This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രി
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (പുതിയ താള്‍: == കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രി == == Cartesian Geometry == ബീജഗണിത രീതികള്‍ അവലം...) |
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→Cartesian Geometry) |
||
| വരി 6: | വരി 6: | ||
(i) അക്ഷങ്ങളും നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും (The axes and co-ordinates). ഏതെങ്കിലും രണ്ട്‌ ആധാരരേഖകളെ ആസ്‌പദമാക്കി ആ രേഖാതലത്തിലെ ഏത്‌ ബിന്ദുവിനെയും രണ്ടു സംഖ്യകള്‍കൊണ്ട്‌ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്‌. ഈ സംഖ്യകളെ ആ ബിന്ദുവിന്റെ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നു പറയുന്നു. ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണങ്ങള്‍ നേര്‍വര, വക്രരേഖ മുതലായവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി | (i) അക്ഷങ്ങളും നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും (The axes and co-ordinates). ഏതെങ്കിലും രണ്ട്‌ ആധാരരേഖകളെ ആസ്‌പദമാക്കി ആ രേഖാതലത്തിലെ ഏത്‌ ബിന്ദുവിനെയും രണ്ടു സംഖ്യകള്‍കൊണ്ട്‌ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്‌. ഈ സംഖ്യകളെ ആ ബിന്ദുവിന്റെ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നു പറയുന്നു. ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണങ്ങള്‍ നേര്‍വര, വക്രരേഖ മുതലായവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി | ||
| - | (ii) ബിന്ദുപഥം, നേര്‍വരകള്‍ (Locus, straight lines). | + | (ii) ബിന്ദുപഥം, നേര്‍വരകള്‍ (Locus, straight lines).കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രിയില്‍ ax+by+c=0 എന്ന ഏകഘാത സമവാക്യം ഒരു നേര്‍വരയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. രണ്ടു രേഖകളുടെ പ്രതിച്ഛേദബിന്ദു (point of intersection) കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ രേഖകളുടെ സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ധാരണം ചെയ്ത് x ന്റെയും y യുടെയും വിലകണ്ടുപിടിക്കുന്നു. |
| - | + | ||
| - | + | [[ചിത്രം:Vol7_270_equation.jpg|300px]] | |
| - | + | (iii) ദ്വിഘാതസമവാക്യങ്ങളും കോണികഖണ്ഡങ്ങളും (The second degree equation and conic sections). ax<sup>2</sup> + 2hxy +by<sup>2</sup> +2gx +2fy+c=0ഒരു ദ്വിഘാതസമവാക്യമാണ്‌. abc+2fgh-af<sup>2</sup>-bg<sup>2</sup>-ch=0 ആകുമ്പോള്‍ ഈ സമവാക്യം ഒരു രേഖായുഗ്മത്തെ (pair of straight lines) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. മറ്റവസ്ഥകളില്‍ ഈ സമീകരണം ഒരു കോണികഖണ്ഡത്തിന്റെ പൊതുസമവാക്യമായിരിക്കും. (h<sup>2</sup>-ab)യെ കോണിക ഖണ്ഡത്തിന്റെ വിവേചകം (discriminant)എന്നു പറയുന്നു. കോണിക സമവാക്യം പൂജ്യത്തിനു തുല്യമോ അതില്‍ കുറവോ കൂടുതലോ ആകുമ്പോള്‍ h<sup>2</sup>-ab യഥാക്രമം ഒരു പരവലയ (parabola) ത്തെയും ഒരു ദീര്‍ഘവൃത്ത(ellipse)ത്തെയും ഒരു ബഹിര്‍വലയ (hyperbola)ത്തെയും കുറിക്കുന്നു. | |
| - | + | x, y അക്ഷങ്ങളെ പ്രത്യേക വിധത്തില്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത്‌ പരവലയം, ദീര്‍ഘവൃത്തം, ബഹിര്‍വലയം എന്നീ കോണിക ഖണ്ഡങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങള്‍ ലഘുവായ രീതിയില്‍ എഴുതാവുന്നതാണ്‌. പരവലയം, ദീര്‍ഘവൃത്തം, ബഹിര്‍വലയം എന്നിവയുടെ മാനക സമവാക്യങ്ങള്‍ (standard equations) യഥാക്രമം | |
| - | + | [[ചിത്രം:Vol7_270_equation2.jpg|300px]] | |
പ്രായോഗിക മേഖലകളില്‍ പലയിടത്തും കോണികഖണ്ഡങ്ങളുടെ മാതൃകകള്‍ സുലഭമാണ്‌. ഒരു കല്ല്‌ ലംബത്തില്‍ നിന്നു ഒരു നിശ്ചിത കോണത്തില്‍ വിക്ഷേപിച്ചാല്‍ അത്‌ സഞ്ചരിക്കുന്നത്‌ ഒരു പരവലയത്തിലൂടെയായിരിക്കും. ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ പ്രത്യേകസ്ഥിതിയാണ്‌ വൃത്തം. ഗ്രഹങ്ങളുടെ പ്രദക്ഷിണപഥം ദീര്‍ഘവൃത്തമാണ്‌. പ്രദക്ഷിണപഥത്തിന്റെ ഒരു നാഭീകേന്ദ്ര (focus)ത്തിലാണ്‌ സൂര്യന്റെ സ്ഥാനം. വാല്‍നക്ഷത്രങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥം ചിലപ്പോള്‍ ബഹിര്‍വലയമാകാറുണ്ട്‌. | പ്രായോഗിക മേഖലകളില്‍ പലയിടത്തും കോണികഖണ്ഡങ്ങളുടെ മാതൃകകള്‍ സുലഭമാണ്‌. ഒരു കല്ല്‌ ലംബത്തില്‍ നിന്നു ഒരു നിശ്ചിത കോണത്തില്‍ വിക്ഷേപിച്ചാല്‍ അത്‌ സഞ്ചരിക്കുന്നത്‌ ഒരു പരവലയത്തിലൂടെയായിരിക്കും. ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ പ്രത്യേകസ്ഥിതിയാണ്‌ വൃത്തം. ഗ്രഹങ്ങളുടെ പ്രദക്ഷിണപഥം ദീര്‍ഘവൃത്തമാണ്‌. പ്രദക്ഷിണപഥത്തിന്റെ ഒരു നാഭീകേന്ദ്ര (focus)ത്തിലാണ്‌ സൂര്യന്റെ സ്ഥാനം. വാല്‍നക്ഷത്രങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥം ചിലപ്പോള്‍ ബഹിര്‍വലയമാകാറുണ്ട്‌. | ||
| - | (iv) ധ്രുവീയ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ (Polar co-ordinates). OX നെ സമതലത്തിലെ രേഖയായും ഇതേ തലത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവായി P യും സങ്കല്‌പിക്കുക. OP=r, XOP എന്ന കോണം | + | (iv) ധ്രുവീയ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ (Polar co-ordinates). OX നെ സമതലത്തിലെ രേഖയായും ഇതേ തലത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവായി P യും സങ്കല്‌പിക്കുക. OP=r, XOP എന്ന കോണം θ ആയാല്‍ P എന്ന ബിന്ദുവിനെ (r, θ) എന്നുകുറിക്കുന്നു.r,θ ഇവയെ Pയുടെ ധ്രുവീയനിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളെന്നു പറയുന്നു. സമതലത്തിലുള്ള ബിന്ദുക്കളെ കുറിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു പദ്ധതിയാണിത്‌. ഇവിടെ Oയെ ധ്രുവ(pole)മെന്നും OX നെ പ്രാരംഭികരേഖ (initial line) എന്നും പറയുന്നു.x = r Cosθ , y = r Sinθ , എന്നീ സമവാക്യങ്ങള്‍ കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ (Cartesian) നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും ധ്രുവീയ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കുറിക്കുന്നു. |
| - | സമതലത്തിലുള്ള രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ ആയിരിക്കട്ടെ. ഇവ തമ്മിലുള്ള അകലം | + | സമതലത്തിലുള്ള രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ [[ചിത്രം:Vol7_270_equation5.jpg|100px]] ആയിരിക്കട്ടെ. ഇവ തമ്മിലുള്ള അകലം |
| - | + | [[ചിത്രം:Vol7_270_equation6.jpg|200px]] | |
| - | കോണികത്തിന്റെ സമവാക്യം ആണ്‌ (I = നാഭീലംബം) | + | രേഖ, കോണികം ഇവയ്‌ക്ക്‌ ധ്രുവീയ പദ്ധതിയില്‍ ലഘുവായ പ്രതിനിധാനങ്ങളുണ്ട്‌. ഉദാഹരണമായി ഒരു നേര്‍വരയുടെ പൊതു സമവാക്യം |
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol7_270_equation6.jpg|300px]] | ||
| + | |||
| + | കോണികത്തിന്റെ സമവാക്യം ആണ്‌ [[ചിത്രം:Vol7_270_equation7.jpg|200px]](I = നാഭീലംബം) | ||
രണ്ടു നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍കൊണ്ട്‌ ഒരു സമതലത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്നതുപോലെ ത്രിമാനതല(Three dimensional space) ത്തില്‍ മൂന്ന്‌ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും സാമാന്യമായി n മാനതലമാണെങ്കില്‍ n നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്‌ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാന്‍ കഴിയും. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി | രണ്ടു നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍കൊണ്ട്‌ ഒരു സമതലത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്നതുപോലെ ത്രിമാനതല(Three dimensional space) ത്തില്‍ മൂന്ന്‌ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും സാമാന്യമായി n മാനതലമാണെങ്കില്‍ n നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്‌ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാന്‍ കഴിയും. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി | ||
(പ്രാഫ. കെ.എസ്‌.വി. ഷേണായി; പ്രാഫ. കെ. ജയചന്ദ്രന്‍) | (പ്രാഫ. കെ.എസ്‌.വി. ഷേണായി; പ്രാഫ. കെ. ജയചന്ദ്രന്‍) | ||
06:05, 6 ജൂലൈ 2014-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രി
Cartesian Geometry
ബീജഗണിത രീതികള്‍ അവലംബിച്ച്‌ ക്ഷേത്രഗണിതത്തിലെ പ്രമേയങ്ങള്‍ പഠനവിധേയമാക്കുന്ന ഗണിതശാഖ. ഫ്രഞ്ച്‌ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞരായ പിയറി ദെ ഫെര്‍മ (1601-65), റെനെ ദെക്കാര്‍ത്തെ (1595-1650) എന്നിവരാണ്‌ യൂക്ലിഡിന്റെ ക്ഷേത്രഗണിത സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ നിര്‍ദേശാങ്കരീതിയുപയോഗിച്ച്‌ ആവിഷ്‌കരിച്ചത്‌. ഈ ശാസ്‌ത്രശാഖയെക്കുറിച്ചുള്ള വളരെ പരിമിതമായ അറിവ്‌ സിറാക്കൂസിലെ ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെയും പെര്‍ഗയിലെ അപ്പൊളോണീയസിന്റെയും കാലം മുതല്‍ പ്രചരിച്ചിരുന്നു. സമതലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം നിശ്ചയിക്കാന്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ്‌ രണ്ടുലംബരേഖകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു. അപ്പൊളോണീയസും കോണികങ്ങളെക്കുറിച്ച്‌ മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നു. എങ്കിലും 17-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഫെര്‍മയുടെയും ദെക്കാര്‍ത്തെയുടെയും സംഭാവനകളിലൂടെയാണ്‌ കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രി ഒരു പ്രത്യേക ഗണിതശാഖയായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്‌. 1637ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ദെക്കാര്‍ത്തയുടെ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഈ ശാസ്‌ത്രശാഖയെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദമായ പഠനം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നു. "കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രി' എന്ന പേര്‌ ദെക്കാര്‍ത്തെയുടെ വിലപ്പെട്ട സംഭാവനകളെ അനുസ്‌മരിപ്പിക്കുന്നു.
(i) അക്ഷങ്ങളും നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും (The axes and co-ordinates). ഏതെങ്കിലും രണ്ട്‌ ആധാരരേഖകളെ ആസ്‌പദമാക്കി ആ രേഖാതലത്തിലെ ഏത്‌ ബിന്ദുവിനെയും രണ്ടു സംഖ്യകള്‍കൊണ്ട്‌ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്‌. ഈ സംഖ്യകളെ ആ ബിന്ദുവിന്റെ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ എന്നു പറയുന്നു. ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണങ്ങള്‍ നേര്‍വര, വക്രരേഖ മുതലായവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി
(ii) ബിന്ദുപഥം, നേര്‍വരകള്‍ (Locus, straight lines).കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ ജ്യോമട്രിയില്‍ ax+by+c=0 എന്ന ഏകഘാത സമവാക്യം ഒരു നേര്‍വരയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. രണ്ടു രേഖകളുടെ പ്രതിച്ഛേദബിന്ദു (point of intersection) കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ രേഖകളുടെ സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ധാരണം ചെയ്ത് x ന്റെയും y യുടെയും വിലകണ്ടുപിടിക്കുന്നു.
(iii) ദ്വിഘാതസമവാക്യങ്ങളും കോണികഖണ്ഡങ്ങളും (The second degree equation and conic sections). ax2 + 2hxy +by2 +2gx +2fy+c=0ഒരു ദ്വിഘാതസമവാക്യമാണ്‌. abc+2fgh-af2-bg2-ch=0 ആകുമ്പോള്‍ ഈ സമവാക്യം ഒരു രേഖായുഗ്മത്തെ (pair of straight lines) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. മറ്റവസ്ഥകളില്‍ ഈ സമീകരണം ഒരു കോണികഖണ്ഡത്തിന്റെ പൊതുസമവാക്യമായിരിക്കും. (h2-ab)യെ കോണിക ഖണ്ഡത്തിന്റെ വിവേചകം (discriminant)എന്നു പറയുന്നു. കോണിക സമവാക്യം പൂജ്യത്തിനു തുല്യമോ അതില്‍ കുറവോ കൂടുതലോ ആകുമ്പോള്‍ h2-ab യഥാക്രമം ഒരു പരവലയ (parabola) ത്തെയും ഒരു ദീര്‍ഘവൃത്ത(ellipse)ത്തെയും ഒരു ബഹിര്‍വലയ (hyperbola)ത്തെയും കുറിക്കുന്നു.
x, y അക്ഷങ്ങളെ പ്രത്യേക വിധത്തില്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത്‌ പരവലയം, ദീര്‍ഘവൃത്തം, ബഹിര്‍വലയം എന്നീ കോണിക ഖണ്ഡങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങള്‍ ലഘുവായ രീതിയില്‍ എഴുതാവുന്നതാണ്‌. പരവലയം, ദീര്‍ഘവൃത്തം, ബഹിര്‍വലയം എന്നിവയുടെ മാനക സമവാക്യങ്ങള്‍ (standard equations) യഥാക്രമം
പ്രായോഗിക മേഖലകളില്‍ പലയിടത്തും കോണികഖണ്ഡങ്ങളുടെ മാതൃകകള്‍ സുലഭമാണ്‌. ഒരു കല്ല്‌ ലംബത്തില്‍ നിന്നു ഒരു നിശ്ചിത കോണത്തില്‍ വിക്ഷേപിച്ചാല്‍ അത്‌ സഞ്ചരിക്കുന്നത്‌ ഒരു പരവലയത്തിലൂടെയായിരിക്കും. ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ പ്രത്യേകസ്ഥിതിയാണ്‌ വൃത്തം. ഗ്രഹങ്ങളുടെ പ്രദക്ഷിണപഥം ദീര്‍ഘവൃത്തമാണ്‌. പ്രദക്ഷിണപഥത്തിന്റെ ഒരു നാഭീകേന്ദ്ര (focus)ത്തിലാണ്‌ സൂര്യന്റെ സ്ഥാനം. വാല്‍നക്ഷത്രങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥം ചിലപ്പോള്‍ ബഹിര്‍വലയമാകാറുണ്ട്‌.
(iv) ധ്രുവീയ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ (Polar co-ordinates). OX നെ സമതലത്തിലെ രേഖയായും ഇതേ തലത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവായി P യും സങ്കല്‌പിക്കുക. OP=r, XOP എന്ന കോണം θ ആയാല്‍ P എന്ന ബിന്ദുവിനെ (r, θ) എന്നുകുറിക്കുന്നു.r,θ ഇവയെ Pയുടെ ധ്രുവീയനിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളെന്നു പറയുന്നു. സമതലത്തിലുള്ള ബിന്ദുക്കളെ കുറിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു പദ്ധതിയാണിത്‌. ഇവിടെ Oയെ ധ്രുവ(pole)മെന്നും OX നെ പ്രാരംഭികരേഖ (initial line) എന്നും പറയുന്നു.x = r Cosθ , y = r Sinθ , എന്നീ സമവാക്യങ്ങള്‍ കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ (Cartesian) നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും ധ്രുവീയ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കുറിക്കുന്നു.
സമതലത്തിലുള്ള രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ 
ആയിരിക്കട്ടെ. ഇവ തമ്മിലുള്ള അകലം
രേഖ, കോണികം ഇവയ്‌ക്ക്‌ ധ്രുവീയ പദ്ധതിയില്‍ ലഘുവായ പ്രതിനിധാനങ്ങളുണ്ട്‌. ഉദാഹരണമായി ഒരു നേര്‍വരയുടെ പൊതു സമവാക്യം
കോണികത്തിന്റെ സമവാക്യം ആണ്‌ 
(I = നാഭീലംബം)
രണ്ടു നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍കൊണ്ട്‌ ഒരു സമതലത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്നതുപോലെ ത്രിമാനതല(Three dimensional space) ത്തില്‍ മൂന്ന്‌ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും സാമാന്യമായി n മാനതലമാണെങ്കില്‍ n നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്‌ ഏതു ബിന്ദുവിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാന്‍ കഴിയും. നോ. അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി
(പ്രാഫ. കെ.എസ്‌.വി. ഷേണായി; പ്രാഫ. കെ. ജയചന്ദ്രന്‍)
