്‍വസമത. പിയറിയാകട്ടെ ബിന്ദു, ചലനം എന്ന് രണ്ട് അനിര്‍വചിത പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. ഇവരെല്ലാം അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ സംബന്ധിച്ച ചില അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ബിന്ദുവിനെയും രേഖയെയും നിര്‍വചിക്കാതെയാണ് അവയെക്കുറിച്ചുള്ള അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളത്. ബീജഗണിതത്തിലെ അജ്ഞാതങ്ങളുടെ സ്ഥാനമാണ് യഥാര്‍ഥത്തില്‍ അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകള്‍ക്കുള്ളത്. അതിനാല്‍ ഇവയ്ക്ക് സാധ്യമായ ഏത് അര്‍ഥവും നല്കാന്‍ കഴിയും. അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ നല്കുന്ന നിബന്ധനകള്‍ക്കു വിരുദ്ധമാകരുത് ഇത്തരം അര്‍ഥം ആരോപിക്കല്‍ എന്നുമാത്രം. ഉദാ. ബിന്ദു, രേഖ എന്നിവ അനിര്‍വചിതമാണെന്നും അവയെ സംബന്ധിച്ച അഭിഗൃഹീതങ്ങളാണ്:

1. ഓരോ രേഖയും ബിന്ദുക്കളുടെ ശേഖരമാണ്.

2. ഒരു രേഖയില്‍, കുറഞ്ഞപക്ഷം രണ്ടു ബിന്ദുവിന് നിലനില്പുണ്ട്.

എന്നിവ രണ്ടും എന്നു കരുതുക. ബിന്ദുവിനു പകരം ബുക്ക് എന്നും രേഖയ്ക്കു പകരം ഗ്രന്ഥശാല എന്നും എടുത്താല്‍ (ബിന്ദു=ബുക്ക്, രേഖ=ഗ്രന്ഥശാല) മുന്‍പറഞ്ഞ രണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങളും ശരിതന്നെ.

നിഗമനരീതിയോ തര്‍ക്കമോ ഉപയോഗിച്ച് ഇവയില്‍നിന്ന്, ഇത്തരം സംജ്ഞകള്‍ക്കും അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്കും സ്ഥാനമുള്ള, ഒരു പദ്ധതി രൂപപ്പെടുത്തിയെടുക്കാവുന്നതാണ്. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍, അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നതും അവയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ശരിയുമായ പ്രസ്താവനയാണ് അഭിഗൃഹീതം എന്നും, ഇത്തരം അഭിഗൃഹീതങ്ങളുടെ ശേഖരമാണ് അഭിഗൃഹീത പദ്ധതിയെന്നും വന്നുചേരുന്നു. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടാനാവാത്ത പ്രമാണമെന്ന് അഭിഗൃഹീതത്തിനു കൈവന്നിരുന്ന ക്ലാസ്സിക്കല്‍ വിവക്ഷ ഇവിടെ തകരുന്നു. രണ്ട് അഭിഗൃഹീത പദ്ധതികളില്‍ പരസ്പര വിരുദ്ധങ്ങളായ രണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിനര്‍ഥം അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്ക് ആധാരമായ അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളില്‍ വൈരുധ്യം ഉണ്ട് എന്നു മാത്രമാണ്. എന്നാല്‍ ഒരേ അഭിഗൃഹീതപദ്ധതിയിലെ അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ പൊരുത്തക്കേടുണ്ടാകാന്‍ പാടില്ല.

അഭിഗൃഹീതാത്മകതയുടെ സ്വഭാവം ഇങ്ങനെ ചുരുക്കിപ്പറയാം; ഒരു സങ്കല്പനം എടുക്കുക. അതിനെ സംബന്ധിച്ച ചില അനിര്‍വചിത പദങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കുക. ഈ പദങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്കു രൂപംകൊടുക്കുക. ആവശ്യമുള്ളപ്പോഴെല്ലാം പുതിയ പദങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പ്രമേയങ്ങള്‍ നിഗമനാത്മകമായി തെളിയിക്കുക.

സംജ്ഞകളെ നിര്‍വചിക്കായ്ക ഒരു പോരായ്മയാണെന്നു തോന്നിയേക്കാം. എന്നാല്‍ അതല്ല സ്ഥിതി. അഭിഗൃഹീതത്തിനു ശരിയാംവിധം അനിര്‍വചിത പദങ്ങള്‍ക്ക് ഒന്നിലേറെ വ്യാഖ്യാനങ്ങള്‍ നല്കാന്‍ കഴിയുന്നു എന്നത് ചില സിദ്ധാന്തങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളമെങ്കിലും നേട്ടം തന്നെയാണ്. വ്യാഖ്യാനഭേദങ്ങള്‍ക്ക് അതീതമായ ഇത്തരം ഒരു സിദ്ധാന്തം വൈവിധ്യമുള്ള പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും പ്രയോഗിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന കരുത്തുറ്റ ഒരു ആയുധമാണ്. ഇത്തരം ചില സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്ക് ഒരേ ഒരര്‍ഥമേ കല്പിക്കാന്‍ കഴിയൂ. ചിലവയ്ക്ക് അര്‍ഥം കല്പിക്കാനേ കഴിയാതെ പോയെന്നു വരാം.

അഭിഗൃഹീതാത്മക രീതിയില്‍ ഉണ്മയ്ക്കല്ല പ്രാധാന്യം. ശരിയും സത്യവുമായ വസ്തുതകളെയാണ് അഭിഗൃഹീതം പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഈ അംഗീകാരത്തോടെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍നിന്നു പ്രമേയങ്ങള്‍ സ്ഥാപിതങ്ങളാകുന്നു. ഇതിന് തര്‍ക്കയുക്തിയെയും നിയമനയുക്തിയെയും ആശ്രയിക്കുന്നു. ഫോര്‍മല്‍ അഭിഗൃഹീതാത്മക പദ്ധതിയില്‍ തര്‍ക്കത്തിനു സുപ്രധാനമായ സ്ഥാനമുണ്ട്.

ജനിതകത (Geneticism)

ഈ സമ്പ്രദായം അനുവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിത വസ്തുതകള്‍, ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകക്രമം പാലിക്കുംവിധമുള്ളവയാണ്. പ്രത്യേകക്രമപ്രകാരം ഭവിച്ച ഗണിതവസ്തുക്കളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പ്രമേയങ്ങള്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ കാതലാണ്. നിഗമനരീതിയാണ് ഇതിന്റെയും അടിസ്ഥാനം. നിഗമനരീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സുവ്യക്തഫലത്തില്‍നിന്ന് അടുത്തതിലേക്കും അതില്‍നിന്ന് അതിനടുത്തതിലേക്കും പോകുന്നു. ഉദാ. നിസര്‍ഗസംഖ്യകള്‍. പൂജ്യത്തില്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 1, 1 -ല്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 2, ... ല-നിന്ന് അതിടനടുത്ത n+1 എന്ന ക്രമത്തില്‍ ഇവ ഭവിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിതത്തിന്റെ അഞ്ച് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ പിയാനോ (Peano) 1889-ല്‍ നല്കുകയുണ്ടായി. ഇവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ അങ്കഗണിതത്തെ ഫോര്‍മല്‍-അഭിഗൃഹീതാത്മക സമ്പ്രദായമായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്.

ഗണസിദ്ധാന്തവും ഗണനസംഖ്യയും

20-ാം ശതകത്തില്‍ ഗണിതത്തിനുണ്ടായ വളര്‍ച്ചയുടെ നിദാനം ഗണസിദ്ധാന്തമാണ്. ജോര്‍ജ് കാന്റര്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഗണസിദ്ധാന്തം ഗണിതത്തില്‍ വളരെയധികം പരിവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ക്കു കാരണമായിത്തീര്‍ന്നു.

A എന്നും B എന്നും രണ്ടു ഗണം എടുക്കുക. ഇവയില്‍നിന്ന്, ഒരു ഗണത്തില്‍നിന്ന് ഒന്ന് എന്ന കണക്കില്‍, രണ്ടില്‍ നിന്നും ഓരോ അംഗത്തെയെടുത്ത് ജോടിയാക്കലാണ് യഥാര്‍ഥത്തില്‍ ഏകൈക സാംഗത്യം അഥവാ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തം (one to one correspondence). രണ്ടു ഗണം തമ്മില്‍ ഏകൈക സാംഗത്യം ഉണ്ടെങ്കില്‍, അവയുടെ ഗണനസംഖ്യ (cardinal number) ഒന്നുതന്നെ എന്നു പറയുന്നു. ഗണനസംഖ്യ എന്ന ആശയം കാന്റര്‍ അനന്തഗണങ്ങളില്‍ സമര്‍ഥമായി പ്രയോഗിച്ചു. ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ പരിമിതമാണെങ്കില്‍ അതിനെ പരിമിതഗണം എന്നു വിളിക്കുന്നു. അനന്തം അംഗങ്ങള്‍ ഉള്ള ഗണം അനന്തഗണം. നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ (0, 1, 2, ...) ഗണത്തിന്റെയും ധനപൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെയും ഗണനസംഖ്യ ഒന്നുതന്നെ. ധനപൂര്‍ണസംഖ്യാഗണത്തിന്റെയും വര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ (1, 4, 9, ...) ഗണത്തിന്റെയും ഗണനസംഖ്യ ഒന്നുതന്നെ. ഈ ഗണനസംഖ്യയോടുകൂടിയ അനന്തഗണങ്ങളെ ഗണനീയ ഗണങ്ങള്‍ (countable sets) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരം ഗണങ്ങള്‍ ഗണനീയമായി അനന്തമാണ് എന്നും പറയാറുണ്ട്. ഇവയെ എണ്ണാന്‍ കഴിയും എന്നതുകൊണ്ടും നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ സഹായത്തോടെ ക്രമപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും എന്നതുകൊണ്ടുമാണ് ഈ പേര്.

A എന്നൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ മാത്രം ചേര്‍ന്ന് രൂപം നല്കിയ ഗണമാണ് S എങ്കില്‍, A-യുടെ ഉപഗണ(subset)മാണ് S എന്നു പറയുന്നു. അഥവാ, S-ലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം A-യിലെയും അംഗങ്ങളാണെങ്കില്‍ S എന്ന ഗണം A-യുടെ ഉപഗണമാണ്. ചില അവസരങ്ങളില്‍ ഒരു അനന്തഗണത്തിലെ ഒരു അംശത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍, ആ അനന്തഗണത്തിലെ തന്നെ അംഗങ്ങളുമായി ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തമുള്ളവയാണ് എന്നു വരാം. ഗലീലിയോ ഈ സാധ്യത അറിഞ്ഞിരുന്നതായി വേണം വിശ്വസിക്കാന്‍. ഡെഡിക്കന്റ് (Dedekind) 1888-ല്‍ ഈ സാധ്യതയെ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുകയുണ്ടായി.

S എന്നും T എന്നും രണ്ടു ഗണം പരിഗണിക്കുക. ഗണം T-യും S-ന്റെ ഒരു ഉപഗണവും തമ്മില്‍ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തമുണ്ടെന്നും, മറിച്ചില്ലെന്നും (Sഉം T-യുടെ ഒരു ഉപഗണവും തമ്മില്‍ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തം ഇല്ലെന്നും) വരികില്‍ S-ന്റെ ഗണനസംഖ്യ T-യുടെ ഗണനസംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതാണ്.

നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെക്കാള്‍ കൂടിയ ഗണനസംഖ്യയുള്ള ഗണങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കാന്റര്‍ തന്റെ വികര്‍ണപ്രക്രിയ ഉപയോഗിച്ചു തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി (1874). അങ്ങനെ ഗണനീയമല്ലാത്ത അനന്തഗണങ്ങളില്‍ അദ്ദേഹം എത്തിച്ചേര്‍ന്നു. വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഗണനീയമല്ലാതെ അനന്തമാണ്. ഗണനീയമല്ലാത്ത ചില അനന്തഗണങ്ങളുടെ ഗണനസംഖ്യകള്‍ ഒന്നുതന്നെ എന്നു സ്ഥാപിക്കാന്‍ കഴിയും. തുടര്‍ന്ന് M എന്നൊരു ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണങ്ങളെല്ലാം ചേര്‍ന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ M-ന്റെ ഗണനസംഖ്യയിലും കൂടുതലാണ് എന്നൊരു പ്രമേയം അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.

എല്ലാംകൂടിയായപ്പോള്‍ അനന്തത്തെക്കുറിച്ചു നിലനിന്നിരുന്ന അറിവ് പരിമിതവും പ്രാകൃതവും ആണ് എന്നു വന്നുകൂടി.

ഇതേത്തുടര്‍ന്നുണ്ടായ ഗണിത പരിചിന്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി ചില വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ ഗണിതത്തില്‍ ഉയര്‍ന്നുവന്നു. ഇത് വലിയ പ്രശ്നമായി മാറി.

A എന്നൊരു ഗണവും a എന്നൊരു വസ്തുവും ഉണ്ടെന്നും, a ഗണം A-യിലെ അംഗമാണെന്നും അതേസമയം തന്നെ A-യെ ആധാരമാക്കിയാണ് a നിര്‍വചിച്ചിട്ടുള്ളത് എന്നുമിരിക്കട്ടെ. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ A-യുടെയും a-യുടെയും നിര്‍വചനം സുസ്ഥാപിതമല്ലെന്നു പറയുന്നു. സുസ്ഥാപിതങ്ങളല്ലാത്ത നിര്‍വചനങ്ങളെ ഗണിതത്തില്‍നിന്ന് ഒഴിവാക്കാതെ തരമില്ലെന്ന അവസ്ഥ സംജാതമായി.

ഇതേത്തുടര്‍ന്ന് ഉണ്ടായ ചിന്താധാരകളുടെ ഫലമായി ഉയര്‍ന്നുവന്ന മൂന്നു പ്രസ്താനങ്ങള്‍ ഗണിതത്തിന് ആധാരമായ തത്ത്വങ്ങളിലും ഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെയും ബഹുവിധമായ സംഭാവനകള്‍ നല്കുകയുണ്ടായി.

താര്‍ക്കികത (Logicism)

ഗണിതം തര്‍ക്കത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണെന്ന് താര്‍ക്കികര്‍ വിശ്വസിക്കുന്നു. എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളുടെയും അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒന്നാണ് തര്‍ക്കം എന്ന് ലൈബ്നീസ് (Leibnitz) 1666-ല്‍ പ്രസ്താവിച്ചു. ഈ പ്രസ്താവന അത്യന്തം ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഉം (and), അഥവാ (or), ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ നിഷേധം (negation) എന്നിവ സങ്കലനം, ഗുണനം ഋണത്വം എന്നീ അങ്കഗണിത സങ്കേതങ്ങള്‍ക്കു സമാനമാണെന്ന് ബൂള്‍ 1884-ല്‍ പറഞ്ഞു. 1888-ല്‍ ഡെഡിക്കന്റും പിന്നീട് ഫ്രെഗെയും (1884-ലും 93-ലും) തര്‍ക്കത്തില്‍നിന്ന് അങ്കഗണിതം നിഷ്പാദിപ്പിക്കുകയുണ്ടായി. ഗണിതതത്ത്വങ്ങളെ തര്‍ക്കതത്ത്വങ്ങള്‍കൊണ്ട് അവര്‍ വിശദീകരിച്ചു. പിയാനോ 1898-ല്‍ തര്‍ക്കപ്രതീകങ്ങള്‍കൊണ്ട് ഗണിതം പ്രതിപാദിച്ചു. എല്ലാ ഗണിതശാഖകളും തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിതമാക്കി മാറ്റാന്‍ കഴിയും എന്ന് റസ്സല്‍ പ്രസ്താവിച്ചതോടെ താര്‍ക്കികത സുസ്ഥാപിതമായി. 1910-13 കാലത്ത് ആല്‍ഫ്രെഡ് വൈറ്റ്ഹഡും റസ്സലും കൂടി മൂന്നു വാല്യങ്ങളായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പ്രിന്‍സിപ്പിയാ മാത്തമാറ്റിക്ക ഈ രംഗത്തെ അതീവ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു കൃതിയാണ്. 1926-ല്‍ റാംസേ താര്‍ക്കികതയുടെ വക്താവായി ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ അംഗീകരിക്കുകയും ചില ഭേദഗതികള്‍ വരുത്തുകയും ചെയ്തു. റസ്സലിന്റെ സമ്പ്രദായം അംഗീകരിച്ചുകൊണ്ട് 1940-ല്‍ ക്വൈന്‍ പല മാറ്റങ്ങളും നിര്‍ദേശിച്ചു. ഇവര്‍ 'ആക്സിയം ഒഫ് റെഡ്യൂസിബിലിറ്റി' എന്ന തത്ത്വം താര്‍ക്കികതയില്‍ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചു. 1954-ല്‍ ഗ്യോഡല്‍ താര്‍ക്കികതയെ പിന്താങ്ങിക്കൊണ്ട് എഴുതി.

വാസ്തവിക സംഖ്യകള്‍ക്ക് താര്‍ക്കികര്‍ അര്‍ഹിക്കുന്ന സ്ഥാനം നല്കി. സ്ഥായിയായ ചില അനുഭവങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളില്‍ നിന്നാണ് അവര്‍ ആരംഭിച്ചത്. പല വൈരുധ്യങ്ങളും താര്‍ക്കികതയ്ക്കുണ്ട് എന്നതിനാല്‍ പരക്കെ പ്രചാരം നേടാന്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തിനു കഴിഞ്ഞില്ല.

===സഹജാവബോധത (Intuitionism)=== 

ഗണിതത്തില്‍ വയസ്റ്റ്രസും (Weierstrass), ഡെഡിക്കന്റും, കാന്ററും അവതരിപ്പിച്ച ആശയങ്ങളിലെ ചില പോരായ്മകള്‍ 1880-ല്‍ ലിയോണാര്‍ഡ് ക്രോനക്കര്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. "നിസര്‍ഗസംഖ്യകളും അവയുടെ സംക്രിയകളും സഹജാവബോധപരമായി സ്ഥാപിതമാണ്; നിസര്‍ഗസംഖ്യകളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഒരു സംരചനയാണ് ഗണിതം. ഇതായിരുന്നു ക്രോനക്കറുടെ പ്രസ്താവനയുടെ സാരം. ഈ പ്രസ്താവന സഹജാവബോധതയുടെ അടിത്തറ പാകുകയുണ്ടായി. ഇത് സഹജാവബോധനയുടെ ആരംഭമായി കണക്കാക്കാം. പ്വാന്‍കറേ (Poincare) 1902-04 കാലത്ത് സഹജാവബോധതയ്ക്ക് ആധാരമായ ചില വസ്തുതകള്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. ഇവര്‍ രണ്ടുപേരും ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ പ്രചാരകരായിരുന്നുവെങ്കിലും ഈ രീതിയുടെ ഉപജ്ഞാതാവായി കണക്കാക്കുന്നത് ഡച്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എല്‍.ഇ.ജെ. ബ്രൌവറെ ആണ്. ഇതേ കാലയളവില്‍ത്തന്നെ ഹില്‍ബര്‍ട്ടും കൂട്ടരും ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ഗണിതത്തിന്റെ വൈരുധ്യരഹിത വികാസത്തിനുവേണ്ടി പ്രതീകാത്മക തര്‍ക്കം (symbolic logic) ഉപയോഗിക്കാന്‍ ആരംഭിച്ചു. എന്നാല്‍ സഹജാവബോധവാദികള്‍ക്ക് ഇത് അംഗീകരിക്കാന്‍ ആയില്ല. ഇവരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഭാഷയോ തര്‍ക്കമോ ഗണിതത്തിന്റെ പൂര്‍വോപാധിയേ അല്ല. ഗണിതം ഭാഷയില്‍നിന്നും തര്‍ക്കത്തില്‍നിന്നും സ്വതന്ത്രമാണ്. അന്യരെ ഗണിതം ധരിപ്പിക്കാനുള്ള ഉപാധികള്‍ മാത്രമാണ് ഭാഷയും തര്‍ക്കവും. 'ഏത് A-യെ സംബന്ധിച്ചും, ഒന്നുകില്‍ A ശരിയാണ് അല്ലെങ്കില്‍ A-യുടെ നിഷേധം ശരിയാണ്' എന്ന മധ്യനിരാസനിയമം (law of excluded middle) സാര്‍വത്രികമായ ഒന്നായി അംഗീകരിക്കാന്‍ ബ്രൌവര്‍ തയ്യാറായില്ല. അനന്തഗണങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് ഇതു ശരിയല്ലെന്നു ബ്രൌവര്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. ഒരു പ്രമേയം തെറ്റാണ് എന്ന സങ്കല്പത്തില്‍നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഈ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ വാദിച്ചു മുന്നേറുമ്പോള്‍, കൈക്കൊണ്ട സങ്കല്പത്തിന്റെ വൈരുധ്യത്തില്‍ വന്നു നില്ക്കുന്നു എന്നു തെളിയിക്കുകയും തന്മൂലം പ്രമേയം ശരിയാണെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്ന മാര്‍ഗം പലപ്പോഴും അവലംബിക്കാറുണ്ട്. ഈ രീതി 'റിഡക്ഷ്യോ അഡ് അബ്സര്‍ഡം' അഥവാ 'അസംഗത പ്രകടനം' എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഈ തെളിയിക്കല്‍ രീതിയെയും ബ്രൌവര്‍ ചോദ്യം ചെയ്തു. അനന്തഗണങ്ങളില്‍ അസംഗതപ്രകടനം പ്രയോഗക്ഷമമല്ല എന്ന് ബ്രൌവര്‍ സ്ഥാപിച്ചു. ഒരു വസ്തുതയുടെ നിഷേധത്തിന്റെ നിഷേധം (ദ്വയ നിഷേധം) അവസ്തുതയുടെ സ്ഥിരീകരണം ആണെന്ന വാദവും സഹജാവബോധക്കാര്‍ അംഗീകരിക്കുന്നില്ല. ചുരുക്കത്തില്‍, ഗണിതത്തില്‍ തര്‍ക്കത്തിനുള്ള പ്രയോഗക്ഷമതയുടെ ദൂഷ്യവശങ്ങള്‍ ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ട് തര്‍ക്കത്തിനതീതമാണ് ഗണിതം എന്നിവര്‍ വാദിച്ചു.

ഗണിതത്തിന്റെ സ്രോതസ്സ് സഹജാവബോധം ഒന്നുമാത്രമാണ്. ഗണിതത്തിലെ സങ്കല്പനങ്ങളും അനുമാനങ്ങളും അനുഭവവേദ്യമാക്കിത്തരുന്നത് സഹജാവബോധമാണ്. 'ഗണിതം ഒരു മാനസിക സംരചനയാണ്. ഒരു ഗണിതപ്രമേയം ഒരു ആനുഭവിക സത്യത്തെ എടുത്തുകാട്ടുന്നു' എന്നാണ് ബ്രൌവര്‍ പറയുന്നത്. ഇവര്‍ നിസര്‍ഗസംഖ്യാശ്രേഢിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള നിര്‍മാണ സങ്കേതങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതം പടുത്തുയര്‍ന്നുന്നു. ഇവരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഗണം ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ശേഖരം അല്ല; പടിപടിയായി ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ സ്വരൂപിച്ചെടുക്കാന്‍ ഉതകുന്ന ഒരു നിയമമാണ്. ഗണത്തിന് അസ്തിത്വം തെളിയിക്കേണ്ട ഗണിതസത്തയെ നിര്‍മിച്ചെടുക്കാന്‍ കഴിയും എന്ന തത്ത്വം പ്രതിഷ്ഠിച്ചുകൊണ്ടാണ് അസംഗത പ്രകടനത്തെ സഹജാവബോധഗണിതജ്ഞര്‍ വെല്ലുവിളിച്ചത്. എണ്ണാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ച്, മനുഷ്യമനസ്സിന് സ്വതഃസിദ്ധമായ അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയുന്ന കുറേ ക്രിയകളിലൂടെ ഗണിതവസ്തുതകള്‍ തെളിയിക്കാം എന്നിവര്‍ വിശ്വസിച്ചു. ഇവരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം തര്‍ക്കം പ്രയുക്തഗണിതമാണ്. ഭാഷയ്ക്കും പ്രതീകങ്ങള്‍ക്കും തര്‍ക്കത്തിനും അതീതമാണ് ഗണിതം. അനുഭവത്തില്‍ നിന്നാണ് ഗണിതത്തിന്റെ ഉത്പത്തി. ഗണിതത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യവത്കരണം ബുദ്ധിയുടെ മാത്രം സൃഷ്ടിയാണ്. സഹജാവബോധാത്മകമായ ഉള്ളടക്കമാണ് ഗണിതത്തിന്റേത്.

വൈരുധ്യങ്ങള്‍ കടന്നുപറ്റിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു ഗണിതവ്യവസ്ഥയാണ് സഹജാവബോധാത്മക ഗണിതം. ഇക്കാര്യത്തില്‍ ഗണിതജ്ഞരെല്ലാം ഏകാഭിപ്രായക്കാരാണ്. ഇതാണ് സഹജാവബോധതയുടെ മെച്ചം.

ഫോര്‍മലിസം

ഏതാനും പ്രതീകങ്ങളും അവ അടങ്ങിയ പ്രസ്താവനകളും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള അമൂര്‍ത്ത തത്ത്വങ്ങള്‍ ആണ് ഗണിതത്തിനാധാരം എന്ന് ഫേര്‍മലിസ്റ്റുകള്‍ വിശ്വസിക്കുന്നു. യൂക്ലിഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയെ കുറ്റമറ്റ അഭിഗൃഹീതാത്മക സമ്പ്രദായത്തില്‍ പടുത്തുയര്‍ത്താനുള്ള ശ്രമത്തിനിടയിലാണ് ഫോര്‍മലിസം രൂപംകൊണ്ടത്. യൂക്ളിഡിന്റെ അഭിഗൃഹീതാത്മക പദ്ധതിയില്‍ നിന്ന് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് 1899-ല്‍ ഫോര്‍മല്‍ അഭിഗൃഹീതത വേര്‍തിരിച്ചതോടെ ഫോര്‍മലിസം ആരംഭിച്ചു. ബ്രൗവറും വെയ്ലും ക്ളാസ്സിക്കല്‍ ഗണിതത്തിനെതിരെ ഉയര്‍ത്തിയ വെല്ലുവിളിയെയും ബുരാലീ-ഫോര്‍ട്ടി, റസ്സല്‍ തുടങ്ങിയവരുടെ വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ ഉയര്‍ത്തിയ വെല്ലുവിളിയെയും സമര്‍ഥമായി നേരിടാന്‍ നടത്തിയ ശ്രമത്തിന്റെ കൂടി ഫലമാണ് ഫോര്‍മലിസം. 'ഈ ഗ്രാമത്തില്‍ സ്വയം ക്ഷൗരം ചെയ്യാത്ത എല്ലാവരെയും ഞാന്‍ ക്ഷൗരം ചെയ്യും എന്നു പറയുന്ന ക്ഷുരകന്‍ സ്വയം ക്ഷൗരം ചെയ്യുമോ? ഇതാണ് 'റസ്സല്‍ വിരോധാഭാസം' എപ്പിഡെമിസിന്റെ പ്രസ്താവന: 'ഞാന്‍ കള്ളം പറയുന്നു. ഇത് സത്യമോ കള്ളമോ?' ഇത് മറ്റൊരു വിരോധാഭാസമാണ് (പ്രസ്താവന കള്ളമാണെന്ന് അംഗീകരിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞത് സത്യമാണ്. പ്രസ്താവന സത്യമാണെന്ന് അംഗീകരിച്ചാല്‍ പറഞ്ഞത് കള്ളമാണ്). കാന്റര്‍ വിരോധാഭാസം സുപ്രസിദ്ധമാണ്.

ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ഗണിതത്തിലെ 'അനന്തത്തിന്റെ പൂര്‍ണത' എന്ന തത്ത്വത്തോട് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് വിയോജിച്ചു. ഇത് യുക്തിക്കു നിരക്കാത്തതാണെന്ന് അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചു. എന്നാല്‍ ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ഗണിതം ഉപേക്ഷിക്കണം എന്ന് ബ്രൗവര്‍ പറഞ്ഞതിനോട് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് യോജിച്ചില്ല. അഭിഗൃഹീതാത്മക സിദ്ധാന്തങ്ങളിലെ അവിരോധിത (consistency) തെളിയിക്കാന്‍ പുതിയൊരുരീതി അദ്ദേഹം തേടുകയുണ്ടായി. വൈരുധ്യങ്ങളുടെ അഭാവത്തെയാണ് 'അവിരോധിത' എന്ന പദംകൊണ്ടു വിവക്ഷിക്കുന്നത്. ഒരു പ്രസ്താവനാപദ്ധതി അവിരോധിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ ആ പദ്ധതി സാധിതപ്രായമാക്കുന്ന ഒരു മാതൃക(മോഡല്‍) നിര്‍മിക്കുക എന്നതാണ് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് സ്വീകരിച്ച മാര്‍ഗം.

ഹില്‍ബര്‍ട്ടിന്റെ പുതിയ രീതി ഉപപത്തി സിദ്ധാന്തം എന്നും അതിഗണിതം (Metamathematics) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിത പ്രതിപാദനത്തിനു നിഗമനയുക്തിയും തര്‍ക്കവും കൂടിയേ തീരൂ എന്ന് അതിഗണിതം വിശ്വസിക്കുന്നു. പോള്‍ ബര്‍ണേസ്, വില്‍ഹേം ആക്കര്‍മാന്‍, ജോണ്‍ ഫോണ്‍ ന്യൂമാന്‍ എന്നിവര്‍ ഹില്‍ബര്‍ട്ടിനോടു സഹകരിച്ചു. ഹില്‍ബര്‍ട്ടും ബര്‍ണേസുംകൂടി 1934-ലും 39-ലും രണ്ടു വാല്യമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ച കൃതിയോടെയാണ് ഫോര്‍മലിസം പൂര്‍ണമായത്. സഹജാവബോധപരമായ തര്‍ക്കത്തിന്റെയും ഗണിതത്തിന്റെയും ഫോര്‍മല്‍ രൂപം 1930-ല്‍ ആറെന്‍ഡ് ഹേറ്റിങ് വിശദീകരിക്കുകയുണ്ടായി.

ആസ്ട്രിയയിലെ ഗ്യോഡലിന്റെ ഫലങ്ങള്‍ ഹില്‍ബര്‍ട്ടിന്റെ രീതിയുടെ പോരായ്മകളിലേക്കു വിരല്‍ചൂണ്ടി. വിയന്നാ സര്‍വകലാശാലയിലെ ഗ്യോഡല്‍ ഇരുപത്തഞ്ചുവയസ്സുമാത്രം പ്രായമുള്ളപ്പോള്‍ (1931-ല്‍) ആണ് ഇതു ചെയ്തത്. ഗ്യോഡല്‍ പ്രതിപാദിച്ചതിന്റെ അര്‍ഥവും വ്യാപ്തിയും ഏതാനും വര്‍ഷം കഴിഞ്ഞേ പൂര്‍ണമായി ഉള്‍ക്കൊള്ളാന്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞുള്ളൂ. ഗ്യോഡലിന്റെ അപൂര്‍ണതാ പ്രമേയങ്ങള്‍ ഫോര്‍മലിസത്തിന്റെ അപൂര്‍ണത വെളിവാക്കുന്നു. ധനപൂര്‍ണ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ എല്ലാ പ്രമേയങ്ങളെയും ഉള്‍ക്കൊണ്ടുകൊണ്ടുള്ള ഏതു സംവിധാനം എടുത്താലും ശരിയെന്നു തെളിയിക്കാനും തെറ്റെന്നു തെളിയിക്കാനും സാധ്യല്ലാത്ത പ്രമേയങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് ഗ്യോഡല്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. ഗണിതത്തെ അഭിഗൃഹീതാത്മകമായി പടുത്തുയര്‍ത്താനോ ഒരു ഗണിതം ഉള്‍ക്കൊണ്ടിട്ടുള്ള അവിരോധിത സ്ഥാപിക്കാനോ കഴിയുകയില്ല എന്നുവരെ ക്രമേണ വന്നുകൂടി.

ഗണിതത്തിനുള്ള അവിരോധിത സ്ഥാപിക്കാന്‍ ഗണിതസങ്കേതങ്ങളെത്തന്നെ തേടുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് ഫോര്‍മലിസം. ഒരു ഗണിതപദ്ധതി താര്‍ക്കികമായി അവിരോധി ആണെങ്കില്‍ മാത്രമേ അതിന് ഗണിതപരമായ അസ്തിത്വമുള്ളൂ എന്നു പറയാം. സഹജാവബോധതയ്ക്കും ഫോര്‍മലിസത്തിനും തമ്മില്‍ സാദൃശ്യം ഏറെയുണ്ട്. രണ്ടും ഒരു വസ്തുവിന്റെ അസ്തിത്വം അംഗീകരിക്കുന്നത് സ്വന്തമായ ക്രിയകളിലൂടെ ആ വസ്തുവിനെ സൃഷ്ടിക്കാം എന്നു വരികില്‍ മാത്രമാണ്.

പ്രതീകങ്ങള്‍.

പ്രതീകങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിക്കപ്പെട്ടതോടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സ്വഭാവം പാടേ മാറിപ്പോയി. പ്രാചീനകാലത്ത് ഗണിതം, കേവലം വാങ്മയമായിരുന്നു. വാക്കുകള്‍ കഴിയുന്നത്ര കുറച്ച് കൃത്യമായും കണിശമായും പ്രതീകങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ ആശയങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിക്കുക എന്ന കാര്യം അന്നത്തെ ഗണിതജ്ഞന്മാരുടെ ചിന്തയ്ക്കപ്പുറമായിരുന്നു. എല്ലാം നീട്ടിപ്പരത്തിപ്പറയേണ്ടിയിരുന്നു. നീണ്ടുനീണ്ടുപോകുന്ന വാക്യങ്ങള്‍ നിറഞ്ഞതായിരുന്നു ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങള്‍.

പ്രതീകങ്ങളെപ്പറ്റി രസകരമായ ചില വസ്തുതകളുണ്ട്. ഒരേ ആശയം വ്യക്തമാക്കാനായി പലപ്പോഴും പല പല കാലങ്ങളിലായി പല പല ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. അവയില്‍ ഒന്നുമാത്രം നിലനില്ക്കുകയും ബാക്കിയെല്ലാം വിസ്മൃതമാവുകയും ചെയ്തു. ഒരു പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടതിനുശേഷം, അതേ ആശയത്തെക്കുറിക്കാന്‍ മറ്റു ചില പ്രതീകങ്ങള്‍കൂടി ഉണ്ടാവുകയും, പല കാരണങ്ങളാലും പുതുതായി രൂപംകൊണ്ടവ തിരസ്കൃതമാവുകയും, ആദ്യം ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ട പ്രതീകം തന്നെ അംഗീകരിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്ത സംഭവങ്ങളുണ്ട്. ഒരേ ചിഹ്നം തന്നെ പലവിധത്തില്‍ ഉച്ചരിക്കപ്പെട്ടതിനുശേഷം നിലവാരപ്പെട്ട ഉച്ചാരണം നിലവില്‍ വന്ന സംഭവങ്ങളുണ്ട്. ഉദാ. സദിശത്തിലെ ∇ എന്ന പ്രതീകം എടുക്കാം. അസ്സീരിയയിലെ സംഗീതോപകരണമായ സാരംഗിയുമായുള്ള ആകാരസാദൃശ്യം കാരണം 'നാബ്ളാ' എന്നും, പിന്നീട് തിരിച്ചിട്ട ഡെല്‍റ്റാ (delta) എന്ന നിലയില്‍ അറ്റ്ലെഡ് (atled) എന്നും ഉച്ചരിക്കപ്പെട്ടത് ഇന്ന് 'ഡെല്‍' എന്ന ഉച്ചാരണം അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പ്രതീകങ്ങളുടെ നിലനില്പിനും പ്രചുരപ്രചാരത്തിലും അതുപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയ ഗണിജ്ഞന്റെ പ്രശസ്തിയും അയാളുടെ സുഹൃദ്ജനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയും അയാളെക്കുറിച്ച് ഗണിതജ്ഞന്മാര്‍ക്കുള്ള സുസമ്മതിയും കാരണമായിത്തീര്‍ന്നിട്ടുണ്ട്. ഒരു ആശയത്തിന് ആദ്യകാലത്ത് ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ട പ്രതീകം മിക്കവാറും ആ ആശയം വ്യക്തമാക്കാന്‍ ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഷയിലുപയോഗിച്ചിരുന്ന പദത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ അക്ഷരമായിരുന്നു. ഭംഗി, അച്ചടിക്കാനും എഴുതാനുമുള്ള സൌകര്യം എന്നിവയും പ്രതീകങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കുന്നതിന് മാനദണ്ഡങ്ങളാക്കി.

അഹ്മെസ്സിന്റെ (ഈജിപ്ത്, ബി.സി. 1650) പാപ്പിറസ് ചുരുളുകളില്‍ കൂട്ടുന്നതിന്റെ പ്രതീകം λ ആണ്; കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ ചിഹ്നം λ ഡയോഫാന്റസ് (ഗ്രീസ്, 3-ാം ശ.) വ്യവകലനത്തെക്കുറിക്കാന്‍ Λ എന്ന പ്രതീകം ഉപയോഗിച്ചു. ഭാരതീയ ഗണിതത്തെ സംബന്ധിച്ച് ലഭ്യമായ ആദ്യകൃതി ബഖ്ഷാലീ മാനുസ്ക്രിപ്റ്റില്‍ കൂട്ടാന്‍വേണ്ടി യു (യുതം എന്ന പദത്തിന്റെ ആദ്യക്ഷരം) എന്നും കുറയ്ക്കാന്‍ വേണ്ടി + (ഈ ചിഹ്നം ക്ഷയം എന്ന പദത്തിന്റെ ആദ്യക്ഷരമായ ക്ഷ ദേവനാഗരീ ലിപിയില്‍ എഴുതുന്നതിന്റെ രൂപഭേദം ആണെന്ന് ഊഹിക്കുന്നതില്‍ തെറ്റില്ല) എന്നും ഉപയോഗിച്ചു. ആദ്യകാല യൂറോപ്യന്‍ സങ്കലന പ്രതീകങ്ങള്‍ ‎ എന്നിവയായിരുന്നു. 15, 16 ശതകങ്ങളില്‍ യൂറോപ്യന്‍ വ്യവകലന പ്രതീകങ്ങള്‍ ‎ എന്നിവയാണ്. 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ വ്യവകലന പ്രതീകം ആണ്. 1456-ല്‍ ജര്‍മനിയില്‍ സങ്കലനത്തെ കുറിക്കാന്‍ et പ്രയോഗിതമായി. ഉദാ.5 et 7(= 5+7). ഈ et ന്റെ പരിഷ്കൃതരൂപമാണ് ഇന്നത്തെ +. ഇത് സങ്കലന ചിഹ്നമായി ആദ്യം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത് ജോഹന്‍ വിഡ്മാന്‍ (ജര്‍മനി) 1489-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച അങ്കഗണിതത്തിലാണ്. സങ്കലന പ്രതീകമായി മാല്‍ട്ടീസ് കുരിശും, നീണ്ട കുത്തന്‍വരയോടുകൂടി   എന്ന ചിഹ്നവും -/- എന്ന പ്രതീകവും ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഋണസംഖ്യകള്‍ക്കു മുകളില്‍ ഭാരതീയര്‍ കുത്തിട്ടു. ചിലപ്പോള്‍ അവര്‍, ഇന്നു ഡിഗ്രി സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ മുകളില്‍ വലത്തോട്ടു മാറ്റിയിട്ട് ഋണത്വം സൂചിപ്പിച്ചു. ചൈനാക്കാര്‍ ധനസംഖ്യകള്‍ ചുവപ്പിലും ഋണസംഖ്യകള്‍ കറുപ്പിലും എഴുതി. 1259-ല്‍ ലീയേ (ചൈന, 1178-1265) സംഖ്യയുടെ വലത്തേ അറ്റത്തുള്ള അക്കത്തില്‍ക്കൂടി ചരിച്ച് ഒരു വരയിട്ട് ഋണത്വം കുറിച്ചു. ഉദാ. ‎ (ഇന്നത്തെ രീതി-10200). 1545-ല്‍ കാര്‍ഡാന്‍ (ഇറ്റലി, 1501-1576) ഋണഭാവ പ്രതീകമായി m: പ്രയോഗിച്ചു. ഉദാ. m:3  (ഇന്നത്തെ-3). ബോംബെല്ലി (ഇറ്റലി) 1572-ല്‍ ഇതിനുപകരം m.3 എന്ന് എഴുതി. ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടൈക്കോബ്രാഹേ ആണ് ആദ്യമായി 1598-ല്‍ _ എന്ന ചിഹ്നം ഋണസംഖ്യകള്‍ക്കു നല്കിയത്.

ബഖ്ഷാലീ മാനുസ്ക്രിപ്റ്റില്‍ ഗുണനത്തെ ഗു കൊണ്ടും ഹരണത്തെ ഭാ കൊണ്ടും കുറിച്ചിരിക്കുന്നു. വില്യം ഓട്ട്റെഡ് (ഇംഗ്ലണ്ട് 1575-1660) ആദ്യമായി ഗുണനത്തെ X കൊണ്ടു കുറിച്ചു. ഇത് 1631-ല്‍ ആണ്. X എന്ന ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം ബിന്ദു ഇട്ട് ഗുണനം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സമ്പ്രദായവും അദ്ദേഹം സ്വീകരിച്ചിരുന്നു. തോമസ് ഹാരിയട്ടും (ഇംഗ്ലണ്ട്, 1595-1633) വ്ളാക്കും (ഡച്ച്, 17-ാം ശ.) ഗുണനത്തെ കുറിക്കാന്‍ ബിന്ദു ഉപയോഗിച്ചു. ബീജഗണിതത്തില്‍ ഗുണനപ്രതീകമായി ബിന്ദു പരക്കെ സ്വീകൃതമായത് ലൈബ്നീസ് (ജര്‍മനി, 1646-1716) ഈ പ്രതീകം സ്വീകരിച്ചതോടെയാണ്.

ജോണ്‍സണ്‍സ് അരൈത്തമെറ്റിക് എന്ന കൃതിയില്‍ 3⁄4 നു പകരം 3:4 എന്നു കാണാം. ക്രിസ്ത്വാബ്ദം 200 മുതല്‍ തന്നെ ഭാരതീയര്‍ ഭിന്നസംഖ്യകള്‍ ഇന്ന് എഴുതുന്ന രീതിയില്‍ എഴുതി. പക്ഷേ, അവര്‍ അംശത്തിനും ഛേദത്തിനും മധ്യേ വരയിട്ടിരുന്നില്ല. 3⁄4 എന്നത് അവര്‍ എന്നെഴുതി എന്നു സാരം. ഇടയ്ക്കു വരയിട്ടത് അറബികളാണ്. അംശം 1 ആയുള്ള ഏകാങ്കഭിന്നങ്ങള്‍ കുറിക്കുവാന്‍ പ്രാചീന ഈജിപ്തിലെ ചിഹ്നം ആണ്. ഈ ചിഹ്നത്തിനു താഴെ അവര്‍ ഛേദകമായ സംഖ്യകള്‍ എഴുതുകയായിരുന്നു പതിവ്. ഉദാ. ‎ (ഇന്നത്തെ ‎). സിയാച്ചി 1675-ല്‍ ഫ്ളോറന്‍സില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച കൃതിയില്‍ (Regola generali d' abbaco) 3⁄4 നു പകരം എന്നാണ് കാണുന്നത്. 3⁄4 എന്നത് 3/4 എന്ന് ആക്കിയത് കൂടുതല്‍ ഭംഗിയും സൗകര്യവും കരുതിയാണ്. അംശബന്ധചിഹ്നമായി ':' ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയത് അജ്ഞാതനാമാവായ R.B യും വിന്‍സന്റ് വിങ്ങും ചേര്‍ന്ന് 1651-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥത്തില്‍ (Harmoni-con Coeleste) ആണ്. ഈ കൃതിയില്‍ ‎ എന്നു പ്രയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഹരിക്കുവാന്‍ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചത് ജോഹന്‍ എച്ച്. റാന്‍ (ജര്‍മനി, 1622-76) ആണ്. ഈ ചിഹ്നമുള്ള ബീജഗണിതം റാന്‍ സ്വിറ്റ്സര്‍ലണ്ടില്‍ 1659-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ജോണ്‍പെല്‍ (സ്വിറ്റ്സര്‍ലണ്ട്, 1654-98) ഈ ചിഹ്നത്തിന് വേണ്ടത്ര പ്രചാരണം നല്കി.

റെനെ ദെക്കാര്‍ത്തെ (ഫ്രാന്‍സ്, 1596-1650) സമചിഹ്നമായി ഉപയോഗിച്ചത് ∝ , ∝ എന്നിവയാണ്. 1559-ല്‍ ബൂട്ടിയോ [ എന്ന ചിഹ്നവും, 1575-ല്‍ സൈലാണ്ടര്‍ || എന്ന ചിഹ്നവും, 1634-ല്‍ അദ്ദേഹംതന്നെ 2/2 എന്ന ചിഹ്നവും, ലൈബ്നീസ് , എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളും ഇതേ അര്‍ഥത്തില്‍ പ്രയോഗിച്ചു. റോബര്‍ട്ട് റെക്കോഡെ (വെയില്‍സ്, 1510-58) ആണ് = എന്ന ചിഹ്നം നല്കിയത്. റെക്കോഡെ = എന്നത് === എന്നപോലെ നല്ലവണ്ണം നീട്ടിയാണ് ഉപയോഗിച്ചത്.

കൂടുതലാണ്, കുറവാണ് എന്നിവയ്ക്ക് ഓട്ട്റെഡ് യഥാക്രമം ‎ എന്നിവ 1631-ല്‍ പ്രയോഗിച്ചു. തോമസ് ഹാരിയട്ട് ആവിഷ്കരിച്ച >, < എന്നിവയാണ്, നിലനിന്നത്.

1665-ല്‍ ജോണ്‍ വാലിസ് (ഇംഗ്ളണ്ട്, 1616-1703) എഴുതിയ അരൈത്മെറ്റിക്കാ ഇന്‍ഫിനിറ്റോറം എന്ന കൃതിയില്‍ അനന്തത്തിന്റെ ചിഹ്നമായി ∞ ഉപയോഗിച്ചു. ഇതു മാറ്റമൊന്നുമില്ലാതെ ഇന്നും തുടരുന്നു.

ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തുള്ള അക്കം കഴിഞ്ഞ് വട്ടത്തിനുള്ളില്‍ പൂജ്യം ഇട്ടാണ് സൈമണ്‍ സ്റ്റെവിന്‍ (സ്റ്റെവിനസ്, നെതര്‍ലന്‍ഡ്, 1548-1620) ദശാംശസംഖ്യകളെ കുറിച്ചത്. ഉദാ. (ഇന്നത്തെ രീതി 8.937). ജോണ്‍ നേപ്പിയര്‍ (സ്കോട്ട്ലന്‍ഡ്, 1550-1617) ദശാംശചിഹ്നമായി അല്പവിരാമം (comma) ഉപയോഗിച്ചു. ബൂര്‍ഗിയും (പ്രാഗ്, 1579-1603) ഇതേ രീതി പിന്തുടര്‍ന്നു. 1616-ല്‍ എഡ്വേഡ് റൈറ്റ് ആണ് ദശാംശബിന്ദു ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചത്. ദശാംശസ്ഥാനത്തുള്ള അക്കങ്ങളുടെ അടിയില്‍ വിലങ്ങനെ ഒരു വരയിടുകയായിരുന്നു ഹെന്റി ബ്രിഗ്സിന്റെ (ഇംഗ്ലണ്ട്, 1616-1703) സങ്കേതം. ഉദാ. (ഇന്നത്തെ 34.651). ജോണ്‍ വാലിസ് ആദ്യം ഓട്ട് റെഡിനെ പിന്തുടര്‍ന്ന് കുത്തനെ അല്പം ചരിച്ചു വരച്ച വരയ്ക്കുശേഷം ദശാംശസ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങള്‍ എഴുതുകയും, അവയുടെ അടിയില്‍ വരയിടുകയും ചെയ്തു. ഉദാ. (ഇന്നത്തെ 3579.753). എന്നാല്‍ 30 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കുശേഷം വാലിസ് ഇന്നത്തെ രീതി സ്വീകരിക്കുകയുണ്ടായി. പെല്ലോസ് (പെല്ലിസാറ്റി, ഇറ്റലി, 15-ാം ശ.) 1492-ല്‍ ദശാംശബിന്ദു ഉപയോഗിച്ച ആളാണ്. അല്‍കാഷിയെ (അറേബ്യ, 15-ാം ശ.) ഈ സന്ദര്‍ഭത്തില്‍ ഓര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചിഹ്നനരീതി മികച്ചതായിരുന്നു.

15-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ പ്രധാനമായും വാണിജ്യാവശ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന അങ്കഗണിതത്തില്‍ ശതമാനത്തെ കുറിക്കാന്‍ per°C എന്നും √ P°Cഎന്നും കാണാനുണ്ട്. 17-ാം ശതകമായപ്പോഴേക്ക് ഇത് per ആയി. പിന്നീട് ഇതില്‍നിന്നു per വിട്ടുകളയുകയും മാത്രമായി നിലനിര്‍ത്തുകയും ചെയ്തു. ഈ ചിഹ്നമാണ് ഇന്നത്തെ % ആയി പരിണമിച്ചത്.

വര്‍ഗത്തിന് അല്‍ഖ്വാറിസ്മി (ബാഗ്ദാദ്, 9-ാം ശ.) മല്‍ എന്നു പറഞ്ഞു. അല്‍കാര്‍ഖി (11-ാം ശ.) മൂന്നാംഘാതത്തിന് കബ് എന്നും നാലാം ഘാതത്തിന് മല്‍മല്‍ എന്നും അഞ്ചാംഘാതത്തിന് മല്‍കബ് എന്നും ആറാംഘാതത്തിന് കബ്കബ് എന്നും ഏഴാം ഘാതത്തിന് മല്‍മല്‍കബ് എന്നും പറഞ്ഞു. ആര്യഭടന്‍ ഇവയെ യഥാക്രമം വര്‍ഗം, ഘനം, വര്‍ഗവര്‍ഗം, വര്‍ഗഘനം, ഘനഘനം, വര്‍ഗവര്‍ഗഘനം എന്നിവയെ കുറിക്കുന്ന വ, ഘ, വ-വ, വ-ഘ, ഘ-ഘ, വ-വ-ഘ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ അഞ്ചാംഘാതത്തിന് പഞ്ചഗതം, ആറാംഘാതത്തിന് ഷഡ്ഗതം ഇത്യാദി ഉപയോഗിച്ചു. ഫ്രാങ്സ്വാസ് വിയെത്ത് (ഫ്രാന്‍സ്, 1540-1603) വര്‍ഗത്തെ Q കൊണ്ടും ഘനത്തെ C കൊണ്ടും കുറിച്ചു. ബോംബെല്ലി എന്നിങ്ങനെ ഘാതങ്ങളെ കുറിച്ചു. ഗിറാഡ് (നെതര്‍ലന്‍ഡ്, 1596-1633) ഇവയെ യഥാക്രമം Q, C, QQ, QC...... എന്നിങ്ങനെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്തു. തോമസ് ഹാരിയട്ട്. aa, aaa, aaaa, aaaaa എന്നിങ്ങനെയുള്ള രീതി കൈക്കൊണ്ടു. ഹെറിഗോണ്‍ (ഫ്രാന്‍സ്, 17-ാം ശ.) ആകട്ടെ a²,a³, a⁴, a⁵, .... .... എന്നിങ്ങനെ എഴുതി. ദെക്കാര്‍ത്തെ a, aa, a², a³, a⁴,a⁵,....എന്നിവ പ്രയോഗിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചിഹ്നങ്ങളാണ് നാം സ്വീകരിച്ചിട്ടുള്ളത്;  aa എന്നതിനു പകരം എന്ന a² വ്യതിയാനത്തോടെ.

വര്‍ഗമൂലത്തിന് ഭാരതീയര്‍ മൂ എന്നെഴുതി. മധ്യകാല ലത്തീന്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ വര്‍ഗമൂലത്തിന്റെ പ്രതീകമായി Rx സ്വീകരിച്ചു. അറബികള്‍ ⇁   എന്ന ചിഹ്നം നല്കി. റൂഡോള്‍ഫ് (ജര്‍മനി) 1525-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച കോസ് എന്ന ‎ കൃതിയിലാണ്ആദ്യമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്. സ്റ്റിഫെല്‍ ഇതേ കൃതി 1553-ല്‍ എഡിറ്റു ചെയ്തു വീണ്ടും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചപ്പോള്‍ വര്‍ഗമൂലം, ഘനമൂലം, ചതുര്‍ഥമൂലം എന്നിവയെ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങള്‍ കൊണ്ടു കുറിച്ചു. റാന്‍ ‎ ഇപ്രകാരം ചിഹ്നങ്ങള്‍ നല്കി. വ്ളാക്ക് ‎ എന്നിപ്രകാരം ഉപയോഗിച്ചു. ഫ്രാന്‍സ്, ഇറ്റലി, ഇംഗ്ളണ്ട് തുടങ്ങിയ സ്ഥലങ്ങളില്‍ ‎ ആയിരുന്നു വര്‍ഗമൂലചിഹ്നം. (ഇന്നത്തെ ‎ അഥവാ (ഇന്നത്തെ). ഗോസ്സെലിന്‍ (ഫ്രാന്‍സ്, 16-ാം ശതകം) ∠ എന്ന ചിഹ്നം പ്രയോഗിച്ചു. ‎,, (ഇന്നത്തെ ). അന്റോണിയോ ബയോണ്ഡിനി (ഇറ്റലി) 1659-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ബീജഗണിതത്തില്‍ ഇന്നത്തെ അര്‍ഥത്തിലും ‎ (ഇന്നത്തെ ‎ ) എന്നതും കാണാം. സര്‍ ഐസക് ന്യൂട്ടണ്‍ (ഇംഗ്ളണ്ട്, 1642-1727) എന്നും പ്രയോഗിച്ചു. (ഇന്നത്തെ ) അദ്ദേഹം എന്ന ആധുനിക രീതിയും സ്വീകരിക്കുകയുണ്ടായി. (ഫ്രാന്‍സ്, 14-ാം ശ.) (ഇന്നത്തെ 2 ^½) എന്നും 1^{P</sub>½ 4 (ഇന്നത്തെ 41½) എന്നും എഴുതി. ചക്കെറ്റ് (ഇംഗ്ലണ്ട്) 1484-ല്‍ ‎ (ഇന്നത്തെ 9x-3) എന്നിത്തരം ചിഹ്നം ആവിഷ്കരിച്ചു. ഗിറാഡ് ‎ (ഇന്നത്തെ 49 (ഇന്നത്തെ 49 2) എന്നെഴുതി. ജോണ്‍വാലിസ് ആണ് പൂജ്യവും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഋണസംഖ്യകളും ഋണസംഖ്യകളും ഘാതാങ്ക സ്ഥാനത്തു (index) വരുമ്പോള്‍ ഉള്ള ഘാതാങ്കനിയമങ്ങള്‍ (laws of indices) ആവിഷ്കരിച്ചത്. വാലിസിന്റെ ജോലി ന്യൂട്ടണ്‍ പൂര്‍ത്തിയാക്കി. 18-ാം നൂറ്റാണ്ട് ആയപ്പോഴേക്ക് ഇവയുടെ ചിഹ്നനം ചിട്ടപ്പെട്ടു.}

ബീജഗണിതത്തില്‍ അജ്ഞാതങ്ങള്‍ക്കുപകരം വര്‍ണങ്ങള്‍ ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് പാടലീപുത്രത്തിലെ ആര്യഭടന്‍ ആണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ അജ്ഞാതങ്ങള്‍ക്ക് കാലകം, നീലകം, ലോഹിതകം, സ്വേതകം, കപീലകം, പിംഗളകം എന്നിങ്ങനെ നിറങ്ങളുടെ പേര് നല്കി. വാക്കുകളുടെ ഒടുവില്‍ 'കം' ചേര്‍ത്തത് ഇവ നിറങ്ങളെയല്ല കുറിക്കുന്നത് എന്നു വ്യക്തമാക്കാനാണ്. ഇവയുടെ ആദ്യക്ഷരങ്ങള്‍ എഴുതിയാണ് അജ്ഞാതങ്ങളെക്കുറിച്ചത്. ഒരജ്ഞാതത്തെ മാത്രം കുറിക്കേണ്ട സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ യാതവത്താവത് എന്ന പദത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ അക്ഷരമായ യാ ആണ് ഭാരതീയ ഗണിതജ്ഞരുടെ ചിഹ്നം. കൂടുതല്‍ അജ്ഞാതങ്ങള്‍ വേണ്ടിവന്നപ്പോള്‍ യായോടൊപ്പം കാ, നീ, പീ തുടങ്ങിയവയും ഉപയോഗിച്ചു. ഹാരിയട്ട് അജ്ഞാതങ്ങള്‍ക്കുപകരം സ്വരങ്ങളും ജ്ഞാതങ്ങള്‍ക്കുപകരം വ്യഞ്ജനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു. ഗിറാഡ് a, e, o, u, y,i എന്നിവകൊണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളെ സൂചിപ്പിച്ചു.

സമവാക്യങ്ങളില്‍ അജ്ഞാതമില്ലാത്ത പദങ്ങളെ (കേവല പദങ്ങളെ) ഭാരതീയര്‍ 'രൂപം' എന്നു വിളിച്ചു. സമവാക്യത്തിലെ ഒരു വശം ഒരു വരിയിലും മറ്റേ വശം അതിനുതാഴെ മറ്റൊരു വരിയിലും ആയി അവര്‍ എഴുതിയ ഒരു അജ്ഞാതത്തിന് നേരെ താഴെ അതേ അജ്ഞാതം തന്നെ എഴുതാന്‍ അവര്‍ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിച്ചു. അജ്ഞാതമില്ലാത്തയിടങ്ങളില്‍ പൂജ്യം എഴുതിയിരുന്നു. അജ്ഞാതങ്ങളുടെ അവരോഹിഘാതക്രമം അവര്‍ പാലിച്ചു. ഗുണാങ്കങ്ങള്‍ അജ്ഞാതത്തിന് പിന്നാലെയാണ് അവര്‍ എഴുതിയത്. ഗുണാങ്കം ഒന്ന് ആണെങ്കില്‍ അവിടെ ഒന്ന് എന്നെഴുതിയിരുന്നു. സംഖ്യയുടെ മുകളില്‍ കുത്തിട്ട് ഋണഭാവത്തെ സൂചിപ്പിച്ചു. രൂപം (കേവലപദം) ഭാരതീയര്‍ ഒടുവില്‍ എഴുതി. ഒറ്റ അജ്ഞാതമേ ഉള്ളുവെങ്കില്‍ ആ അജ്ഞാതം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പദങ്ങള്‍ എല്ലാം ഒരു വരിയിലും കേവലപദം അടുത്ത വരിയിലും എഴുതി.

x⁴ + bx³ + cxx + dx + c = 0 ജോണ്‍ നേപ്പിയര്‍ ആണ്. 1594-ല്‍ അദ്ദേഹം പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഡി ആര്‍ട്ടെലോജിസ്റ്റിക്ക എന്ന കൃതിയില്‍ പൂജ്യത്തോടു സമീകരിക്കുന്നതിന്റെ മെച്ചം മനസ്സിലാക്കിയതിന്റെ ലക്ഷണങ്ങള്‍ കാണാനുണ്ട്.

പല രൂപപരിണാമങ്ങള്‍ക്കുശേഷമാണ് മിക്ക ചിഹ്നങ്ങളും ഇന്നത്തെ രൂപം കൈക്കൊണ്ടിട്ടുള്ളത്.

വിവിധ ഗണിതശാഖകളില്‍ കാണപ്പെടുന്ന പ്രതീകങ്ങളും അവ എന്തെന്നും താഴെ കൊടുക്കുന്നു:

‎

‎

‎‎

‎

‎

പട്ടികകള്‍ (Tables)

എന്‍ജിനീയര്‍ക്കും ഭൌതികജ്ഞനും സാംഖ്യികകാരനും (Statistician) ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞനും നാവികനും മറ്റും തങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്ക് ഒഴിവാക്കാന്‍ ആവാത്ത ഒന്നാണ് ഗണിതപ്പട്ടികകള്‍. അതികഠിനമായി കണക്കുകൂട്ടിയശേഷം മാത്രം നിര്‍ണയിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന പല വിലകളും പട്ടികയില്‍ നോക്കി പെട്ടെന്നു മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിയും. ഇവയ്ക്ക് ആവശ്യമായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുള്ള ഫലനങ്ങളുടെ (functions) വിലകള്‍ പട്ടികയില്‍ കാണാം (ഉദാ. വര്‍ഗമൂലം, സൈന്‍, ലോഗരിതം ഇത്യാദി).

ഒരു ഗണിത തത്ത്വത്തെ ആധാരമാക്കി ലഭിക്കുന്ന വിലകളും മറ്റു ഗണിത തത്ത്വങ്ങളെ ആധാരമാക്കുമ്പോള്‍ ആ ഫലനത്തിന് ലഭിക്കുന്ന വിലകളും തമ്മില്‍ തുലനം ചെയ്ത്, കിട്ടിയ വിലകളുടെ ശരിയും കൃത്യതയും വിലയിരുത്തേണ്ടതുണ്ട്. പല ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍വരെ കൃത്യമായി വില നിര്‍ണയിക്കുകയും, പിന്നീട് തയ്യാറാക്കുന്ന പട്ടികയ്ക്ക് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്ര ദശാംശസ്ഥാനംവരെയുള്ള ഏകദേശനം നടത്തുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കവാറും ക്രിയകളെല്ലാം അനന്തശ്രേണികളെ ആധാരമാക്കിയാണ് നടത്താറ്. ഇവയെക്കൂടാതെ പട്ടിക തയ്യാറാക്കാനായി പല ഗണിത വിഭാഗങ്ങളുടെയും സഹായം ആവശ്യമാണ്. ഘാതശ്രേണി, തുടര്‍ഭിന്നം (continued fractions), ഉപഗാമിശ്രേണി (asymptotic series), പുനരാവൃത്തി പ്രക്രിയ (Literative process), ലംബിക ഫലന (orthogonal function) രൂപേണയുള്ള വിപുലനം, വ്യുത്ക്രമ-ക്രമഗുണിത ഫലനം (inverse factorial function) തുടങ്ങിയവയുടെ സഹായം തേടിക്കൊണ്ടാണ് പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്നത്. സംഖ്യാത്മക-അവകലനവും സംഖ്യാത്മക-സമാകലനവും ഉള്‍പ്പെട്ട പരിമിത അന്തരങ്ങളുടെ കലനം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതായും വരാം.

ഫലനങ്ങളുടെ വിലകള്‍ എന്നപോലെ ഗണിതസൂത്രങ്ങളും പട്ടികയിലുണ്ട് (ഉദാ. ക്ഷേത്രഫലം, വ്യാപ്തം ഇത്യാദി). π, g തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വിലകളും പട്ടികയില്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കും. ഘനത്വം, അന്തരീക്ഷമര്‍ദം തുടങ്ങി ഭൗതികസംബന്ധിയായും രസതന്ത്ര സംബന്ധിയായും ഉള്ള പല വസ്തുതകളും പട്ടികപ്പുസ്തകം നോക്കി മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിയും.

ഒരു സ്വതന്ത്ര ചരത്തിന്റെ (x എന്നിരിക്കട്ടെ) പല വിലകള്‍ക്കും അനുസാരിയായി, ആ സ്വതന്ത്രചരത്തിന്റെ ഒരു ഫലനം [f(x)എന്നിരിക്കട്ടെ ] കൈക്കൊള്ളുന്ന വിലകള്‍ പല ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കൃത്യമായി പട്ടികകളിലുണ്ട്. ഉദാ. x-ന്റെ 1 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള വിലകള്‍ക്ക് log x- ന്റെ വില നാലു ദശാംശ സ്ഥാനംവരെ കൃത്യമായി ലോഗരിതപ്പട്ടികയില്‍ ഉണ്ട്. സ്വതന്ത്രചരത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ കോണാങ്കം (argument) എന്നും ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ പട്ടികാവില (tabular entry) എന്നും പറയുന്നു. കോണാങ്കത്തിന്റെ കോളത്തിലുള്ള തൊട്ടടുത്ത രണ്ടു വിലകള്‍ക്കിടയിലുള്ള ചെറിയ മാറ്റങ്ങള്‍ക്ക് അനുസൃതമായി ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന വ്യതിയാനങ്ങളും പട്ടികാരൂപത്തില്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കും.

ബാബിലോണിയയില്‍ നിന്നു ലഭിച്ച പ്രാചീന രേഖകളിലും ആംസിന്റെ പാപ്പിറസുകളിലും പട്ടികകളുടെ ആദിരൂപം കാണാം. നിഴലിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം അളന്നു സമയം നിര്‍ണയിക്കാനുള്ള അടിയളവു വാക്യം കേരളത്തില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഇതിനെയും പട്ടികയായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാലും നാം വിവക്ഷിക്കുന്ന അര്‍ഥത്തില്‍ അഥവാ രീതിയില്‍ ഒരു പട്ടിക ആദ്യം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് ടോളമിയുടെ അല്‍മജെസ്റ്റ് എന്ന കൃതിയിലാണ്. ഒന്നര ഡിഗ്രിവീതം ഇടവിട്ട കോണാങ്കങ്ങള്‍ക്ക് ജ്യാക്കളുടെ വിലകള്‍ ആറു ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി പ്രസ്തുത കൃതിയിലെ പട്ടികാവിലകളായി ടോളമി നല്കിയിട്ടുണ്ട്. റെജിയോമൊണ്ടാനസ്. (1436-76), റെറ്റിക്കസ് (1514-76), ഗാസ്പാഡ് റിഷെ (1755-1839) തുടങ്ങിയവര്‍ പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കിയവരില്‍ പ്രമുഖരാണ്.

ജോണ്‍ നേപ്പിയര്‍ (1550-1617) ലോഗരിതപ്പട്ടികയും ജോബ്സ്റ്റ് ബൂര്‍ഗീ (1552-1632) ആന്റിലോഗരിതപ്പട്ടികയും ഹെന്റി ബ്രിഗ്സ് (1561-1631) സാധാരണ ലോഗരിതപ്പട്ടികയും (common log) തയ്യാറാക്കി. അങ്ങനെ ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ച പട്ടിക പൂര്‍ണമായി. വ്ളാക്ക് (1600-67) ഇവയെല്ലാം ചേര്‍ത്തുവച്ച് മനോഹരവും പൂര്‍ണവും ആക്കുകയും ഒന്നു മുതല്‍ ഒരു ലക്ഷം വരെയുള്ള സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച വിലകള്‍ 10 സ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു.

പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കുമ്പോള്‍ ആദ്യമായി ചെയ്യുന്നത്, ഏതാനും പ്രധാനപ്പെട്ട കോണാങ്ക വിലകളുടെ പട്ടികാവിലകള്‍ നിര്‍ണയിക്കുകയാണ്. ഇത്തരം വിലകളെ ചാവിവിലകള്‍ എന്നു വിളിക്കാം. പട്ടികയില്‍ എത്ര ദശാംശസ്ഥാനംവരെ കൃത്യമായാണ് പട്ടികാവിലകള്‍ നിര്‍ദേശിക്കേണ്ടതെന്ന് മുന്‍കൂട്ടി തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിലും കുറെയേറെ സ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെയുള്ള വിലകള്‍ നിര്‍ണയിക്കണം. പിന്നീട് അന്തര്‍വേശനം (interpolation), പുനരാവൃത്തി വിധി (iteration) തുടങ്ങിയവ ഉപയോഗിച്ച് മറ്റു കോണാങ്കങ്ങളുടെ പട്ടികാ വിലകള്‍ നിര്‍ണയിക്കുകയാണ് ചെയ്തുവരുന്നത്. നാലു ദശാംശസ്ഥാനംവരെ നാലക്കപ്പട്ടികകളും, ഏഴു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍വരെ ഏഴക്കപ്പട്ടികകളും, അങ്ങനെ പലതരം പട്ടികകളും ലഭ്യമാണ്. സാധാരണ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കും നാലക്കപ്പട്ടിക-നാലു ദശാംശസ്ഥാനംവരെ വില നല്കുന്ന പട്ടിക- ആണ് ആധാരമാക്കാറുള്ളത്.

പട്ടികകള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുമ്പോള്‍ ചില സംഗതികള്‍ മുന്‍കൂട്ടി തീരുമാനിച്ചിരിക്കണം. കോണാങ്കത്തിന്റെ ഏതുവില മുതല്‍ ഏതുവിലവരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്കാണ് പട്ടിക തയ്യാറാക്കേണ്ടത് എന്നതാണ് ഒരു കാര്യം. 1 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള കോണാങ്കങ്ങളാണോ, 1 മുതല്‍ 1000 വരെയുള്ള കോണാങ്കങ്ങളാണോ, 1 മുതല്‍ 50 വരെയുള്ളതാണോ സ്വീകരിക്കേണ്ടത്? ഇവയില്‍ ഏതിനെല്ലാം ഇടയിലുള്ള കോണാങ്കങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച പട്ടികാവിലകളാണ് നല്കേണ്ടത്? കോണാങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ വിലയും ഏറ്റവും വലിയ വിലയും നിര്‍ണയിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ അടുത്ത കാര്യം പൊന്തിവരുന്നു. എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഇടവിട്ടാണ് കോണാങ്കങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കേണ്ടത്? ഉദാഹരണമായി ഒരു ഡിഗ്രി മുതല്‍ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള കോണാങ്കങ്ങളുടെ സൈന്‍ പട്ടികയാണ് വേണ്ടതെന്നുറപ്പിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ 1, 1.5, 2, 2.5, ... എന്നിങ്ങനെ അര ഡിഗ്രി വീതം ഇടവിട്ടാണോ; 1, 2, 3, 4, ... എന്നിങ്ങനെ ഒരു ഡിഗ്രി വീതം ഇടവിട്ടാണോ; 1, 3, 5, 7, ... എന്നിങ്ങനെ രണ്ടു ഡിഗ്രി വീതം ഇടവിട്ടാണോ പട്ടികയ്ക്ക് ആധാരമായ ഡിഗ്രികള്‍ കൈക്കൊള്ളേണ്ടത് എന്ന് നിശ്ചയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നു സാരം. അടുത്ത പ്രശ്നം, എത്ര ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായാണ് പട്ടികാവിലകള്‍ പട്ടികയില്‍ ചേര്‍ക്കേണ്ടത് എന്നതാണ്. ഒരു പട്ടികയുടെ നേട്ടവും കോട്ടവും കണക്കാ ക്കുന്നതും ഈ മുന്നു കാര്യങ്ങളുംകൂടി പരിഗണിച്ചുകൊണ്ടാണ്.

19-ാം ശതകത്തില്‍ ജെ.ഡബ്ള്യു.എല്‍. ഗ്ളൈഷര്‍ നാളതുവരെ നിലവില്‍വന്ന പട്ടികകളെ സംബന്ധിച്ച സര്‍വേ നടത്തുകയുണ്ടായി. ശാസ്ത്രപുരോഗതിക്ക് വേണ്ടിയുള്ള ബ്രിട്ടീഷ് അസോസിയേഷന്‍ എന്ന സംഘടനയുടെ ഗണിതപ്പട്ടികാ കമ്മറ്റിക്കുവേണ്ടിയാണ് ഗ്ളൈഷര്‍ നടത്തിയ സര്‍വേ. തുടര്‍ന്ന് അഗസ്റ്റസ് ഡി. മോര്‍ഗന്‍, ജെ.ബി.ജെ. ദ് ലാംബെര്‍, ചാള്‍സ്ഹട്ടന്‍ തുടങ്ങി പലരും ഈ രംഗത്ത് പ്രവര്‍ത്തിക്കുകയുണ്ടായി. യു.എസ്സില്‍ ദേശീയ ഗവേഷണ കൌണ്‍സില്‍ അതിന്റെ കീഴില്‍ പ്രവര്‍ത്തിച്ചിരുന്ന ഒരു സമിതി (Committee on Mathematical Tables and other aids to Computation) രൂപംനല്കിയ ത്രൈമാസികം ആരംഭിച്ചു. 'ഗണിതപ്പട്ടികകളും കണക്കുകൂട്ടലിനുള്ള മറ്റു സഹായികളും'. എന്നായിരുന്നു ഈ ജേണലിന് പേര്. ജേണലിന്റെ ആദ്യത്തെ മാനേജിങ് എഡിറ്റര്‍ ആയി ആര്‍.സി. ആര്‍ച്ചിബാള്‍ഡ് പ്രവര്‍ത്തിച്ചു. 1946-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകൃതമായ 450 പേജുകളുള്ള ആന്‍ ഇന്‍ഡക്സ് ടു മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ടേബിള്‍സ് (An Index to Mathematical Tables) എന്ന കൃതി പട്ടികകളെ സംബന്ധിച്ച ഒരു ആധികാരിക രേഖയാണ്. എ. ഫ്ളെച്ചര്‍, ജെ.സി.പി. മില്ലര്‍, എല്‍. റോസന്‍ഹെഡ് എന്നിവരാണ് പ്രസ്തുത കൃതിയുടെ പിന്നില്‍ പ്രവര്‍ത്തിച്ചവര്‍. പ്രസ്തുത കൃതിയില്‍ ഗണിതസംബന്ധമായ എല്ലാ പട്ടികകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചിട്ടുണ്ട്.

പട്ടികകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്ന പരിശ്രമങ്ങള്‍ നടക്കവേതന്നെ e, π തുടങ്ങിയ ഗണിതസ്ഥിരാങ്കങ്ങള്‍ എത്രയും കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള പരിശ്രമങ്ങളും നടന്നിരുന്നു. ഈ രംഗത്ത് വ്യക്തികളുടെ കൂട്ടത്തില്‍ അത്യന്തം ശ്രദ്ധേയനാണ് വില്യം ഷാങ്ക്സ് (1812-82). 1873-ല്‍ ഷാങ്ക്സ് π യുടെ വില 707 ദശാംശസ്ഥാനം വരെ നിര്‍ണയിച്ചു. എന്ന മിച്ചിന്‍ വാക്യത്തെ ആധാരമാക്കിയായിരുന്നു ഷാങ്ക്സിന്റെ ക്രിയകള്‍. എച്ച്. ലെഹ്മര്‍ 1926-ല്‍ e യുടെ വില 707 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്ക് നിര്‍ണയിക്കുകയുണ്ടായി. തുടര്‍ഭിന്നത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ലെഹ്മര്‍ e നിര്‍ണയിച്ചത്. ഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വില നിര്‍ണയിക്കുന്ന രംഗത്തെ മറ്റു ചില വിദഗ്ധരാണ് ജെ.സി. ആഡംസ്, ജെ.എം. ബൂര്‍മാന്‍, ഡബ്ള്യു. റൂതര്‍ഫോര്‍ഡ്, സി. ഇവാന്‍ ഓസ്ഗ്രാന്റ്, ജി. വേഗ, ഇസഡ്.ഡേസ് തുടങ്ങിയവര്‍. ഫ്രഞ്ചു ഗണിതജ്ഞരായ ഴാങ് ഗില്ലൂദും, മ്ല്ലെ മാര്‍ട്ടിന്‍ ബൂയറും കൂടി π യുടെ വില 10 ലക്ഷം ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി 1973-ല്‍ സി.ഡി.സി. 7600 കംപ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ നിര്‍ണയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

കംപ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സിലെയും വിവരസാങ്കേതികവിദ്യയിലും വികാസപരിണാമങ്ങള്‍ നൂതന ഗണിതശാഖകള്‍ക്ക് വഴിയൊരുക്കിയിട്ടുണ്ട്. വളരെക്കുറച്ച് സമയംകൊണ്ട് കുറഞ്ഞ ചെലവില്‍ കൃത്യതയോടെ അതീവ സങ്കീര്‍ണങ്ങളായ ഗണിതക്രിയകള്‍ ചെയ്യാനുള്ള പ്രാപ്തി കൈവരിക്കാനായി. സിമുലേഷന്‍, മോഡലിങ്, വിസ്ലേഷണം എന്നിവയിലെ മുന്നേറ്റം, ശാസ്ത്രീയഗണനം, സംഖ്യാത്മക മോഡലിങ്, അല്‍ഗോരിഥമിക പഠനം, ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിതം, തിയറം പ്രൂവിങ് തുടങ്ങി വ്യത്യസ്ത മേഖലകള്‍ക്ക് ജന്മം നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. ഗണിതക്രിയകള്‍ക്ക് സഹായകമായ സോഫ്റ്റ്വെയര്‍ ലഭ്യമായതോടെ N-മാന (N-dimensional) ഗണിതത്തിലെ പല പ്രക്രിയകളും കംപ്യൂട്ടറുകളിലൂടെ സിമുലേറ്റ് ചെയ്ത് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാനും അവയുടെ സവിശേഷതകള്‍ വിലയിരുത്തുവാനും കഴിഞ്ഞു. ഇന്റര്‍നെറ്റിലെ സേര്‍ച്ച് സ്വീകരിക്കുന്ന റൂട്ട് അനുകൂലതമ (Root optimization) ഗണിതരീതികളില്‍ അധിഷ്ഠിതമായ പ്രക്രിയയാണ്. നോ. അക്കങ്ങള്‍; അങ്കഗണിതം; അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി; ആള്‍ജിബ്ര; കലനം; ഗണസിദ്ധാന്തം; ഗണിതശാസ്ത്ര ശബ്ദാവലി; ജ്യാമിതി; ത്രികോണമിതി; മോഡേണ്‍ ആള്‍ജിബ്ര; സാംഖ്യികം

(പ്രൊഫ. പി. രാമചന്ദ്രമേനോന്‍., സ.പ.)