This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
കുട്ടകക്രിയ
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→കുട്ടകക്രിയ) |
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→കുട്ടകക്രിയ) |
||
| വരി 4: | വരി 4: | ||
ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്‌ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്ന ഒരു ഗണിതസമ്പ്രദായം. അനുപാതം (proportion), അനിയത സമീകരണങ്ങള്‍ (indeterminate equation), പരമ്പരിത ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions)എന്നീ ഗണിതവിഭാഗങ്ങള്‍ ചേർന്നതാണ്‌ കുട്ടകം. കുട്ടകം എന്ന വാക്കിന്‌ ഗുണകാരം (multiplier) എന്നാണ്‌ അർഥം. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ ഒരു ഗുണകാരംകൊണ്ടു ഗുണിച്ച്‌, തന്നിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യ കൂട്ടുകയോ കുറയ്‌ക്കുകയോ ചെയ്‌താൽ, തന്നിരിക്കുന്ന വേറൊരു പൂർണസംഖ്യകൊണ്ട്‌ ശിഷ്‌ടം കൂടാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ കിട്ടത്തക്കവണ്ണമുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണകാരം കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണ്‌ കുട്ടകക്രിയയിലെ കാതലായ പ്രശ്‌നം. സംഗതമായ ഹരണഫലവും കണ്ടുപിടിക്കണം. | ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്‌ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്ന ഒരു ഗണിതസമ്പ്രദായം. അനുപാതം (proportion), അനിയത സമീകരണങ്ങള്‍ (indeterminate equation), പരമ്പരിത ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions)എന്നീ ഗണിതവിഭാഗങ്ങള്‍ ചേർന്നതാണ്‌ കുട്ടകം. കുട്ടകം എന്ന വാക്കിന്‌ ഗുണകാരം (multiplier) എന്നാണ്‌ അർഥം. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ ഒരു ഗുണകാരംകൊണ്ടു ഗുണിച്ച്‌, തന്നിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യ കൂട്ടുകയോ കുറയ്‌ക്കുകയോ ചെയ്‌താൽ, തന്നിരിക്കുന്ന വേറൊരു പൂർണസംഖ്യകൊണ്ട്‌ ശിഷ്‌ടം കൂടാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ കിട്ടത്തക്കവണ്ണമുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണകാരം കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണ്‌ കുട്ടകക്രിയയിലെ കാതലായ പ്രശ്‌നം. സംഗതമായ ഹരണഫലവും കണ്ടുപിടിക്കണം. | ||
| - | മറ്റൊരുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ a, b, c എന്ന്‌ മൂന്ന്‌ പൂർണസംഖ്യകള്‍ തന്നിരിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ | + | മറ്റൊരുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ a, b, c എന്ന്‌ മൂന്ന്‌ പൂർണസംഖ്യകള്‍ തന്നിരിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ (ax ± c)/b=yഎന്നു കരുതുക.y ഒരു പൂർണസംഖ്യയായിരിക്കത്തക്ക വണ്ണമുള്ള x-ന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണസംഖ്യാമൂല്യം കാണുക എന്നതാണ്‌ പ്രശ്‌നം.y-യുടെ മൂല്യവും കാണണം. അതായത്‌ ax - by =±cആയിരിക്കത്തക്കവണ്ണമുള്ളa-ന്റെയും y-യുടെയും ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണസംഖ്യാമൂല്യങ്ങള്‍ കാണുക എന്നതാണ്‌ കുട്ടകക്രിയ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്‌. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി അനുബന്ധപ്രശ്‌നങ്ങളും കുട്ടകത്തിന്റെ പരിധിയിൽവരുന്നു. വ്യക്തമായും ഒരു അനിയതസമീകരണത്തിന്റെ നിർധാരണമാണ്‌ ഇവിടെ പ്രധാനമായി നിർവഹിക്കേണ്ടത്‌. a/bയെ പരമ്പരിതഭിന്നമായി എഴുതിയാണ്‌ ആധുനിക ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തിൽ ഈ പ്രശ്‌നം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്‌. കുട്ടകക്രിയയിലും ഇതുതന്നെയാണ്‌ ചെയ്യുന്നത്‌. പരമ്പരിതഭിന്നത്തെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം കുട്ടകത്തിന്റെ ഭാഗമായിത്തീരുന്നത്‌ അങ്ങനെയാണ്‌. അനുപാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പല പ്രശ്‌നങ്ങളും മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയിലുള്ള സമീകരണങ്ങളിലേക്കു നയിക്കുമെന്നതുകൊണ്ട്‌ അതിനെ കുട്ടകക്രിയയിൽ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പക്ഷേ പരമ്പരിതഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനമാണ്‌ കുട്ടകക്രിയയിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭാഗം. അപവർത്തനം, വല്ലീരൂപവത്‌കരണം, വല്യൂപസംഹാരം എന്നിങ്ങനെ മൂന്നായി തിരിച്ചാണ്‌ ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്‌ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഇത്‌ കൈകാര്യം ചെയ്‌തിട്ടുള്ളത്‌. |
| + | |||
ആര്യഭടീയ(5-ാം ശ.)ത്തിൽ കുട്ടകക്രിയയുടെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്‌. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഭാസ്‌കരാചാര്യന്റെ ലീലാവതിയെന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തിൽ "കുട്ടകവ്യവഹാരം' എന്ന പേരിൽ ഒരു അധ്യായം തന്നെയുണ്ട്‌. | ആര്യഭടീയ(5-ാം ശ.)ത്തിൽ കുട്ടകക്രിയയുടെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്‌. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഭാസ്‌കരാചാര്യന്റെ ലീലാവതിയെന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തിൽ "കുട്ടകവ്യവഹാരം' എന്ന പേരിൽ ഒരു അധ്യായം തന്നെയുണ്ട്‌. | ||
06:16, 8 ജൂലൈ 2014-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
കുട്ടകക്രിയ
ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്‌ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്ന ഒരു ഗണിതസമ്പ്രദായം. അനുപാതം (proportion), അനിയത സമീകരണങ്ങള്‍ (indeterminate equation), പരമ്പരിത ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions)എന്നീ ഗണിതവിഭാഗങ്ങള്‍ ചേർന്നതാണ്‌ കുട്ടകം. കുട്ടകം എന്ന വാക്കിന്‌ ഗുണകാരം (multiplier) എന്നാണ്‌ അർഥം. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ ഒരു ഗുണകാരംകൊണ്ടു ഗുണിച്ച്‌, തന്നിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യ കൂട്ടുകയോ കുറയ്‌ക്കുകയോ ചെയ്‌താൽ, തന്നിരിക്കുന്ന വേറൊരു പൂർണസംഖ്യകൊണ്ട്‌ ശിഷ്‌ടം കൂടാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ കിട്ടത്തക്കവണ്ണമുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണകാരം കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണ്‌ കുട്ടകക്രിയയിലെ കാതലായ പ്രശ്‌നം. സംഗതമായ ഹരണഫലവും കണ്ടുപിടിക്കണം.
മറ്റൊരുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ a, b, c എന്ന്‌ മൂന്ന്‌ പൂർണസംഖ്യകള്‍ തന്നിരിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ (ax ± c)/b=yഎന്നു കരുതുക.y ഒരു പൂർണസംഖ്യയായിരിക്കത്തക്ക വണ്ണമുള്ള x-ന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണസംഖ്യാമൂല്യം കാണുക എന്നതാണ്‌ പ്രശ്‌നം.y-യുടെ മൂല്യവും കാണണം. അതായത്‌ ax - by =±cആയിരിക്കത്തക്കവണ്ണമുള്ളa-ന്റെയും y-യുടെയും ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണസംഖ്യാമൂല്യങ്ങള്‍ കാണുക എന്നതാണ്‌ കുട്ടകക്രിയ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്‌. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി അനുബന്ധപ്രശ്‌നങ്ങളും കുട്ടകത്തിന്റെ പരിധിയിൽവരുന്നു. വ്യക്തമായും ഒരു അനിയതസമീകരണത്തിന്റെ നിർധാരണമാണ്‌ ഇവിടെ പ്രധാനമായി നിർവഹിക്കേണ്ടത്‌. a/bയെ പരമ്പരിതഭിന്നമായി എഴുതിയാണ്‌ ആധുനിക ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തിൽ ഈ പ്രശ്‌നം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്‌. കുട്ടകക്രിയയിലും ഇതുതന്നെയാണ്‌ ചെയ്യുന്നത്‌. പരമ്പരിതഭിന്നത്തെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം കുട്ടകത്തിന്റെ ഭാഗമായിത്തീരുന്നത്‌ അങ്ങനെയാണ്‌. അനുപാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പല പ്രശ്‌നങ്ങളും മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയിലുള്ള സമീകരണങ്ങളിലേക്കു നയിക്കുമെന്നതുകൊണ്ട്‌ അതിനെ കുട്ടകക്രിയയിൽ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പക്ഷേ പരമ്പരിതഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനമാണ്‌ കുട്ടകക്രിയയിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭാഗം. അപവർത്തനം, വല്ലീരൂപവത്‌കരണം, വല്യൂപസംഹാരം എന്നിങ്ങനെ മൂന്നായി തിരിച്ചാണ്‌ ഭാരതീയ ജ്യോതിശ്ശാസ്‌ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഇത്‌ കൈകാര്യം ചെയ്‌തിട്ടുള്ളത്‌.
ആര്യഭടീയ(5-ാം ശ.)ത്തിൽ കുട്ടകക്രിയയുടെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്‌. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഭാസ്‌കരാചാര്യന്റെ ലീലാവതിയെന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തിൽ "കുട്ടകവ്യവഹാരം' എന്ന പേരിൽ ഒരു അധ്യായം തന്നെയുണ്ട്‌.
കുട്ടകക്രിയയെപ്പറ്റി കൂടുതൽ പഠനം നടത്തി അതിന്റെ സങ്കീർണതകള്‍ പൂർണരൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചത്‌ 14 മുതൽ 16 വരെ നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ചില കേരളീയ ഗണിതപണ്ഡിതന്മാരാണ്‌. പുതുമന ചോമാതിരിയുടെ കരണപദ്ധതി (14-ാം ശ.)യിലും കേളല്ലൂർ നീലകണ്‌ഠ സോമയാജിയുടെ ആര്യഭടീയ ഭാഷ്യം, തന്ത്രസംഗ്രഹം (16-ാം ശ.) എന്നീ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ബ്രഹ്മദത്തന്റെ യുക്തിഭാഷ (17-ാം ശ.) എന്ന മലയാള ഗദ്യഗ്രന്ഥത്തിലും കുട്ടകക്രിയയെയും അതോടു ബന്ധപ്പെട്ട അനുപാതം, അനിയതസമീകരണങ്ങള്‍, പരമ്പരിതഭിന്നങ്ങള്‍ തുടങ്ങിയവയെയും പറ്റി വിശദമായി പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ട്‌.
(പ്രാഫ. കെ. രാമകൃഷ്‌ണപിള്ള)
