This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ഗണിതശാസ്ത്രം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
(→അഭിഗൃഹീതാത്മകത) |
(→ജനിതകത (Geneticism)) |
||
| വരി 122: | വരി 122: | ||
===ജനിതകത (Geneticism)=== | ===ജനിതകത (Geneticism)=== | ||
| - | ഈ സമ്പ്രദായം അനുവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിത വസ്തുതകള്‍, ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകക്രമം പാലിക്കുംവിധമുള്ളവയാണ്. പ്രത്യേകക്രമപ്രകാരം ഭവിച്ച ഗണിതവസ്തുക്കളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പ്രമേയങ്ങള്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ കാതലാണ്. നിഗമനരീതിയാണ് ഇതിന്റെയും അടിസ്ഥാനം. നിഗമനരീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സുവ്യക്തഫലത്തില്‍നിന്ന് അടുത്തതിലേക്കും അതില്‍നിന്ന് അതിനടുത്തതിലേക്കും പോകുന്നു. ഉദാ. നിസര്‍ഗസംഖ്യകള്‍. പൂജ്യത്തില്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 1, 1-ല്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 2, ... | + | ഈ സമ്പ്രദായം അനുവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിത വസ്തുതകള്‍, ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകക്രമം പാലിക്കുംവിധമുള്ളവയാണ്. പ്രത്യേകക്രമപ്രകാരം ഭവിച്ച ഗണിതവസ്തുക്കളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പ്രമേയങ്ങള്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ കാതലാണ്. നിഗമനരീതിയാണ് ഇതിന്റെയും അടിസ്ഥാനം. നിഗമനരീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സുവ്യക്തഫലത്തില്‍നിന്ന് അടുത്തതിലേക്കും അതില്‍നിന്ന് അതിനടുത്തതിലേക്കും പോകുന്നു. ഉദാ. നിസര്‍ഗസംഖ്യകള്‍. പൂജ്യത്തില്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 1, 1 -ല്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 2, ... ല-നിന്ന് അതിടനടുത്ത n+1 എന്ന ക്രമത്തില്‍ ഇവ ഭവിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിതത്തിന്റെ അഞ്ച് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ പിയാനോ (Peano) 1889-ല്‍ നല്കുകയുണ്ടായി. ഇവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ അങ്കഗണിതത്തെ ഫോര്‍മല്‍-അഭിഗൃഹീതാത്മക സമ്പ്രദായമായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്. |
===ഗണസിദ്ധാന്തവും ഗണനസംഖ്യയും=== | ===ഗണസിദ്ധാന്തവും ഗണനസംഖ്യയും=== | ||
06:07, 25 സെപ്റ്റംബര്‍ 2015-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഉള്ളടക്കം |
ഗണിതശാസ്ത്രം
Mathematics
പരിമാണങ്ങളുടെയും ഗണങ്ങളുടെയും മാപനം, സവിശേഷത, പരസ്പരബന്ധം എന്നിവയെ സംഖ്യകളും ചിഹ്നങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു പഠനം നടത്തുന്ന ശാസ്ത്രശാഖ. പ്രമുഖ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ഒന്നാണ് ഗണിതം. അറിവ്, പഠനം എന്നീ അര്‍ഥങ്ങളുള്ള മാത്തേമാറ്റ (Mathemata) എന്ന ഗ്രീക്ക് പദത്തില്‍നിന്നാണ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് പദത്തിന്റെ നിഷ്പത്തി. 'പരിമാണങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് അരിസ്റ്റോട്ടലും 'ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ പഠിപ്പുരയും താക്കോലും' എന്ന് റോജര്‍ ബേക്കണും 'പരോക്ഷമാപനങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം' എന്ന് ആഗസ്റ്റെ കോമ്തെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ വിശേഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ആമുഖം
സംഖ്യകളും പ്രതീകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് പ്രപഞ്ചവസ്തുക്കളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും വിശദമാക്കുന്ന ഈ ശാസ്ത്രശാഖ ജീവിതത്തിന്റെ എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. കടയില്‍നിന്നു സാധനം വാങ്ങുമ്പോഴും വാച്ചുനോക്കി സമയം അറിയുമ്പോഴും കുടുംബ ബജറ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോഴും നടന്നു തളര്‍ന്ന ദൂരം പറയുമ്പോഴും എന്നുവേണ്ട കളികളില്‍ വ്യാപരിക്കുമ്പോള്‍പ്പോലും നാം അറിയാതെ ഗണിതം പ്രയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. ശാസ്ത്രസന്ദര്‍ഭങ്ങളെ കൃത്യമായി വിവരിക്കുമ്പോഴും നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ നടത്തുമ്പോഴും പരീക്ഷണനിരീക്ഷണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിക്കുമ്പോഴും ശാസ്ത്രകാരന്‍ ഗണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഗണിതാധിഷ്ഠിതമാണ്. 17-ാം നൂറ്റാണ്ട് ആയപ്പോഴേക്ക് മിക്കവാറും എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളും ഗണിതപരമായി പ്രകാശിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയും എന്ന നിലവന്നു. 17-ാം ശതകത്തിലെ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഖമുദ്രയായി ശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാര്‍ എടുത്തുകാട്ടുന്നതും ഗണിതപരമായ പ്രകാശനക്ഷമതയത്രെ. ധനതത്വശാസ്ത്രം, സോഷ്യോളജി, മനശ്ശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ സാമൂഹ്യശാസ്ത്രശാഖകളിലും ഗണിതത്തിന് അദ്വിതീയമായ സ്ഥാനമുണ്ട്. എന്‍ജിനീയറിങ്ങിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ് ഗണിതം. ആരോഗ്യശാസ്ത്രത്തിലും ജീവശാസ്ത്രത്തിലും പരിസ്ഥിതി വിജ്ഞാനത്തിലും ഇന്നു ഗണിതം അപ്രധാനമല്ലാത്ത പങ്കുവഹിക്കുന്നുണ്ട്. വ്യവസായരംഗത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രം ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്. രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ് (Linear Programming) പോലുള്ള പ്രക്രിയകളുടെ സഹായത്തോടെ അനുകൂലതമന സങ്കേതങ്ങള്‍ (optimization techniques) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടല്ലാതെ വ്യവസായരംഗത്തു പിടിച്ചുനില്ക്കാന്‍ ആവാതായിട്ടുണ്ട്. ക്രയവിക്രയത്തിലും ഇന്‍ഷ്വറന്‍സിലും ബാങ്കിടപാടുകളിലും അക്കൗണ്ടന്‍സിയിലും കയറ്റുമതി-ഇറക്കുമതി രംഗങ്ങളിലും എന്നുവേണ്ട ജീവിതത്തിന്റെ നാനാമുഖങ്ങളായ പ്രവര്‍ത്തനമേഖലകളിലെല്ലാം ഗണിതത്തിന്റെ വ്യക്തമായ സ്വാധീനം കാണാം.
ഭൗതികശാസ്ത്രങ്ങളിലെന്നപോലെ ഈ പ്രപഞ്ചത്തിലെ വസ്തുക്കളെയും പ്രതിഭാസങ്ങളെയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെയും കുറിച്ചല്ല ഗണിതത്തിന്റെ പരിചിന്തനം. എന്നാല്‍ ഇതെല്ലാം കൃത്യമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാനും വിശദീകരിക്കാനും മനസ്സിലാക്കണമെങ്കില്‍പ്പോലും ഗണിതസഹായം അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. ഗണിതം ഒരു ശുദ്ധശാസ്ത്ര(pure science)മാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് തനതായ സങ്കേതങ്ങളും, സമ്പ്രദായങ്ങളുമുണ്ട്. ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളുടെയും സങ്കേതങ്ങളുടെയും രീതികളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഗണിതം വസ്തുക്കളെയും ബന്ധങ്ങളെയും പരിഗണിക്കുന്നത്. ശാസ്ത്രീയാശയങ്ങള്‍ പറഞ്ഞറിയിക്കാനും ശാസ്ത്രകാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തവും നിയതവുമായി പ്രതിപാദിക്കാനും ഗണിതത്തിന്റെ സഹായം കൂടാതെ കഴിയുകയില്ല. അതിനാല്‍ ഗണിതത്തിലൂടെയാണ് ശാസ്ത്രപ്രകാശനം എന്നു പറയാറുണ്ട്. ശാസ്ത്രവസ്തുതകള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുകയും വിശദീകരിക്കുകയും ശാസ്ത്രത്തിലെ സങ്കല്പനങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രയോഗക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുക മാത്രമല്ല ഗണിതം ചെയ്യുന്നത്. പലപ്പോഴും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അവിഛിന്നഭാഗമായി നിന്നുകൊണ്ട് ശാസ്ത്രസൃഷ്ടിക്കും ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രത്യക്ഷീകരണത്തിനും കാരണമായും ഗണിതം വര്‍ത്തിക്കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെയെല്ലാം ആയിരിക്കവേതന്നെ ശാസ്ത്രബാഹ്യമായി തനതായ നിലനില്പ് ഗണിതത്തിനുണ്ട്. ശാസ്ത്രങ്ങളില്‍ അലിഞ്ഞുചേര്‍ന്നുകൊണ്ട്, സ്വന്തമായ അസ്തിത്വം അവ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ടുപോലും, ഗണിതം ഇതര ശാസ്ത്രങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുകയും വിപുലമാക്കുകയും വളര്‍ത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
മനുഷ്യമനസ്സിന്റെ ഉദാത്തമായ സിദ്ധികളെ എടുത്തുകാട്ടുന്ന ശുദ്ധചിന്തയുടെ പാറ്റേണുകളുടെയും രൂപങ്ങളുടെയും സര്‍ഗാത്മക സൃഷ്ടിയാണ് ഗണിതം. അതിനാല്‍ ഗണിതം കലയാണ്. മനുഷ്യന്റെ ശീലവര്‍ത്തനങ്ങളെ സമ്പൂര്‍ണമായി അഭിവ്യഞ്ജിപ്പിക്കുകയും വിശദീകരിക്കുകയും മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് പകര്‍ന്നുകൊടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം മാനവികം ആണ്. വ്യക്തവും അശിഥിലവും നിയമബദ്ധവും താര്‍ക്കികവുമായ ഘടന ഗണിതത്തിനുണ്ട്. സര്‍വഗുണസംയുക്തമായ ഉദ്ദേശ്യങ്ങള്‍ സംഭാവന ചെയ്തുകൊണ്ട് ഇതരശാസ്ത്രശാഖകളെ ഗണിതം സമ്പൂര്‍ണമാക്കിത്തീര്‍ക്കുന്നു. ഭൗതികവും ജൈവികവും സാമൂഹികവുമായ മണ്ഡലങ്ങളിലെ ഗവേഷണത്തിന് ഗണിതം പ്രേരണയും താങ്ങും നല്കുന്നു.
അറിവിന്റെ ഉടല്‍, പ്രായോഗിക ഉപകരണം, തത്വചിന്തയുടെ മൂലാധാരം, താര്‍ക്കിക സമ്പ്രദായത്തിന്റെ പരിപൂര്‍ണത, പ്രകൃതിയിലേക്കുള്ള താക്കോല്‍, പ്രകൃതിയുടെ വാസ്തവികത, ബുദ്ധിപരമായ കേളി, രസനിഷ്യന്ദിയായ അനുഭൂതി, യുക്തിപരമായ വിക്രമം എന്നിങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ പലതരത്തില്‍ വിശേഷിപ്പിച്ചുവരുന്നു. വിശേഷണങ്ങളെല്ലാം തികച്ചും അര്‍ഥവത്താണ്. ഭൗതികവും മാനസികവും വൈകാരികവും ആയ അനുഭവങ്ങളുടെ പ്രകടരൂപമായ പ്രപഞ്ചത്തോടുള്ള ഒരു സമീപനരീതിയാണ് ഗണിതം എന്നും പറയാവുന്നതാണ്. പ്രപഞ്ചത്തെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങളില്‍ നിന്ന് യഥാര്‍ഥചിന്ത ഊറ്റിയെടുത്ത അത്യന്തം വിശുദ്ധമായ സത്താണ് ഗണിതശാസ്ത്രം എന്ന് ചിലര്‍ ഗണിതത്തെ വാഴ്ത്താറുണ്ട്. ഭൗതികലോകത്ത് അനുഭവപ്പെടുന്ന ക്രമരാഹിത്യങ്ങള്‍ക്ക് ക്രമം നല്കാനും പ്രപഞ്ചത്തിനു സൗന്ദര്യം പകരാനും ആരോഗ്യസമ്പന്നമായ മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ നൈസര്‍ഗിക വാസനകള്‍ പ്രയോഗക്ഷമമാക്കാനും വേണ്ടി മനുഷ്യന്‍ നടത്തുന്ന പരിശ്രമങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം താങ്ങും തണലുമായി ഗണിതശാസ്ത്രം വര്‍ത്തിക്കുന്നു.
ശാഖകള്‍
ഗണിതത്തെ പലരീതിയില്‍ വിഭാഗങ്ങളാക്കാം. ഇവയില്‍ പ്രാഥമികമായത് ശുദ്ധഗണിതം എന്നും പ്രയുക്തഗണിതം (applied mathematics) എന്നുമുള്ള തരംതിരിക്കലാണ്. പ്രായോഗികത എന്ന പ്രശ്നം ശുദ്ധഗണിതം എന്ന ശാഖ ചിന്തിക്കുന്നതേയില്ല. അതിന്റെ ഗണിതവിശുദ്ധിയും ഗണിതപരമായ സുഘടനയും ഗണിതപരമായ വൈരുദ്ധ്യങ്ങളില്ലായ്മയും സ്വന്തം കാലില്‍ നില്ക്കാനുള്ള കഴിവും അതിന്റെ സ്നിഗ്ധതയും ചാരുതയും ആണ് ആരെയും അതിലേക്ക് ആകര്‍ഷിക്കുന്നത്. പ്രയുക്തഗണിതം അങ്ങനെയല്ല. പ്രയോഗക്ഷമവും ഭൗതികസാഹചര്യങ്ങളില്‍ നിന്നു രൂപംകൊണ്ടതുമായ ഗണിതമാണ് പ്രയുക്തഗണിതം എന്നുപറയാം. ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതികളില്‍ പ്രയോഗിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ഒന്നാണിത്. ഇങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കുന്നതോടെ ഭൗതിക പരിതഃസ്ഥിതി ആവഹിക്കുന്ന തെളിമയും സ്വച്ഛതയും അദ്ഭുതാവഹമാണ്. ശുദ്ധഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയ്ക്ക് പല ശാസ്ത്രശാഖകളിലും പ്രായോഗികത ഉണ്ടായെന്നുവരാം. ഒരു ശുദ്ധഗണിതശാഖയെ ഒരേ ഭൗതികഘട്ടത്തില്‍ മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാവു എന്നില്ല എന്നു സാരം. ജ്യാമിതി എന്ന ശുദ്ധ ഗണിതശാഖ ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. അളക്കല്‍, സര്‍വേ, യന്ത്രനിര്‍മിതി, കെട്ടിടനിര്‍മാണം തുടങ്ങി വിവിധ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ ജ്യാമിതി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നു; ചിത്രകല തുടങ്ങി പല ശാസ്ത്രേതര രംഗങ്ങളിലും ഗണിതത്തിന്റെ ശാഖോപശാഖകളിലൂടെയുള്ള പര്യടനമാണ് തുടര്‍ന്നുവരുന്നത്.
അങ്കഗണിതം
സംഖ്യകളുടെ ശാസ്ത്രമാണ് അങ്കഗണിതം. സംഖ്യകളെയും അവയുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെയും അവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരികലനങ്ങളെയും കണക്കുകൂട്ടലുകളെയും അങ്കഗണിതം വിവരിക്കുന്നു. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ ചതുഷ്ക്രിയകളാണ് അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ആധാരശിലകള്‍. ഇവയോടൊപ്പം ഘാതനിര്‍ണയവും മൂല്യനിര്‍ണയവും ഉള്‍പ്പെടുന്നു. എന്നാല്‍ വ്യവകലനത്തെ സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും ഹരണത്തെ ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും മൂല്യനിര്‍ണയത്തെ ഘാതനിര്‍ണയത്തിന്റെ വിപരീത സംക്രിയയായും കണക്കാക്കിയാല്‍ മതിയാകും. ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ ഇത്രയേറെ പ്രാധാന്യമുള്ള മറ്റൊന്നില്ലതന്നെ. അക്ഷരം അഭ്യസിക്കുന്നതോടൊപ്പം അങ്കഗണിതപഠനവും ആരംഭിക്കുന്നു. സങ്കലനപ്പട്ടികയും ഗുണനപ്പട്ടികയും ഹൃദിസ്ഥമാക്കുക പ്രാഥമിക വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം വളരെ പ്രധാനം തന്നെ.
ബീജഗണിതം. അങ്കഗണിതത്തില്‍ നിയതവിലയോടുകൂടിയ സംഖ്യകളെയാണ് പരിഗണിക്കുക. ഇവയുടെ സ്ഥാനത്ത് അനിശ്ചിത വിലകളുള്ള അജ്ഞാതരാശികളെ പ്രതിഷ്ഠിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ശാഖയാണ് ബീജഗണിതം. ഈ അജ്ഞാതരാശികളുടെ വിലനിര്‍ണയിക്കലാണ് ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുഖ്യലക്ഷ്യങ്ങളിലൊന്ന്. ഇതിനായി സമവാക്യങ്ങള്‍ക്കു രൂപം കൊടുക്കലും അവയുടെ നിര്‍ധാരണമൂല്യം തേടലും ആവശ്യമാണ്. കാലാനുസൃതമായ മാറ്റങ്ങള്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തില്‍ കടന്നുകൂടി. ഇന്ന് ബീജഗണിതം അമൂര്‍ത്തഘടനകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്. അമൂര്‍ത്തഘടനകള്‍ മൂര്‍ത്ത സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ കടന്ന് അവയ്ക്ക് മുമ്പെങ്ങുമില്ലാത്ത തെളിമയും വ്യക്തതയും നല്കുന്നു.
ജ്യാമിതി
ഭൗതികജ്ഞന്മാര്‍ക്കും സര്‍വേയര്‍മാര്‍ക്കും ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്കും നാവികര്‍ക്കും വാസ്തുശില്പികള്‍ക്കും എന്‍ജിനീയര്‍മാര്‍ക്കും എന്നുവേണ്ട എല്ലാ മണ്ഡലങ്ങളിലും പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ക്കും അങ്കഗണിതംപോലെ തന്നെ ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണ് ജ്യാമിതി. ആകൃതിയെയും വലുപ്പത്തെയുംകുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് ജ്യാമിതി. തലത്തിലും ഇടത്തിലും (space) ഉള്ള രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധങ്ങളും അവയുടെ ആന്തരിക ബന്ധങ്ങളും പരിചിന്തിക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണിത്. യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള യൂക്ലിഡിയാ ജ്യാമിതിയും യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതത്തെ പിന്തള്ളുന്ന അയൂക്ലിഡിയാ ജ്യാമിതിയും പ്രപഞ്ചത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കാന്‍ ഒന്നുപോലെ സഹായിച്ചിട്ടുണ്ട്.
വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി
ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വഭാവവിശേഷതകളും സമ്പ്രദായങ്ങളും ജ്യാമിതിയിലേക്കു പകര്‍ന്നതിന്റെ ഫലമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതി അഥവാ നിര്‍ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി. കാര്‍ത്തീയജ്യാമിതി (cartitian geometry) എന്നും ഇതറിയപ്പെടുന്നു. ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു പ്രതിനിധീകരിക്കലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അപഗ്രഥിച്ച് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കലുമാണ് വിസ്ലേഷക ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വഭാവം. ദ്വിമാനതലത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമജോടികളെയും ത്രിമാന ഇടത്തില്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമത്രയങ്ങളെയും ആധാരമാക്കിയാണ് സമവാക്യങ്ങള്‍. ഇത്തരം സംഖ്യകള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ വ്യക്തമാക്കുന്ന ക്രമജോടി സംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ, അഥവാ ക്രമത്രയസംഖ്യകള്‍ അടങ്ങിയ ബന്ധവാക്യങ്ങളാണ് വിസ്ലേഷകജ്യാമിതിയിലെ സമവാക്യങ്ങള്‍.
ത്രികോണമിതി
ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഭുജങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഇവ തമ്മില്‍ത്തമ്മിലുമുള്ള ബന്ധം വിശദമാക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഫലനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയുള്ള ഗണിതപരിഗണനകളാണ് ത്രികോണമിതിയില്‍ ഉള്ളത്. ഗോളോപരിതലത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ഗോളീയത്രികോണമിതി.
കലനം
മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഗണിതരാശികളാണ് കലനം (Calculus) എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ ചിന്താവിഷയം. അവയുടെ മാറ്റനിരക്കിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഭൗതിക വിശദീകരണങ്ങള്‍ നല്കാന്‍ എല്ലാ ശാസ്ത്രശാഖകളെയും ശാസ്ത്രേതര ശാഖകളെപ്പോലും കലനം സഹായിക്കുന്നു. മാറ്റനിരക്കു നിര്‍ണയിക്കാനുള്ള അവകലനവും (differentiation) മാറ്റനിരക്ക് അറിഞ്ഞിരുന്നാല്‍ മാറ്റത്തിനു വിധേയമാകുന്ന രാശികളെ നിര്‍ണയിക്കുന്ന സമാകലനവും (integration) ആണ് കലനത്തിലെ രണ്ടു മുഖ്യവിഷയങ്ങള്‍.
അവകലങ്ങളോ (differential) അവകലജങ്ങളോ (derivative) അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതു അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ (differential equations). സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍, ആംശിക (partial) അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്നിങ്ങനെ ഇവ രണ്ടിനമുണ്ട്. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങളില്‍ ഒരേ ഒരു സ്വതന്ത്ര ചരമേ ഉണ്ടായിരിക്കു. ഒന്നിലധികം സ്വതന്ത്രചരങ്ങളും അവയെയെല്ലാമോ അവയില്‍ ചിലതിനെ മാത്രമോ ആസ്പദമാക്കി അസ്വതന്ത്രചരത്തിനുള്ള അവകലജങ്ങളും പരിഗണിക്കുമ്പോഴാണ് ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങള്‍ ആവശ്യമായി വരിക.
അജ്ഞാതഫലനം സമാകലനത്തിനു വിധേയമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന വേളകളില്‍ ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചതാണ് സമാകലസമവാക്യങ്ങള്‍ (integral equations).
ഗണിതവിസ്ലേഷണം.
സങ്കീര്‍ണമായ ഒരു വസ്തുവിനെ ഘടകങ്ങളാക്കി വേര്‍പെടുത്തല്‍ ആണ് വിസ്ലേഷണം. ഒരു പ്രസ്താവനയെ, നേരത്തേതന്നെ തെളിയിച്ചു കഴിഞ്ഞതോ തെളിവുകൂടാതെ അംഗീകരിക്കാവുന്നതോ ആയ, ലളിതമായ ഏതാനും പ്രസ്താവനകളായി വേര്‍തിരിക്കുകയും, അങ്ങനെ ആ പ്രസ്താവനയെ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമ്പ്രദായത്തെയാണ് ഗ്രീക്കുകാര്‍ ഗണിതവിസ്ലേഷണം എന്നു വിളിച്ചത്. നവോത്ഥാനകാലത്ത് ഈ പദത്തിന്റെ അര്‍ഥം കുറച്ചുകൂടി വിപുലമായിത്തീര്‍ന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായംതേടിക്കൊണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളെ നിര്‍ധരിക്കുന്ന ഗണിതസമ്പ്രദായം ആണ് ഗണിതവിസ്ലേഷണം എന്നു വന്നുകൂടി. ഇന്നാകട്ടെ, ഗണിതശാഖകളുടെയെല്ലാം സര്‍വാസ്ലേഷിയായ ഒന്നായി ഗണിതവിസ്ലേഷണം വികാസം പ്രാപിച്ചിരിക്കുന്നു. കലനം, വാസ്തവിക സമ്മിശ്രചരങ്ങള്‍, വിശിഷ്ടഫലനങ്ങള്‍ (special functions), അനന്തശ്രേണി (infinite series) തുടങ്ങിയവയെല്ലാം ഇന്നു ഗണിതവിസ്ലേഷണത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.
അവകല ജ്യാമിതി
കലനം എന്ന ഗണിതശാഖയെ അവലംബിച്ച് വക്രങ്ങളെയും പ്രതലങ്ങളെയും കുറിച്ചു പഠിക്കുകയാണ് അവകലജ്യാമിതി (Differential geometry)യില്‍ ചെയ്യുന്നത്.
ഇതരഘടകങ്ങള്‍
സമ്മിശ്രസംഖ്യ
സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകളാണ് സമ്മിശ്രചര വിസ്ലേഷണത്തിന്റെ പ്രതിപാദ്യം. √-1 എന്ന പ്രതീകംകൊണ്ടു കുറിച്ചുവരുന്നഎന്ന അധികല്പിത സംഖ്യ ചേര്‍ന്നുള്ള, a + ib പോലെയുള്ള വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമജോടി (a, b) ആണ് സമ്മിശ്രസംഖ്യ (complex number) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.
ഗണങ്ങള്‍
വ്യക്തമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ട വസ്തുക്കളുടെയോ ആശയങ്ങളുടെയോ ശേഖരമാണ് ഗണം. ഒരു വസ്തു (ആശയം) ഒരു ഗണത്തിലുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യത്തിന് 'ഉണ്ട്', 'ഇല്ല' എന്നീ ഉത്തരങ്ങളില്‍ ഒന്നുമാത്രമേ ലഭിക്കാവു എന്നതാണ് 'വ്യക്തമായി നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ട' എന്ന വിശേഷണം കൊണ്ട് അര്‍ഥമാക്കുന്നത്. ഗണങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഗണസിദ്ധാന്തം എല്ലാ ആധുനിക ഗണിതശാഖകളുടെയും അടിത്തറയാണ്. ഗണിതത്തെ പൂര്‍ണമായും വ്യക്തമായും വിശദമാക്കാനുള്ള ഒന്നായിത്തീര്‍ന്നിരിക്കുന്നു ഗണസിദ്ധാന്തം. ഗണിതത്തെപ്പറ്റി സാകല്യമായി കുറേക്കൂടി സുവ്യക്തമായ അറിവു ലഭിക്കാന്‍ ഗണസിദ്ധാന്തം സഹായിക്കുന്നു.
ഗണിതീയതര്‍ക്കം
സാധുതയുള്ള യുക്തിചിന്തയുടെ തത്ത്വങ്ങളെ സ്ഥാപിക്കുകയും പരിശോധിക്കുകയും വ്യക്തവും നിയതവുമായി പ്രതിപാദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു തര്‍ക്കം. പ്രതീകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള തര്‍ക്കം (logic), ഗണിതീയതര്‍ക്കം (mathematical logic) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഗണിതത്തിലെ പ്രതീകങ്ങളും സംക്രിയകളും തര്‍ക്കത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ധാരണത്തിനു പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സമ്പ്രദായമാണ് പ്രതീകാത്മക തര്‍ക്കം (symbolic logic). ഇതില്‍ സംജ്ഞകളെയും പ്രസ്താവനകളെയും ബന്ധങ്ങളെയും കുറിക്കാന്‍ പ്രതീകങ്ങള്‍ ആണ് ഉപയോഗിക്കുക.
സദിശ വിസ്ലേഷണം
നിശ്ചിത ദിശകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിതരാശികളായ സദിശങ്ങളുടെ (Vectors) വ്യവഹാരമാണ് സദിശവിസ്ലേഷണം (vector analysis).
ടെന്‍സര്‍
പരിഗണനാവിധേയമായ ഓരോ നിര്‍ദേശാങ്കപദ്ധതിയിലും (co-ordinate system) പ്രത്യേകതരം രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ക്കു വിധേയമായതും സുനിശ്ചിതമായി വ്യവഹരിക്കാവുന്നതുമായ ഒരു പറ്റം ഘടകങ്ങളോടുകൂടിയ അമൂര്‍ത്തവസ്തുവാണ് ടെന്‍സര്‍ (tensor). ഒരു നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതിയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള പരിചിന്തനയില്‍നിന്നു വിട്ടുമാറി മറ്റു നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതികളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള പരിചിന്തന കൈക്കൊള്ളേണ്ടി വരുമ്പോള്‍, നിര്‍ദേശാങ്ക പദ്ധതിയുടെ മാറ്റംമൂലം സഹചാരി (covarient) ആയ ഗുണധര്‍മങ്ങളോടു കൂടിയ രാശികളെയാണ് ടെന്‍സര്‍ വിസ്ലേഷണം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍ പ്രപഞ്ചത്തെ വ്യാഖ്യാനിച്ചത് ടെന്‍സറിന്റെ സഹായത്തോടെയാണ്.
സംഖ്യാത്മക വിസ്ലേഷണം
കൃത്യമായ നിര്‍ധാരണം അസാധ്യമാകുംവിധം സങ്കീര്‍ണമായ പല സമവാക്യങ്ങളും ആധുനികശാസ്ത്രത്തിലും സാങ്കേതിക വിദ്യകളിലും കടന്നുകൂടാറുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഇവയുടെ ഏകദേശ നിര്‍ധാരണം കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയും. ഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഏകദേശനിര്‍ധാരണം (Approximate solution) സാധിക്കാനുള്ള സങ്കേതങ്ങളും സമ്പ്രദായങ്ങളും വിവരിക്കുന്ന ശാഖയാണ് സംഖ്യാത്മക വിസ്ലേഷണം (Numerical analysis).
ടോപോളജി
ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെ ഏതെങ്കിലും ഏകൈക തുടര്‍രൂപാന്തരണത്തിനു (one to one continuous transformation)) വിധേയമാക്കുമ്പോള്‍ മാറ്റം സംഭവിക്കാത്ത ഗുണധര്‍മങ്ങളെ ടോപോളജി (Topology) പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു വസ്തു പൊട്ടാതെയോ വിഘടിക്കാതെയോ തുടര്‍ച്ചയായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍-വലിച്ചുനീട്ടലും വളയ്ക്കലും മറ്റും ഉദാഹരണങ്ങള്‍-മാറ്റം സംഭവിക്കാത്ത ജ്യാമിതീയ ഘടകങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ടോപോളജി.
സാംഖ്യികം
സ്ഥിതിവിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണം, ക്രമീകരണം, അപഗ്രഥനം എന്നിവയെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുകയും ഇത്തരം പ്രതിപാദനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വിശ്വാസ്യവും യുക്തിസഹവുമായ നിഗമനങ്ങളില്‍ എത്തിച്ചേരുകയും, ഈ നിഗമനങ്ങളുടെ വിശ്വാസ്യതയെ സംഭാവ്യതാരൂപത്തില്‍ അളന്നു തിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് സാംഖ്യികം (Statistics). മുന്‍കാലങ്ങളില്‍ സാംഖ്യികത്തെ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയായാണ് കണക്കാക്കിയിരുന്നത്. എന്നാല്‍ ഇന്ന് അത് വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ഒരു സ്വതന്ത്രശാഖയായി വളര്‍ന്നു വികാസംപ്രാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
സംക്രിയാഗവേഷണം
ഘടനാപരമായ സംക്രിയകള്‍ അടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങളില്‍, തീരുമാനം കൈക്കൊള്ളലിനെ സഹായിക്കുന്ന ശാസ്ത്രീയ സമീപനരീതിയാണ് സംക്രിയാഗവേഷണം (Operations Research). അനുകൂലതമ നിര്‍ധാരണങ്ങള്‍(optimal solutions)കൊണ്ട് നിയന്ത്രിക്കുവാന്‍ സാധിക്കുമാറുള്ള സംക്രിയകളിലൂടെ പദ്ധതികളെ എങ്ങനെ കാര്യക്ഷമമായി സംഘടിപ്പിക്കാം എന്ന ലക്ഷ്യത്തോടെ, ശാസ്ത്രീയ മാര്‍ഗങ്ങളും സങ്കേതങ്ങളും രീതികളും ഉപയോഗിച്ച്, പദ്ധതികളെ വിശകലനം ചെയ്യുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് സംക്രിയാഗവേഷണം. നിത്യജീവിതത്തില്‍ തീരുമാനമെടുക്കേണ്ടിവരുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലെല്ലാം ഇതു പ്രയോഗക്ഷമമാണ്. സര്‍ക്കാര്‍ സ്ഥാപനങ്ങള്‍, വ്യാപാര വ്യവസായ മണ്ഡലങ്ങള്‍, എന്‍ജിനീയറിങ്, ധനതത്ത്വശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയവയില്‍ എല്ലാം ഇന്ന് സംക്രിയാഗവേഷണം കാര്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു.
രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ്
പരിമിതമായ വിഭവങ്ങള്‍ ഏതു രീതിയില്‍ സമര്‍ഥമായി ഉപയോഗിച്ചാലാണ് നിശ്ചിത ലക്ഷ്യത്തിന്റെ പരമാവധി നേടാന്‍ കഴിയുക എന്ന് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ തീരുമാനിക്കുകയാണ് രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിങ് ചെയ്യുന്നത്. ആള്‍, അര്‍ഥം, പദാര്‍ഥം, ഭൂമി, യന്ത്രം തുടങ്ങി വേണ്ടത്ര സുലഭമായി ലഭിക്കാത്തവയില്‍ ഒന്നോ പലതോ ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നോ അതിലധികമോ പുതിയ വസ്തുക്കള്‍ പരമാവധി ലാഭകരമായി എങ്ങനെ സംഘടിപ്പിക്കാം എന്ന് ഏതാനും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ നടത്തുന്ന അനുകൂലതമ നിര്‍ണയപ്രക്രിയ ആണിത്.
ഗ്രാഫ്
ശീര്‍ഷകങ്ങളുടെ ശൂന്യേതരഗണം (non-empty set) V (G), വക്കുകളുടെ ശൂന്യേതര ഗണം E(G) [ഇവ രണ്ടും അസംയുക്തഗണങ്ങള്‍ (disjoint set) ആകണം], ഓരോ വാക്കിനെയും ക്രമജോടി അല്ലാത്ത ഒരു ജോടി ശീര്‍ഷകങ്ങളുമായി (ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ വിഭിന്നങ്ങളാകണം എന്നില്ല) ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ആപതനഫലനം ψG(incidence relation) എന്നിവയുടെ ഒരു ക്രമത്രയം ആണ് G എന്ന ഗ്രാഫ്. G = [V(G), E(G), ψG] എന്ന് ഇക്കാര്യം കുറിക്കാം. ഉദാ. e ഒരു വക്കും u-വും v-യും ശീര്‍ഷകങ്ങളും ആകട്ടെ e യുടെ ഒരു ആപതനഫലനമാണ് uv എങ്കില്‍, u, v എന്നിവയെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വക്ക് ആണ് e; വക്കിന്റെ അറ്റങ്ങളാണ് u-യും v-യും. ഗ്രാഫുകളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തമാണ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം (Graph Theory).
അടിസ്ഥാന പ്രമാണങ്ങള്‍
അഭിഗൃഹീതാത്മകത
ഗണിതത്തിലെ വസ്തുതകള്‍ ശാസ്ത്രീയമായി വിശകലനം ചെയ്ത് കാര്യകാരണസഹിതം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വഴിക്ക് ആദ്യം ചിന്തിച്ചത് ഗ്രീക്കുകാരാണ്. ജ്യാമിതിയിലാണ് ഈ രീതി ആദ്യം പ്രയോഗിക്കപ്പെട്ടത്. ഇതിനായി സ്വയം പ്രമാണങ്ങള്‍ (Axioms), അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ (Postulates) എന്നീ രണ്ടുതരം പ്രസ്താവനകള്‍ അവര്‍ സ്വീകരിച്ചു. ഇവ തെളിയിക്കേണ്ടതില്ല. ശ്രവണമാത്രയില്‍ത്തന്നെ ശരിയെന്നു തോന്നുന്ന ഇവ ശരിയായ വസ്തുതകളായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു. സ്വയം സ്പഷ്ടമായവയാണ് ഇവ. ഏതു ഗണിതശാഖയെ സംബന്ധിച്ചും സ്വയം സ്പഷ്ടമായ പ്രമാണങ്ങളാണ് സ്വയം പ്രമാണങ്ങള്‍. തുല്യങ്ങളോടു തുല്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്താല്‍ തുല്യങ്ങള്‍ ലഭിക്കുന്നു എന്നത് ഒരു സ്വയം പ്രമാണമാണ്. ശരിതന്നെ എന്ന് അംഗീകരിക്കേണ്ട ജ്യാമിതീയ വസ്തുതകളാണ് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍. രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിലൂടെ ഒരു ഋജുരേഖയേ വരയ്ക്കാന്‍ കഴിയു എന്നത് ഒരു അഭിഗൃഹീതമാണ്. ഇവയുടെ സഹായത്തോടെയാണ് ജ്യാമിതി പുരോഗമിച്ചത്. എന്നാല്‍ പില്ക്കാലത്ത് സ്വയം പ്രമാണം, അഭിഗൃഹീതം എന്നീ വേര്‍തിരിവ് ആവശ്യമില്ലെന്ന നില സ്വീകൃതമായി. രണ്ടും അഭിഗൃഹീതം എന്നറിയപ്പെട്ടു.
ബിന്ദു, രേഖ, തലം, കോണം എന്നു തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് യൂക്ലിഡ് തന്റെ എലിമെന്റ്സ് ആരംഭിക്കുന്നത്. ഇവയെ ഇട(സ്പേസ്)വുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട് 'വീതി ഇല്ലാത്ത നീളമാണ് രേഖ' എന്നിങ്ങനെയുള്ള നിര്‍വചനങ്ങള്‍ യൂക്ളിഡ് നല്കുന്നുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഇവ നിര്‍വചനങ്ങള്‍ എന്നതിലേറെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളാല്‍ നിയന്ത്രിതമായ അര്‍ഥത്തോടുകൂടിയ ചില വസ്തുതകള്‍ മാത്രമാണ്. ഇത്തരം നിര്‍വചനങ്ങള്‍ ആശയങ്ങള്‍ വിശദമാക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന സഹജാവബോധപരമായ വിശദീകരണങ്ങള്‍ മാത്രമാണ്. അതിനാല്‍ യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി ആശ്രയിക്കുന്നത് അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ ആണ് എന്നു പറഞ്ഞുവരുന്നു. തുടര്‍ന്ന് അനിര്‍വചിതമായ ഈ പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച ചില പ്രാഥമിക പ്രസ്താനവനകള്‍ നടത്തുകയാണ് യൂക്ലിഡ്. അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ ആസ്പദമാക്കി ഭൗതിക ലോകത്തെക്കുറിച്ചു നടത്തുന്ന ഇത്തരം പ്രസ്താവനകള്‍ ശരിതന്നെ എന്ന വിശ്വാസത്തോടെ വിഷയത്തെ മുന്നോട്ടുകൊണ്ടു പോകുന്നു. ഈ അഭിഗൃഹീതങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിക്കൊണ്ട്, അവയില്‍നിന്ന് അദ്ദേഹം ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ നിഷ്പാദിപ്പിക്കുന്നു. അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ ശരിയാണ് എന്ന സങ്കല്പത്തില്‍, അവയില്‍ നിന്ന് നിഷ്പാദിപ്പിക്കപ്പെട്ടവയാണ് പ്രമേയങ്ങള്‍ എന്നു സാരം. ഇതിനിടയില്‍ ത്രികോണം, കര്‍ണം എന്നു തുടങ്ങി ഒട്ടേറെ പദങ്ങളെ നിര്‍വചിക്കാന്‍ അദ്ദേഹം ശ്രമിക്കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെ ആവിഷ്കരിക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളെ അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകള്‍കൊണ്ടാണ് വ്യവഹരിച്ചിട്ടുള്ളത്. അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളുടെ സഹായംകൊണ്ടോ സാധാരണ ഭാഷകൊണ്ടോ വിശദീകരിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചില സംജ്ഞകളെയാണ് ഇങ്ങനെ നിര്‍വചിച്ചിട്ടുള്ളത്. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടാനാകാത്ത അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍ നിന്നാരംഭിച്ച്, വിശ്വാസ്യയോഗ്യമായ യുക്തിയിലൂടെ പ്രമേയങ്ങളിലേക്ക് എത്തുന്നു. ഇതിനായി നിഗമനയുക്തി (deductive) കൈക്കൊള്ളുന്നു. ഇങ്ങനെ 456 പ്രമേയങ്ങള്‍ യൂക്ലിഡ് താര്‍ക്കിക ശൃംഖലയായി അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.
എന്നാല്‍ യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതം മറ്റ് അഭിഗൃഹീതങ്ങളെന്നപോലെ അതേപടി അംഗീകരിക്കാവുന്നതല്ല എന്ന ചിന്താഗതി പില്ക്കാലത്തുണ്ടായി. L എന്ന രേഖയില്‍ അല്ലാത്ത P എന്ന ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി L-നു സമാന്തരമായി ഒരേയൊരു രേഖയേയുള്ളു എന്നാണ് അഞ്ചാം അഭിഗൃഹീതത്തിന്റെ സാരം. മറ്റ് നാല് അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍നിന്നു നിഗമനാത്മകരീതിയില്‍ നിഷ്പാദിപ്പിക്കാവുന്ന ഒരു പ്രമേയമായി അതിനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാനും അവതരിപ്പിക്കാനും ശ്രമങ്ങളുണ്ടായി. ഈ ശ്രമത്തിനിടയില്‍ L എന്ന രേഖയിലല്ലാത്ത P എന്നൊരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി L-നു സമാന്തരമായി ഒന്നിലധികം രേഖകള്‍ വരയ്ക്കാം എന്നു വന്നുകൂടി. ഈ തത്ത്വത്തെ ആധാരമാക്കി ഹംഗറിയിലെ ബൊള്യായ് (Bolyai) 1831-ലും റഷ്യയിലെ ലൊബച്യേവ്സ്കി 1829-ലും വളര്‍ത്തിയെടുത്ത ജ്യാമിതിക്ക് അയൂക്ലിഡിയ-ജ്യാമിതി എന്നു പറയുന്നു. 1854-ല്‍ ജര്‍മനിയിലെ റീമാന്‍ മറ്റൊരു അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതിക്കു രൂപംനല്കി. യൂക്ലിഡിയ-അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതികള്‍ തമ്മില്‍ സമാന്തര-അഭിഗൃഹീതത്തിലും (Parallel-postulate) അതിനെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള പ്രമേയങ്ങളിലും ഒഴികെ സാരമായ വ്യത്യാസമൊന്നുമില്ല. തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിതമായ യുക്തിയുക്ത ഘടന എന്ന നില ഇരു ജ്യാമിതികള്‍ക്കുമുണ്ട്. രണ്ടും പ്രപഞ്ചത്തെ വിശദീകരിക്കാന്‍ കെല്പുറ്റവയാണ്. യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയുടെ തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിത ഘടന അംഗീകരിക്കുന്നവര്‍ക്ക് അയൂക്ലിഡിയ ജ്യാമിതിയുടെ തര്‍ക്കാധിഷ്ഠിത ഘടനയും അംഗീകരിക്കാതെ തരമില്ല. ഇവയുടെയെല്ലാം അടിസ്ഥാനം അതതിലുള്ള പരസ്പരവിരുദ്ധമല്ലാത്ത ഒരു പറ്റം പ്രമേയങ്ങളാണ്.
1899-ല്‍ ഡേവിഡ് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് തന്റെ ജ്യാമിതിയാശയങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അടിസ്ഥാന സങ്കല്പങ്ങളെയും പ്രസ്താവനകളെയും ഹില്‍ബര്‍ട്ട് അഭിഗൃഹീതം എന്നു വിളിച്ചു. ബിന്ദു, രേഖ തുടങ്ങി ചില പദങ്ങള്‍ അനിര്‍വചിതങ്ങളായിത്തന്നെ ഹില്‍ബര്‍ട്ടും സ്വീകരിച്ചു. ഇദ്ദേഹത്തെയാണ് ഫോര്‍മല്‍ അഭിഗൃഹീതാത്മക രീതിയുടെ പിതാവായി കണക്കാക്കുന്നത്. മോറിറ്റ് സ്പാഷിന്റെ ജ്യാമിതിയും (1882) 1899-ല്‍ പിയാനോയുടെ ജ്യാമിതിയും (1889) ഈ വഴിക്കുള്ള തിരിവുകളാണ്. പിയറി 1899-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ജ്യാമിതിയും ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഇവരും അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. ഹില്‍ബര്‍ട്ട് ആറ് പ്രാഥമികാശയങ്ങളെ അനിര്‍വചിതമായി സ്വീകരിച്ചു. അവയാണ് ബിന്ദു, രേഖ, തലം, പതനം (incidence), ഇടനില (betweenness), സര്‍വസമത. പിയറിയാകട്ടെ ബിന്ദു, ചലനം എന്ന് രണ്ട് അനിര്‍വചിത പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. ഇവരെല്ലാം അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകളെ സംബന്ധിച്ച ചില അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ബിന്ദുവിനെയും രേഖയെയും നിര്‍വചിക്കാതെയാണ് അവയെക്കുറിച്ചുള്ള അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളത്. ബീജഗണിതത്തിലെ അജ്ഞാതങ്ങളുടെ സ്ഥാനമാണ് യഥാര്‍ഥത്തില്‍ അനിര്‍വചിത സംജ്ഞകള്‍ക്കുള്ളത്. അതിനാല്‍ ഇവയ്ക്ക് സാധ്യമായ ഏത് അര്‍ഥവും നല്കാന്‍ കഴിയും. അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ നല്കുന്ന നിബന്ധനകള്‍ക്കു വിരുദ്ധമാകരുത് ഇത്തരം അര്‍ഥം ആരോപിക്കല്‍ എന്നുമാത്രം. ഉദാ. ബിന്ദു, രേഖ എന്നിവ അനിര്‍വചിതമാണെന്നും അവയെ സംബന്ധിച്ച അഭിഗൃഹീതങ്ങളാണ്:
1. ഓരോ രേഖയും ബിന്ദുക്കളുടെ ശേഖരമാണ്.
2. ഒരു രേഖയില്‍, കുറഞ്ഞപക്ഷം രണ്ടു ബിന്ദുവിന് നിലനില്പുണ്ട്.
എന്നിവ രണ്ടും എന്നു കരുതുക. ബിന്ദുവിനു പകരം ബുക്ക് എന്നും രേഖയ്ക്കു പകരം ഗ്രന്ഥശാല എന്നും എടുത്താല്‍ (ബിന്ദു=ബുക്ക്, രേഖ=ഗ്രന്ഥശാല) മുന്‍പറഞ്ഞ രണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങളും ശരിതന്നെ.
നിഗമനരീതിയോ തര്‍ക്കമോ ഉപയോഗിച്ച് ഇവയില്‍നിന്ന്, ഇത്തരം സംജ്ഞകള്‍ക്കും അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്കും സ്ഥാനമുള്ള, ഒരു പദ്ധതി രൂപപ്പെടുത്തിയെടുക്കാവുന്നതാണ്. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍, അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നതും അവയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ശരിയുമായ പ്രസ്താവനയാണ് അഭിഗൃഹീതം എന്നും, ഇത്തരം അഭിഗൃഹീതങ്ങളുടെ ശേഖരമാണ് അഭിഗൃഹീത പദ്ധതിയെന്നും വന്നുചേരുന്നു. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടാനാവാത്ത പ്രമാണമെന്ന് അഭിഗൃഹീതത്തിനു കൈവന്നിരുന്ന ക്ലാസ്സിക്കല്‍ വിവക്ഷ ഇവിടെ തകരുന്നു. രണ്ട് അഭിഗൃഹീത പദ്ധതികളില്‍ പരസ്പര വിരുദ്ധങ്ങളായ രണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിനര്‍ഥം അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്ക് ആധാരമായ അടിസ്ഥാന സങ്കല്പനങ്ങളില്‍ വൈരുധ്യം ഉണ്ട് എന്നു മാത്രമാണ്. എന്നാല്‍ ഒരേ അഭിഗൃഹീതപദ്ധതിയിലെ അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ പൊരുത്തക്കേടുണ്ടാകാന്‍ പാടില്ല.
അഭിഗൃഹീതാത്മകതയുടെ സ്വഭാവം ഇങ്ങനെ ചുരുക്കിപ്പറയാം; ഒരു സങ്കല്പനം എടുക്കുക. അതിനെ സംബന്ധിച്ച ചില അനിര്‍വചിത പദങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കുക. ഈ പദങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ക്കു രൂപംകൊടുക്കുക. ആവശ്യമുള്ളപ്പോഴെല്ലാം പുതിയ പദങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് അഭിഗൃഹീതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പ്രമേയങ്ങള്‍ നിഗമനാത്മകമായി തെളിയിക്കുക.
സംജ്ഞകളെ നിര്‍വചിക്കായ്ക ഒരു പോരായ്മയാണെന്നു തോന്നിയേക്കാം. എന്നാല്‍ അതല്ല സ്ഥിതി. അഭിഗൃഹീതത്തിനു ശരിയാംവിധം അനിര്‍വചിത പദങ്ങള്‍ക്ക് ഒന്നിലേറെ വ്യാഖ്യാനങ്ങള്‍ നല്കാന്‍ കഴിയുന്നു എന്നത് ചില സിദ്ധാന്തങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളമെങ്കിലും നേട്ടം തന്നെയാണ്. വ്യാഖ്യാനഭേദങ്ങള്‍ക്ക് അതീതമായ ഇത്തരം ഒരു സിദ്ധാന്തം വൈവിധ്യമുള്ള പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും പ്രയോഗിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന കരുത്തുറ്റ ഒരു ആയുധമാണ്. ഇത്തരം ചില സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്ക് ഒരേ ഒരര്‍ഥമേ കല്പിക്കാന്‍ കഴിയൂ. ചിലവയ്ക്ക് അര്‍ഥം കല്പിക്കാനേ കഴിയാതെ പോയെന്നു വരാം.
അഭിഗൃഹീതാത്മക രീതിയില്‍ ഉണ്മയ്ക്കല്ല പ്രാധാന്യം. ശരിയും സത്യവുമായ വസ്തുതകളെയാണ് അഭിഗൃഹീതം പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഈ അംഗീകാരത്തോടെ അഭിഗൃഹീതങ്ങളില്‍നിന്നു പ്രമേയങ്ങള്‍ സ്ഥാപിതങ്ങളാകുന്നു. ഇതിന് തര്‍ക്കയുക്തിയെയും നിയമനയുക്തിയെയും ആശ്രയിക്കുന്നു. ഫോര്‍മല്‍ അഭിഗൃഹീതാത്മക പദ്ധതിയില്‍ തര്‍ക്കത്തിനു സുപ്രധാനമായ സ്ഥാനമുണ്ട്.
ജനിതകത (Geneticism)
ഈ സമ്പ്രദായം അനുവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഗണിത വസ്തുതകള്‍, ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകക്രമം പാലിക്കുംവിധമുള്ളവയാണ്. പ്രത്യേകക്രമപ്രകാരം ഭവിച്ച ഗണിതവസ്തുക്കളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങളെ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പ്രമേയങ്ങള്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ കാതലാണ്. നിഗമനരീതിയാണ് ഇതിന്റെയും അടിസ്ഥാനം. നിഗമനരീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സുവ്യക്തഫലത്തില്‍നിന്ന് അടുത്തതിലേക്കും അതില്‍നിന്ന് അതിനടുത്തതിലേക്കും പോകുന്നു. ഉദാ. നിസര്‍ഗസംഖ്യകള്‍. പൂജ്യത്തില്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 1, 1 -ല്‍ നിന്ന് അതിനടുത്ത 2, ... ല-നിന്ന് അതിടനടുത്ത n+1 എന്ന ക്രമത്തില്‍ ഇവ ഭവിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിതത്തിന്റെ അഞ്ച് അഭിഗൃഹീതങ്ങള്‍ പിയാനോ (Peano) 1889-ല്‍ നല്കുകയുണ്ടായി. ഇവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ അങ്കഗണിതത്തെ ഫോര്‍മല്‍-അഭിഗൃഹീതാത്മക സമ്പ്രദായമായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്.
ഗണസിദ്ധാന്തവും ഗണനസംഖ്യയും
20-ാം ശതകത്തില്‍ ഗണിതത്തിനുണ്ടായ വളര്‍ച്ചയുടെ നിദാനം ഗണസിദ്ധാന്തമാണ്. ജോര്‍ജ് കാന്റര്‍ ആവിഷ്കരിച്ച ഗണസിദ്ധാന്തം ഗണിതത്തില്‍ വളരെയധികം പരിവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ക്കു കാരണമായിത്തീര്‍ന്നു.
A എന്നും B എന്നും രണ്ടു ഗണം എടുക്കുക. ഇവയില്‍നിന്ന്, ഒരു ഗണത്തില്‍നിന്ന് ഒന്ന് എന്ന കണക്കില്‍, രണ്ടില്‍ നിന്നും ഓരോ അംഗത്തെയെടുത്ത് ജോടിയാക്കലാണ് യഥാര്‍ഥത്തില്‍ ഏകൈക സാംഗത്യം അഥവാ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തം (one to one correspondence). രണ്ടു ഗണം തമ്മില്‍ ഏകൈക സാംഗത്യം ഉണ്ടെങ്കില്‍, അവയുടെ ഗണനസംഖ്യ (cardinal number) ഒന്നുതന്നെ എന്നു പറയുന്നു. ഗണനസംഖ്യ എന്ന ആശയം കാന്റര്‍ അനന്തഗണങ്ങളില്‍ സമര്‍ഥമായി പ്രയോഗിച്ചു. ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ പരിമിതമാണെങ്കില്‍ അതിനെ പരിമിതഗണം എന്നു വിളിക്കുന്നു. അനന്തം അംഗങ്ങള്‍ ഉള്ള ഗണം അനന്തഗണം. നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ (0, 1, 2, ...) ഗണത്തിന്റെയും ധനപൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെയും ഗണനസംഖ്യ ഒന്നുതന്നെ. ധനപൂര്‍ണസംഖ്യാഗണത്തിന്റെയും വര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ (1, 4, 9, ...) ഗണത്തിന്റെയും ഗണനസംഖ്യ ഒന്നുതന്നെ. ഈ ഗണനസംഖ്യയോടുകൂടിയ അനന്തഗണങ്ങളെ ഗണനീയ ഗണങ്ങള്‍ (countable sets) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരം ഗണങ്ങള്‍ ഗണനീയമായി അനന്തമാണ് എന്നും പറയാറുണ്ട്. ഇവയെ എണ്ണാന്‍ കഴിയും എന്നതുകൊണ്ടും നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ സഹായത്തോടെ ക്രമപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും എന്നതുകൊണ്ടുമാണ് ഈ പേര്.
A എന്നൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍ മാത്രം ചേര്‍ന്ന് രൂപം നല്കിയ ഗണമാണ് S എങ്കില്‍, A-യുടെ ഉപഗണ(subset)മാണ് S എന്നു പറയുന്നു. അഥവാ, S-ലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം A-യിലെയും അംഗങ്ങളാണെങ്കില്‍ S എന്ന ഗണം A-യുടെ ഉപഗണമാണ്. ചില അവസരങ്ങളില്‍ ഒരു അനന്തഗണത്തിലെ ഒരു അംശത്തിലെ അംഗങ്ങള്‍, ആ അനന്തഗണത്തിലെ തന്നെ അംഗങ്ങളുമായി ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തമുള്ളവയാണ് എന്നു വരാം. ഗലീലിയോ ഈ സാധ്യത അറിഞ്ഞിരുന്നതായി വേണം വിശ്വസിക്കാന്‍. ഡെഡിക്കന്റ് (Dedekind) 1888-ല്‍ ഈ സാധ്യതയെ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുകയുണ്ടായി.
S എന്നും T എന്നും രണ്ടു ഗണം പരിഗണിക്കുക. ഗണം T-യും S-ന്റെ ഒരു ഉപഗണവും തമ്മില്‍ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തമുണ്ടെന്നും, മറിച്ചില്ലെന്നും (Sഉം T-യുടെ ഒരു ഉപഗണവും തമ്മില്‍ ഒന്നോടൊന്നു പൊരുത്തം ഇല്ലെന്നും) വരികില്‍ S-ന്റെ ഗണനസംഖ്യ T-യുടെ ഗണനസംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതാണ്.
നിസര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെക്കാള്‍ കൂടിയ ഗണനസംഖ്യയുള്ള ഗണങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കാന്റര്‍ തന്റെ വികര്‍ണപ്രക്രിയ ഉപയോഗിച്ചു തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി (1874). അങ്ങനെ ഗണനീയമല്ലാത്ത അനന്തഗണങ്ങളില്‍ അദ്ദേഹം എത്തിച്ചേര്‍ന്നു. വാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഗണനീയമല്ലാതെ അനന്തമാണ്. ഗണനീയമല്ലാത്ത ചില അനന്തഗണങ്ങളുടെ ഗണനസംഖ്യകള്‍ ഒന്നുതന്നെ എന്നു സ്ഥാപിക്കാന്‍ കഴിയും. തുടര്‍ന്ന് M എന്നൊരു ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണങ്ങളെല്ലാം ചേര്‍ന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ M-ന്റെ ഗണനസംഖ്യയിലും കൂടുതലാണ് എന്നൊരു പ്രമേയം അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.
എല്ലാംകൂടിയായപ്പോള്‍ അനന്തത്തെക്കുറിച്ചു നിലനിന്നിരുന്ന അറിവ് പരിമിതവും പ്രാകൃതവും ആണ് എന്നു വന്നുകൂടി.
ഇതേത്തുടര്‍ന്നുണ്ടായ ഗണിത പരിചിന്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി ചില വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ ഗണിതത്തില്‍ ഉയര്‍ന്നുവന്നു. ഇത് വലിയ പ്രശ്നമായി മാറി.
A എന്നൊരു ഗണവും a എന്നൊരു വസ്തുവും ഉണ്ടെന്നും, a ഗണം A-യിലെ അംഗമാണെന്നും അതേസമയം തന്നെ A-യെ ആധാരമാക്കിയാണ് a നിര്‍വചിച്ചിട്ടുള്ളത് എന്നുമിരിക്കട്ടെ. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ A-യുടെയും a-യുടെയും നിര്‍വചനം സുസ്ഥാപിതമല്ലെന്നു പറയുന്നു. സുസ്ഥാപിതങ്ങളല്ലാത്ത നിര്‍വചനങ്ങളെ ഗണിതത്തില്‍നിന്ന് ഒഴിവാക്കാതെ തരമില്ലെന്ന അവസ്ഥ സംജാതമായി.
ഇതേത്തുടര്‍ന്ന് ഉണ്ടായ ചിന്താധാരകളുടെ ഫലമായി ഉയര്‍ന്നുവന്ന മൂന്നു പ്രസ്താനങ്ങള്‍ ഗണിതത്തിന് ആധാരമായ തത്ത്വങ്ങളിലും ഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെയും ബഹുവിധമായ സംഭാവനകള്‍ നല്കുകയുണ്ടായി.
