This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ഇലാസ്‌തികത
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→Elasticity) |
Mksol (സംവാദം | സംഭാവനകള്) (→Elasticity) |
||
| വരി 67: | വരി 67: | ||
ഇലാസ്‌തികസീമ കടന്നശേഷം ഉണ്ടാകുന്ന വൈകൃതങ്ങളുടെ ഒരംശം ബാഹ്യബലം മോചിപ്പിച്ചാലും അവശേഷിക്കുന്നതുകൊണ്ട്‌ ആ അവസ്ഥയിൽ നിർമാണപരമായി ആ പദാർഥം ഉപയോഗശൂന്യമാണ്‌. അതുകൊണ്ട്‌ സുരക്ഷിതത്വപരിഗണന നടത്തുന്നത്‌ ഇലാസ്‌തികസീമയെ ആധാരമാക്കിയായിരിക്കും. | ഇലാസ്‌തികസീമ കടന്നശേഷം ഉണ്ടാകുന്ന വൈകൃതങ്ങളുടെ ഒരംശം ബാഹ്യബലം മോചിപ്പിച്ചാലും അവശേഷിക്കുന്നതുകൊണ്ട്‌ ആ അവസ്ഥയിൽ നിർമാണപരമായി ആ പദാർഥം ഉപയോഗശൂന്യമാണ്‌. അതുകൊണ്ട്‌ സുരക്ഷിതത്വപരിഗണന നടത്തുന്നത്‌ ഇലാസ്‌തികസീമയെ ആധാരമാക്കിയായിരിക്കും. | ||
| - | ബാഹ്യബലത്തിനു വിധേയമാകുമ്പോള്‍ പദാർഥത്തിൽ വിരൂപണം ഭവിക്കുകയും ആ അവസ്ഥയിൽ അതിൽ കുറേ ഊർജം സംഭരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണമായി ഒരു റബ്ബർനൂലിൽ 100 ഗ്രാം ഭാരം കെട്ടിത്തൂക്കിയിടുന്നു എന്നു കരുതുക. ആഘാതം (shock) കൂടാതെ അതു ചെയ്‌താൽ നൂലിന്റെ നീളം 1 സെ.മീ. കൂടുതലാകുന്നുവെന്നും ഇരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ 100 ഗ്രാം ഭാരം ചരടിലെ വലിവിനെതിരായി 1 സെ.മീ. താഴോട്ടു നീങ്ങിയതു മൂലം 1/2 x 100 x 1 ഗ്രാം സെ.മീ. ജോലി ചെയ്‌തിട്ടുണ്ട്‌. അത്രയ്‌ക്കും ഊർജം വിരൂപണവിധേയമായ ആ നൂലിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കും. പ്രസ്‌തുത 100 ഗ്രാം ഭാരം നൂലിൽ നിന്നു വിടുവിച്ചാൽ, നൂല്‌ പെട്ടെന്നു ചുരുങ്ങി പൂർവസ്ഥിതി പ്രാപിക്കും. അതിനുവേണ്ട ഊർജം നേരത്തേ അതിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്നത്‌, സ്വതന്ത്രമാക്കി ഉപയോഗിക്കും. അതായത്‌, ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ വിരൂപണവിധേയമായി നില്‌ക്കുന്ന അംഗങ്ങളിലെല്ലാം അവയുടെ പൂർവരൂപം വീണ്ടെടുക്കാനുള്ള ഊർജം നിലകൊള്ളുന്നുണ്ട്‌. ഇത്‌ ഇലാസ്‌തിക വൈകൃതോർജം (elastic strain energy) എന്ന്‌ അറിയപ്പെടുന്നു. ഏതു സംരചനയുടെയും അംഗങ്ങള്‍ അക്ഷീയബലമോ വിരൂപണബലമോ നേരിടുന്നതായിരിക്കും. വക്രണവും ടോർഷണവും അന്തിമ വിശകലനത്തിൽ പദാർഥങ്ങളിൽ അക്ഷീയപ്രതിബലവും വിരൂപണപ്രതിബലവും ജനിപ്പിക്കുന്നു. അക്ഷീയപ്രതിബലമുള്ള അംഗത്തിലെ വൈകൃതോർജം ( | + | ബാഹ്യബലത്തിനു വിധേയമാകുമ്പോള്‍ പദാർഥത്തിൽ വിരൂപണം ഭവിക്കുകയും ആ അവസ്ഥയിൽ അതിൽ കുറേ ഊർജം സംഭരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണമായി ഒരു റബ്ബർനൂലിൽ 100 ഗ്രാം ഭാരം കെട്ടിത്തൂക്കിയിടുന്നു എന്നു കരുതുക. ആഘാതം (shock) കൂടാതെ അതു ചെയ്‌താൽ നൂലിന്റെ നീളം 1 സെ.മീ. കൂടുതലാകുന്നുവെന്നും ഇരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ 100 ഗ്രാം ഭാരം ചരടിലെ വലിവിനെതിരായി 1 സെ.മീ. താഴോട്ടു നീങ്ങിയതു മൂലം 1/2 x 100 x 1 ഗ്രാം സെ.മീ. ജോലി ചെയ്‌തിട്ടുണ്ട്‌. അത്രയ്‌ക്കും ഊർജം വിരൂപണവിധേയമായ ആ നൂലിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കും. പ്രസ്‌തുത 100 ഗ്രാം ഭാരം നൂലിൽ നിന്നു വിടുവിച്ചാൽ, നൂല്‌ പെട്ടെന്നു ചുരുങ്ങി പൂർവസ്ഥിതി പ്രാപിക്കും. അതിനുവേണ്ട ഊർജം നേരത്തേ അതിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്നത്‌, സ്വതന്ത്രമാക്കി ഉപയോഗിക്കും. അതായത്‌, ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ വിരൂപണവിധേയമായി നില്‌ക്കുന്ന അംഗങ്ങളിലെല്ലാം അവയുടെ പൂർവരൂപം വീണ്ടെടുക്കാനുള്ള ഊർജം നിലകൊള്ളുന്നുണ്ട്‌. ഇത്‌ ഇലാസ്‌തിക വൈകൃതോർജം (elastic strain energy) എന്ന്‌ അറിയപ്പെടുന്നു. ഏതു സംരചനയുടെയും അംഗങ്ങള്‍ അക്ഷീയബലമോ വിരൂപണബലമോ നേരിടുന്നതായിരിക്കും. വക്രണവും ടോർഷണവും അന്തിമ വിശകലനത്തിൽ പദാർഥങ്ങളിൽ അക്ഷീയപ്രതിബലവും വിരൂപണപ്രതിബലവും ജനിപ്പിക്കുന്നു. അക്ഷീയപ്രതിബലമുള്ള അംഗത്തിലെ വൈകൃതോർജം (p<sup>2</sup>/2E)V ആകുന്നു; ഇവിടെ p അക്ഷീയപ്രതിബലവും E യങ്‌സ്ഥിരാങ്കവും V അംഗവ്യാപ്‌തവും ആണ്‌. വിരൂപണപ്രതിബലമുള്ള അംഗങ്ങളിലെ വൈകൃതോർജം (q<sup>2</sup>/2N)V ആകുന്നു; ഇവിടെ q വിരൂപണപ്രതിബലവും, N ദൃഢതാസ്ഥിരാങ്കവും, V അംഗവ്യാപ്‌തവും ആണ്‌. |
ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ ഈ വൈകൃതോർജസംഭരണം നടക്കുന്നു. ഓരോ അംഗത്തിനും ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ സംഭരിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വൈകൃതോർജത്തിന്റെ ഉച്ചതമമൂല്യം പ്രമാണവൈകൃതോർജം (proof resilience) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. | ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ ഈ വൈകൃതോർജസംഭരണം നടക്കുന്നു. ഓരോ അംഗത്തിനും ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ സംഭരിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വൈകൃതോർജത്തിന്റെ ഉച്ചതമമൂല്യം പ്രമാണവൈകൃതോർജം (proof resilience) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. | ||
| വരി 74: | വരി 74: | ||
ബീമുകളും ട്രസുകളും എല്ലാം ഭാരംമൂലം ആദ്യരൂപത്തിൽ നിന്ന് വിചലിതമാകുമ്പോള്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തും വരുന്ന വിചലനം (deflection) കണക്കാക്കാനും പ്രസ്‌തുത ഘടകത്തിലെ വൈകൃതോർജപരിഗണന ആവശ്യമാകുന്നു. | ബീമുകളും ട്രസുകളും എല്ലാം ഭാരംമൂലം ആദ്യരൂപത്തിൽ നിന്ന് വിചലിതമാകുമ്പോള്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തും വരുന്ന വിചലനം (deflection) കണക്കാക്കാനും പ്രസ്‌തുത ഘടകത്തിലെ വൈകൃതോർജപരിഗണന ആവശ്യമാകുന്നു. | ||
| - | ബാഹ്യബലവിധേയമായ ഒരു സംരചനയിൽ ഏതെങ്കിലും സ്ഥാനത്ത്‌ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന | + | ബാഹ്യബലവിധേയമായ ഒരു സംരചനയിൽ ഏതെങ്കിലും സ്ഥാനത്ത്‌ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന p എന്ന ബാഹ്യബലത്തിന്റെ ദിശയിൽ ആ സ്ഥാനത്തിനു വരുന്ന വിചലനം സംരചനയുടെ ഇലാസ്‌തികവൈകൃതോർജത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോ എന്ന ശാസ്‌ത്രജ്ഞന്‍ ഉന്നയിച്ചു. |
| + | [[ചിത്രം:Vol4_391_3.jpg|200px]] | ||
ഇതാണ്‌ കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സൂത്രവാക്യം. ഇവിടെ,നിർദിഷ്‌ടസ്ഥാനത്തിന്റെ p ദിശയിലുള്ള വിചലനം u = മൂലാധാരത്തിന്റെ ആകെ വൈകൃതോർജം, = ആകെ വൈകൃതോർജഫലനത്തിന്റെ p യെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ആംശികാവകലഗുണാങ്കം. | ഇതാണ്‌ കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സൂത്രവാക്യം. ഇവിടെ,നിർദിഷ്‌ടസ്ഥാനത്തിന്റെ p ദിശയിലുള്ള വിചലനം u = മൂലാധാരത്തിന്റെ ആകെ വൈകൃതോർജം, = ആകെ വൈകൃതോർജഫലനത്തിന്റെ p യെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ആംശികാവകലഗുണാങ്കം. | ||
ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ പ്രതിബലവിധേയമായ പദാർഥത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള പ്രതിബലങ്ങള്‍ക്ക്‌ ആറു ഘടകങ്ങളുണ്ട്‌. | ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ പ്രതിബലവിധേയമായ പദാർഥത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള പ്രതിബലങ്ങള്‍ക്ക്‌ ആറു ഘടകങ്ങളുണ്ട്‌. | ||
| - | നിർദേശകതലങ്ങള്‍ക്ക്‌ സമാന്തരമായി വീതം വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തര ഷട്‌ഫലക(parallelopiped)ത്തിന്റെ മൂന്നു ജോടി മുഖങ്ങളിലെ ഓരോ വശത്തെയും പ്രതിബലങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. | + | നിർദേശകതലങ്ങള്‍ക്ക്‌ സമാന്തരമായി [[ചിത്രം:Vol4_393_4.jpg|100px]] വീതം വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തര ഷട്‌ഫലക(parallelopiped)ത്തിന്റെ മൂന്നു ജോടി മുഖങ്ങളിലെ ഓരോ വശത്തെയും പ്രതിബലങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. |
| - | തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം | + | |
| + | [[ചിത്രം:Vol4_393_6.jpg|thumb|]] | ||
| + | |||
| + | δx, δy തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σ<sub>zz</sub>, OZദിശയിലും വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σ<sub>xy</sub>σ<sub>yx</sub> എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OY, OX ദിശകളിലും; δy, δz തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σ<sub>xx</sub>, OX ദിശയിലും, വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σ<sub>yz</sub>σ<sub>zy</sub> എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OZ, OY ദിശകളിലും; δx, δz തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σ<sub>yy</sub>, OY തലത്തിലും വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σ<sub>xz</sub>σ<sub>zx</sub> എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OZ, OX ദിശകളിലും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇവയിൽ σ<sub>xy</sub> = σ<sub>yx</sub>, σ<sub>xz</sub> = σ<sub>zx</sub>, σ<sub>yz</sub> = σ<sub>zy</sub>,. തന്മൂലം സ്വതന്ത്രമായ ആറു ഘടകങ്ങളേ ഉള്ളൂ: σ<sub>xx</sub>, σ<sub>yy</sub>,σ<sub>zz</sub>,σ<sub>xy</sub>,σ<sub>yz</sub>,σ<sub>zx</sub>,. ഇവയുടെ സംയുക്തഫലമായി പരസ്‌പരലംബമായ മൂന്നു തലങ്ങളിൽ ലംബപ്രതിബലം മാത്രമേ ഉണ്ടായിരിക്കൂ. ആ തലങ്ങളിൽ വിരൂപണപ്രതിബലം ഇല്ല; ഇവയെ പ്രസ്‌തുത ബിന്ദുവിലെ മുഖ്യതലങ്ങള്‍ (principal planes)എന്നും ഇവയിലുള്ള ലംബപ്രതിബലങ്ങളെ മുഖ്യപ്രതിബലങ്ങള്‍ (principal stresses)എന്നും വിളിക്കുന്നു. മേല്‌പറഞ്ഞ ആറു ഘടകങ്ങള്‍ തന്നിരുന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് മുഖ്യപ്രതിബലങ്ങളെയും മുഖ്യതലങ്ങളെയും നിർണയിക്കാന്‍ കഴിയും. ഇതിനുവേണ്ട ഒരു സമവാക്യം പട്ടികരൂപത്തിൽ താഴെ കൊടുക്കുന്നു. മുഖ്യപ്രതിബലം σ ആണെങ്കിൽ, | ||
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol4_394_2.jpg|200px]] | ||
| - | ഈ പട്ടിക | + | ഈ പട്ടിക σയുടെ ഒരു മൂന്നാം ഘാത സമവാക്യമാകുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് σയുടെ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളും ലഭിക്കും. |
ഓരോ മൂല്യത്തിനും സംഗതമായ തലത്തിന്റെ ദിശാ കൊസയിനുകള്‍ (direction cosines) l, m, n ആണെങ്കിൽ താഴെ കൊടുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽനിന്ന്‌ l, m, n നിർണയിക്കാം. | ഓരോ മൂല്യത്തിനും സംഗതമായ തലത്തിന്റെ ദിശാ കൊസയിനുകള്‍ (direction cosines) l, m, n ആണെങ്കിൽ താഴെ കൊടുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽനിന്ന്‌ l, m, n നിർണയിക്കാം. | ||
| + | |||
| + | [[ചിത്രം:Vol4_394_3.jpg|200px]] | ||
ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ മാത്രമേ ഈ പ്രതിബലവിതരണങ്ങള്‍ ശരിയായിരിക്കൂ. | ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ മാത്രമേ ഈ പ്രതിബലവിതരണങ്ങള്‍ ശരിയായിരിക്കൂ. | ||
(പ്രാഫ. കെ.സി. ചാക്കോ) | (പ്രാഫ. കെ.സി. ചാക്കോ) | ||
09:21, 1 ജൂലൈ 2014-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഇലാസ്‌തികത
Elasticity
ബാഹ്യബലപ്രയോഗംകൊണ്ട്‌ രൂപവ്യത്യാസം വരികയും ബാഹ്യബലം നീക്കംചെയ്യുമ്പോള്‍ ആ രൂപവ്യത്യാസം അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്ന, പദാർഥങ്ങളുടെ ഒരു ഗുണധർമം. വലിച്ചാൽ നീളുന്നതും വിട്ടാൽ പൂർവസ്ഥിതിയെ പ്രാപിക്കുന്നതുമായ ഒരു വസ്‌തുവായി റബ്ബറിനെ വിവരിക്കാറുണ്ട്‌. എന്നാൽ, മിക്കവാറും എല്ലാ ഘനപദാർഥങ്ങള്‍ക്കും ഉള്ളതാണ്‌ ഈ സ്വഭാവം. ഉരുക്കുകമ്പികള്‍ പോലും വലിച്ചാൽ നീളുകയും വിട്ടാൽ പൂർവസ്ഥിതിയെ പ്രാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട്‌. പലപ്പോഴും അത്‌ നഗ്നദൃഷ്‌ടികള്‍ക്കു ഗോചരമല്ലാത്ത അളവിലായിരിക്കും എന്നേ ഉള്ളൂ.
മുന്‍വിവരിച്ച പ്രക്രിയയിലെ വലിക്കുക, നീളുക, വിടുക എന്ന പദങ്ങളെ കൂടുതൽ വ്യാപകമായവിധം യഥാക്രമം ബാഹ്യബലം പ്രയോഗിക്കുക, വിരൂപണം (deformation) ഉണ്ടാകുക, ബാഹ്യബലം നീക്കംചെയ്യുക എന്നിങ്ങനെ ശാസ്‌ത്രീയമായി പറയാവുന്നതാണ്‌.
ബാഹ്യബലംകൊണ്ട്‌ എല്ലാ പദാർഥങ്ങള്‍ക്കും രൂപഭേദം സംഭവിക്കുന്നു. ഈ രൂപഭേദത്തിന്റെ അളവ്‌ ബാഹ്യബലത്തിന്റെ തീവ്രതയനുസരിച്ചു കൂടിയും കുറഞ്ഞുമിരിക്കും. ഒരു പ്രത്യേക പരിധിവരെ സംഭവിക്കുന്ന വിരൂപണം മാത്രമേ ബാഹ്യബലം നീക്കുമ്പോള്‍ പൂർണമായി അപ്രത്യക്ഷമാവുകയുള്ളൂ. ആ പരിധിക്കപ്പുറം വരുന്ന വിരൂപണത്തിന്റെ ഒരംശം ബാഹ്യബലം നീക്കിയാലും അവശേഷിക്കുന്നതാണ്‌. ഈ അവസ്ഥയിൽ മൂലപദാർഥത്തിന്റെ ഇലാസ്‌തികപരിധി ലംഘിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നു പറയാം. അത്‌ അപ്പോള്‍ ഒരു "പ്ലാസ്‌തികാവസ്ഥ'യിലായിത്തീരുന്നു. അതായത്‌ ഇലാസ്‌തികഗുണധർമമുള്ള വസ്‌തുക്കളിൽ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ബാഹ്യബലം ഇലാസ്‌തികപരിധിയിൽ കൂടുതലായാൽ വസ്‌തുക്കളുടെ ഇലാസ്‌തികത നഷ്‌ടപ്പെട്ട്‌ അവ പ്ലാസ്‌തികാവസ്ഥയിലെത്തുന്നു. ഇലാസ്‌തികപരിധിക്കുള്ളിൽ വസ്‌തുവിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ബാഹ്യബലവും തന്മൂലം ഉണ്ടാകുന്ന വിരൂപണവും പ്രത്യക്ഷാനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ബാഹ്യപ്രതിബലം ഇരട്ടിയായാൽ വിരൂപണവും ഇരട്ടിയാകും; പ്രതിബലം (stress) മൂന്നിരട്ടിയായാൽ വിരൂപണപരിമാണവും മൂന്നിരട്ടിയാകും. ഇതാണ്‌ ഇലാസ്‌തികതയുടെ പ്രാഥമിക നിയമം. ഈ നിയമം ആവിഷ്‌കരിച്ചത്‌ റോബർട്ട്‌ ഹൂക്‌ എന്ന ശാസ്‌ത്രജ്ഞനായതുകൊണ്ട്‌ ഇത്‌ "ഹൂക്‌ നിയമം' എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
വലിച്ചാൽ നീളുന്നത്‌ എന്നതുപോലെ അമർത്തിയാൽ അമരുന്നത്‌ എന്നും പാർശ്വബലം പ്രയോഗിച്ചാൽ ലംബതലങ്ങള്‍ കോണീയമായി ചരിയുന്നത്‌ എന്നും കൂടി ബലപ്രയോഗവും വിരൂപണവും കൊണ്ട്‌ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നു.
വലിവുബലം പ്രയോഗിക്കുമ്പോള്‍ പദാർഥത്തിനു നീളം കൂടുന്നതാണ്‌ (ചിത്രം 1). സമ്മർദംമൂലം പദാർഥത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കുറയുന്നു (ചിത്രം 2). ചിത്രം 3-ൽ അപരൂപണപ്രതിബലം (shear stress) അതിനു ലംബമായ തലങ്ങളിൽ വരുത്തുന്ന ചരിവിന്‌ കോണീയവിരൂപണം (angular deformation,) എന്നു പറയുന്നു. ഇവിടെ ലംബതലങ്ങളിലെ ചരിവ്‌ സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെ പരിണാമം കൊണ്ട്‌ വിരൂപണത്തിന്റെ അളവു കുറിക്കുന്നു.
ബാഹ്യബലത്തിനു വിധേയമാകുന്ന അംഗങ്ങളുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച്‌ വിരൂപണത്തിന്റെ അളവും കൂടിയിരിക്കും. താരതമ്യപഠനത്തിന്‌ ഏകകവലിപ്പത്തിൽ വരുന്ന വിരൂപണം കണക്കാക്കണം. ബാഹ്യബലത്തിന്റെ തീവ്രതയും കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്‌. പ്രതിബലവിരൂപണ(stress deformation)ങ്ങളുടെ താരതമ്യപഠനത്തിനായി ചില നിർവചനങ്ങള്‍ ആവശ്യമാണ്‌.
ഏകസമാംഗമായ (homogeneous) വസ്‌തുവിൽ ഏകകവിസ്‌താരത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബാഹ്യബലംകൊണ്ട്‌ അതിലുണ്ടാകുന്ന പ്രതിബലത്തെ പ്രസ്‌തുത വസ്‌തുവിലെ പ്രതിബലം എന്നു പറയുന്നു. ഇത്‌ ഒരു ച.സെ. മീറ്ററിന്‌ കിലോഗ്രാം ആയോ ഒരു ചതുരശ്രമീറ്ററിന്‌ ടണ്‍ ആയോ കണക്കാക്കുന്നു. 4 ച.സെ.മീ. വിസ്‌താരത്തിൽ ആകെ 8 കിലോഗ്രാം ബാഹ്യബലം ഉണ്ടെങ്കിൽ
= 2 കി.ഗ്രാം/ച.സെ.മീ. ആയിരിക്കും.
അതുപോലെ ഏകകദൈർഘ്യത്തിലുണ്ടാകുന്ന വിരൂപണത്തിന്റെ അളവ്‌ അതിലെ വൈകൃതം (strain) എന്ന സാങ്കേതികസംജ്ഞയാൽ വിവക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.
8 സെ.മീ. നീളമുള്ള ഒരംഗം ബാഹ്യബലംമൂലം 9 സെ.മീ. നീളമുള്ളതായാൽ അതിലെ വൈകൃതം,
കേവലസംഖ്യയാണ്‌. ഇലാസ്‌തിക പരിധിക്കുള്ളിൽ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന പ്രതിബലവും വൈകൃതവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം പ്രസ്‌തുത പദാർഥത്തിന്റെ ഇലാസ്‌തികതയുടെ പരിമാണം കുറിക്കുന്ന ഒരു നിയതസംഖ്യയാണ്‌. ഈ സ്ഥിരസംഖ്യയെ ഇലാസ്‌തിക മോഡുലസ്‌ (elastic modulus)എന്നു പറയുന്നു. അക്ഷീയമായ (axial) ഒരു പ്രതിബലവും സംഗതമായ അക്ഷീയവൈകൃതവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കുറിക്കുന്ന നിയതസംഖ്യയെ യങ്‌ സ്ഥിരാങ്കം എന്നു വിളിക്കുന്നു.
യങ്‌ സ്ഥിരാങ്കം Eഎന്ന അക്ഷരംകൊണ്ട്‌ നിർദേശിക്കപ്പെട്ടുവരുന്നു. E യുടെ മാനം, അക്ഷീയ പ്രതിബലത്തെ കേവലസംഖ്യയായ അക്ഷീയവൈകൃതം കൊണ്ട്‌ ഹരിച്ചുകിട്ടുന്നതായതുകൊണ്ട്‌, അക്ഷീയപ്രതിബലത്തിന്റെ മാനം തന്നെയായിരിക്കും; അതായത്‌ കിലോഗ്രാം/ച.സെ.മീ. ആയിരിക്കും.
ഓരോ പദാർഥത്തിന്റെയും E മൂല്യം വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കും. ഇത്‌ പദാർഥത്തിന്റെ ആന്തരികഘടനയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. പച്ചിരുമ്പിനും ഉരുക്കിനും ചെമ്പിനും തടിക്കും പ്രത്യേകം പ്രത്യേകം E മൂല്യങ്ങളുണ്ട്‌.
അപരൂപണബലം (shear force) സൃഷ്‌ടിക്കുന്ന കോണീയവൈകൃത(angular strain)ങ്ങളെ അളക്കുന്നത്‌ അപരൂപണ പ്രതിബലതലങ്ങള്‍ക്കു ലംബമായ തലങ്ങള്‍ ബാഹ്യബലംമൂലം പ്രഥമദിശയിൽനിന്ന്‌ എത്ര റേഡിയന്‍ ചരിഞ്ഞു എന്നു നിർണയിച്ചാണ്‌ (ചിത്രം 3.). ഇങ്ങനെയുള്ള കോണീയവൈകൃതവും അതു ജനിപ്പിക്കുന്ന അപരൂപണപ്രതിബലവും തമ്മിലും ഒരു നിശ്ചിതാനുപാതം ഉണ്ട്‌. ഈ അനുപാതം കുറിക്കുന്ന സ്ഥിരാങ്കം ദൃഢതാസ്ഥിരാങ്കം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിന്‌ സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംജ്ഞ N എന്ന അക്ഷരമാണ്‌.
കോണീയവൈകൃതം കേവലസംഖ്യയായതുകൊണ്ട്‌ N-നും അപരൂപണപ്രതിബലത്തിന്റെ മാനം തന്നെയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട്‌ E-യും N-ഉം സദൃശങ്ങളായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാകുന്നു.
ചിത്രം (1)-ൽ അക്ഷീയബലത്തിന്റെ ദിശയിൽ നീളം കൂടുകയും അതിനു ലംബമായ ദിശയിൽ പരിമാണം കുറയുകയും ചെയ്‌തിരിക്കുന്നതായും, ചിത്രം (2)-ൽ അക്ഷീയബലത്തിന്റെ ദിശയിൽ നീളം കുറയുകയും അതിനു ലംബമായ ദിശയിൽ പരിമാണം കൂടുകയും ചെയ്‌തിട്ടുള്ളതായും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. പൊതുവേ വലിവുബലംമൂലം പരിമാണം അക്ഷീയദിശയിൽ വർധിക്കുകയും, ലംബദിശയിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. സമ്മർദംമൂലം പരിമാണം അക്ഷീയദിശയിൽ കുറയുകയും ലംബദിശയിൽ വർധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അഥവാ എല്ലാ അക്ഷീയവൈകൃതങ്ങള്‍ക്കും അനുപൂരകമായി അവയ്‌ക്കു ലംബമായ എല്ലാ ദിശകളിലും വിപരീതഗതിയിലുള്ള ഒരു പാർശ്വവൈകൃതം (lateral strain) സംഭവിക്കുന്നു. ഇലാസ്‌തികപരിധികള്‍ക്കുള്ളിൽ സംഭവിക്കുന്ന പാർശ്വവൈകൃതം അക്ഷീയവൈകൃതവുമായി ഒരു അനുപാതം പുലർത്തുന്നു.
പാർശ്വവൈകൃതം/ അക്ഷീയബലത്തിന്റെ ദിശയിലെ വൈകൃതം = 1/m
ഇവിടെ 1/m ഓരോ പദാർഥത്തിനും നിയതമാണ്‌. വൈകൃതങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള ഈ അനുപാതം സംഗതപദാർഥത്തിന്റെ പോസോണ്‍ അനുപാതം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. പതമുള്ള ഉരുക്കിന്റെ (mild steel) പോസോണ്‍ അനുപാതം കുറിക്കുന്ന m-ന്റെ മൂല്യം ഏകദേശം 4 ആകുന്നു. അതായത്‌ പതമുള്ള ഉരുക്കുകമ്പിയിൽ വലിവുബലം (tensile force) മൂലം അക്ഷീയദിശയിൽ ഉണ്ടാകുന്ന വൈകൃതത്തിന്റെ നാലിലൊന്നു മാത്രമുള്ള വൈകൃതമാണ്‌ ശേഷിക്കുന്ന ദിശയിൽ ഉണ്ടാകുന്നത്‌. ഇലാസ്‌തികപദാർഥങ്ങള്‍ ബാഹ്യബലംമൂലം അക്ഷീയദിശയിലും വിരൂപപ്പെടുന്നതുകൊണ്ട്‌, അവയുടെ വ്യാപ്‌തത്തിലും വ്യത്യാസം വരുന്നു. ഏകകവ്യാപ്‌തമുള്ള ഒരു പദാർഥത്തിൽ പരസ്‌പരലംബമായ മൂന്നു ദിശകളിലും തുല്യബാഹ്യബലം പ്രയോഗിക്കുമ്പോള്‍ അതിലുണ്ടാകുന്ന വ്യാപ്‌തവ്യത്യാസമാണ്‌ അതിന്റെ വ്യാപ്‌തവൈകൃതം (volumetric strain). V വ്യാപ്‌തമുള്ള ഒരു ചതുരക്കട്ട ഇതുപോലെ പരസ്‌പരലംബമായ മൂന്നു ദിശകളിൽ തുല്യപ്രതിബലംകൊണ്ട്‌ സമ്മർദിതമാകുമ്പോള്‍ ΔV വ്യാപ്‌തവ്യത്യാസം വരുന്നെങ്കിൽ വ്യാപ്‌തവൈകൃതം ΔV/Δ ആയിരിക്കും.
ഈ വ്യാപ്‌തവൈകൃതവും അതിനു കാരണമായ തുല്യപ്രതിബലവും തമ്മിൽ നിയതമായ അനുപാതം ഉണ്ട്‌. പ്രതിബലത്തിന്‌ സംഗതമായ വ്യാപ്‌തവൈകൃതത്തോടുള്ള അനുപാതത്തെ വ്യാപ്‌തസ്ഥിരാങ്കം (K) എന്നു വിളിക്കുന്നു.
തുല്യപ്രതിബലം (മൂന്നുവശങ്ങളിലും)/വ്യാപ്‌തവൈകൃതം= വ്യാപ്‌ത സ്ഥിരാങ്കം E, N, K എന്ന മൂന്ന്‌ ഇലാസ്‌തികസ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ഒരേമാനം ഉള്ളവയാണ്‌. ഓരോന്നും ബാഹ്യപ്രതിബലം/വൈകൃതം എന്ന അനുപാതമാണ്‌. അതുകൊണ്ട്‌ അവയുടെ മാനം ബാഹ്യപ്രതിബലത്തിന്റെ മാനം (കി.ഗ്രാം/ച.സെ.മീ.) തന്നെ ആകുന്നു.
ഈ മൂന്നു സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും പരസ്‌പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പോസോണ്‍ അനുപാതമായ m എന്ന നിയത സംഖ്യവഴി അവ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
തായി സിദ്ധിക്കുന്നു.
സാധാരണ നിർമാണാവശ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില ഇലാസ്‌തികപദാർഥങ്ങളുടെ സ്ഥിരാങ്കപ്പട്ടിക താഴെ കൊടുക്കുന്നു.
കെട്ടിടങ്ങള്‍, പാലങ്ങള്‍ മുതലായവ നിർമിക്കുവാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന വസ്‌തുക്കളുടെ ഇലാസ്‌തികത പ്രത്യേക പരിഗണനയർഹിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ഒരു സംരചനയിൽ ഭാരം വരുമ്പോള്‍ അതിലെ ഓരോ അംഗത്തിലും ബാഹ്യബലവും പ്രതിബലവും ഉണ്ടാകുന്നു. പ്രതിബലത്തിന്റെ അളവനുസരിച്ച്‌ ഇവയ്‌ക്ക്‌ വിരൂപണം ഉണ്ടാകുന്നു. ഉദാഹരണമായി പാലത്തിൽക്കൂടി ഒരു തീവണ്ടി കടന്നുപോകുമ്പോള്‍ അതിന്റെ ഗർഡറിലുള്ള ഓരോ അംഗവും ഒന്നുകിൽ വലിഞ്ഞോ അല്ലെങ്കിൽ ചുരുങ്ങിയോ നില്‌ക്കും. തീവണ്ടിയുടെ ഭാരം പ്രസ്‌തുത അംഗത്തിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലംമൂലമാണ്‌ ഇതു സംഭവിക്കുന്നത്‌. വണ്ടി കടന്നു പോയ്‌ക്കഴിയുമ്പോള്‍ പ്രസ്‌തുത അംഗങ്ങള്‍ എല്ലാം പഴയ നിലയിൽത്തന്നെ എത്തണം. അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട്‌ ബലം താങ്ങാനുള്ള ശക്തി അവയ്‌ക്കു കുറഞ്ഞുപോകും. ഇങ്ങനെ ഓരോ അംഗവും പൂർവരൂപം പ്രാപിക്കണമെങ്കിൽ അതിൽ ഏതവസ്ഥയിലും വരാവുന്ന ബലം ഇലാസ്‌തികസീമയ്‌ക്കുള്ളിലായിരിക്കണം. താത്‌കാലികമായിപ്പോലും ഒരംഗത്തിലും ജനിക്കുന്ന പ്രതിബലം അതിന്റെ ഇലാസ്‌തികസീമയ്‌ക്കപ്പുറമാകാന്‍ ഇടയാകരുത്‌. സുരക്ഷിതത്വ പരിഗണനയനുസരിച്ച്‌ ഇമ്മാതിരി സംരചനകളുടെ അംഗങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും സാഹചര്യങ്ങളിൽ വരാവുന്ന ഏറ്റവും കൂടിയ ഭാരം ഒരംഗത്തിലും ഇലാസ്‌തികസീമയുടെ മൂന്നിലൊന്നോ, നാലിലൊന്നോ എന്ന പരിധിയിൽ കവിയരുത്‌. തന്മൂലം നിർമാണപരമായി നോക്കുമ്പോള്‍ ഒരു പദാർഥത്തിന്റെ നിർണായകശക്തി അതിനെ തകർച്ചയിലെത്തിക്കുന്ന ഭാരമല്ല; അതിന്റെ ഇലാസ്‌തികസീമയാണ്‌.
ഇലാസ്‌തികപദാർഥങ്ങള്‍ പരീക്ഷണവിധേയമാകുമ്പോള്‍ ഒരു പരിധിവരെ പ്രതിബലവും വൈകൃതവും കൃത്യഅനുപാതത്തിൽ വർധിക്കും. പിന്നീട്‌ അല്‌പ സമയത്തേക്ക്‌ വൈകൃതം നിശ്ചിതാനുപാതത്തിൽ കൂടുതലായി വർധിക്കും. ഈ മാറ്റം വരുന്നിടത്ത്‌ ഇലാസ്‌തികസീമ (elastic limit)എത്തി എന്ന്‌ അനുമാനിക്കാം. അതിനുശേഷം ഭാരവർധനവു കൂടാതെ തന്നെ പ്രതിബലം ഒരേ നിലയിൽത്തന്നെ നില്‌ക്കുമ്പോള്‍ പെട്ടെന്ന്‌ വൈകൃതം വീണ്ടും വളരെ കൂടുന്നു. ഇവിടെ പദാർഥം പ്രതിബലത്തിനു വഴങ്ങുകയും പ്രതിബലത്തിനു മുമ്പിൽ പരാഭവ(yield)പ്പെടുകയും ചെയ്‌തു എന്നു പറയുന്നു. ഇതിനു കാരണമാക്കുന്ന പ്രതിബലതീവ്രത (stress intensity)യെ പ്രസ്‌തുത പദാർഥത്തിന്റെ പരാഭവബിന്ദു (yielding point)എന്നു വിളിക്കുന്നു. പരാഭവത്തിനുശേഷം പ്രതിബലം വർധിപ്പിച്ചാൽ വൈകൃതം വളരെ കൂടുതലായി പദാർഥം തകർച്ചയിലേക്കു കടക്കും.
ഇലാസ്‌തികസീമ കടന്നശേഷം ഉണ്ടാകുന്ന വൈകൃതങ്ങളുടെ ഒരംശം ബാഹ്യബലം മോചിപ്പിച്ചാലും അവശേഷിക്കുന്നതുകൊണ്ട്‌ ആ അവസ്ഥയിൽ നിർമാണപരമായി ആ പദാർഥം ഉപയോഗശൂന്യമാണ്‌. അതുകൊണ്ട്‌ സുരക്ഷിതത്വപരിഗണന നടത്തുന്നത്‌ ഇലാസ്‌തികസീമയെ ആധാരമാക്കിയായിരിക്കും.
ബാഹ്യബലത്തിനു വിധേയമാകുമ്പോള്‍ പദാർഥത്തിൽ വിരൂപണം ഭവിക്കുകയും ആ അവസ്ഥയിൽ അതിൽ കുറേ ഊർജം സംഭരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണമായി ഒരു റബ്ബർനൂലിൽ 100 ഗ്രാം ഭാരം കെട്ടിത്തൂക്കിയിടുന്നു എന്നു കരുതുക. ആഘാതം (shock) കൂടാതെ അതു ചെയ്‌താൽ നൂലിന്റെ നീളം 1 സെ.മീ. കൂടുതലാകുന്നുവെന്നും ഇരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ 100 ഗ്രാം ഭാരം ചരടിലെ വലിവിനെതിരായി 1 സെ.മീ. താഴോട്ടു നീങ്ങിയതു മൂലം 1/2 x 100 x 1 ഗ്രാം സെ.മീ. ജോലി ചെയ്‌തിട്ടുണ്ട്‌. അത്രയ്‌ക്കും ഊർജം വിരൂപണവിധേയമായ ആ നൂലിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കും. പ്രസ്‌തുത 100 ഗ്രാം ഭാരം നൂലിൽ നിന്നു വിടുവിച്ചാൽ, നൂല്‌ പെട്ടെന്നു ചുരുങ്ങി പൂർവസ്ഥിതി പ്രാപിക്കും. അതിനുവേണ്ട ഊർജം നേരത്തേ അതിൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്നത്‌, സ്വതന്ത്രമാക്കി ഉപയോഗിക്കും. അതായത്‌, ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ വിരൂപണവിധേയമായി നില്‌ക്കുന്ന അംഗങ്ങളിലെല്ലാം അവയുടെ പൂർവരൂപം വീണ്ടെടുക്കാനുള്ള ഊർജം നിലകൊള്ളുന്നുണ്ട്‌. ഇത്‌ ഇലാസ്‌തിക വൈകൃതോർജം (elastic strain energy) എന്ന്‌ അറിയപ്പെടുന്നു. ഏതു സംരചനയുടെയും അംഗങ്ങള്‍ അക്ഷീയബലമോ വിരൂപണബലമോ നേരിടുന്നതായിരിക്കും. വക്രണവും ടോർഷണവും അന്തിമ വിശകലനത്തിൽ പദാർഥങ്ങളിൽ അക്ഷീയപ്രതിബലവും വിരൂപണപ്രതിബലവും ജനിപ്പിക്കുന്നു. അക്ഷീയപ്രതിബലമുള്ള അംഗത്തിലെ വൈകൃതോർജം (p2/2E)V ആകുന്നു; ഇവിടെ p അക്ഷീയപ്രതിബലവും E യങ്‌സ്ഥിരാങ്കവും V അംഗവ്യാപ്‌തവും ആണ്‌. വിരൂപണപ്രതിബലമുള്ള അംഗങ്ങളിലെ വൈകൃതോർജം (q2/2N)V ആകുന്നു; ഇവിടെ q വിരൂപണപ്രതിബലവും, N ദൃഢതാസ്ഥിരാങ്കവും, V അംഗവ്യാപ്‌തവും ആണ്‌.
ഇലാസ്‌തികസീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ ഈ വൈകൃതോർജസംഭരണം നടക്കുന്നു. ഓരോ അംഗത്തിനും ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ സംഭരിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വൈകൃതോർജത്തിന്റെ ഉച്ചതമമൂല്യം പ്രമാണവൈകൃതോർജം (proof resilience) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
സങ്കീർണമായ സംരചനകളുടെ വിശ്ലേഷണത്തിന്‌ അംഗങ്ങളിലെ വൈകൃതോർജപരിഗണന വളരെ സഹായകമാണ്‌. അനിർധാര്യസംരചനകളുടെ (indeterminate structures) വിശ്ലേഷണത്തിനു സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥിതിഗതികതന്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ അപര്യാപ്‌തമാകുന്നു. ഇവിടെയെല്ലാം വിശ്ലേഷണത്തെ സഹായിക്കുന്നത്‌ വൈകൃതോർജ പരിഗണന ആണ്‌. പ്രസക്തമായ സംരചനയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളിലും കൂടി സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന വൈകൃതോർജത്തിന്റെ ആകെത്തുക ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമുള്ളതായിരിക്കണം എന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം (principle of minimum strain energy) ഉണ്ട്‌. ഉറപ്പിച്ച ബീമുകള്‍, തുടർബീമുകള്‍, പോർട്ടൽ ഫ്രയിമുകള്‍ മുതലായവ ഭാരം വഹിക്കുമ്പോള്‍ അംഗങ്ങള്‍ നേരിടേണ്ട പ്രതിബലം നിർണയിക്കുവാന്‍ ഈ ഇലാസ്‌തികവൈകൃതോർജ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ബീമുകളും ട്രസുകളും എല്ലാം ഭാരംമൂലം ആദ്യരൂപത്തിൽ നിന്ന് വിചലിതമാകുമ്പോള്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തും വരുന്ന വിചലനം (deflection) കണക്കാക്കാനും പ്രസ്‌തുത ഘടകത്തിലെ വൈകൃതോർജപരിഗണന ആവശ്യമാകുന്നു. ബാഹ്യബലവിധേയമായ ഒരു സംരചനയിൽ ഏതെങ്കിലും സ്ഥാനത്ത്‌ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന p എന്ന ബാഹ്യബലത്തിന്റെ ദിശയിൽ ആ സ്ഥാനത്തിനു വരുന്ന വിചലനം സംരചനയുടെ ഇലാസ്‌തികവൈകൃതോർജത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കാനുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോ എന്ന ശാസ്‌ത്രജ്ഞന്‍ ഉന്നയിച്ചു.
ഇതാണ്‌ കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സൂത്രവാക്യം. ഇവിടെ,നിർദിഷ്‌ടസ്ഥാനത്തിന്റെ p ദിശയിലുള്ള വിചലനം u = മൂലാധാരത്തിന്റെ ആകെ വൈകൃതോർജം, = ആകെ വൈകൃതോർജഫലനത്തിന്റെ p യെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ആംശികാവകലഗുണാങ്കം.
ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ പ്രതിബലവിധേയമായ പദാർഥത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള പ്രതിബലങ്ങള്‍ക്ക്‌ ആറു ഘടകങ്ങളുണ്ട്‌.
നിർദേശകതലങ്ങള്‍ക്ക്‌ സമാന്തരമായി 
വീതം വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തര ഷട്‌ഫലക(parallelopiped)ത്തിന്റെ മൂന്നു ജോടി മുഖങ്ങളിലെ ഓരോ വശത്തെയും പ്രതിബലങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
δx, δy തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σzz, OZദിശയിലും വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σxyσyx എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OY, OX ദിശകളിലും; δy, δz തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σxx, OX ദിശയിലും, വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σyzσzy എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OZ, OY ദിശകളിലും; δx, δz തലത്തിൽ, ലംബപ്രതിബലം σyy, OY തലത്തിലും വിരൂപണപ്രതിബലങ്ങള്‍ σxzσzx എന്നിവ ക്രമത്തിൽ OZ, OX ദിശകളിലും രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇവയിൽ σxy = σyx, σxz = σzx, σyz = σzy,. തന്മൂലം സ്വതന്ത്രമായ ആറു ഘടകങ്ങളേ ഉള്ളൂ: σxx, σyy,σzz,σxy,σyz,σzx,. ഇവയുടെ സംയുക്തഫലമായി പരസ്‌പരലംബമായ മൂന്നു തലങ്ങളിൽ ലംബപ്രതിബലം മാത്രമേ ഉണ്ടായിരിക്കൂ. ആ തലങ്ങളിൽ വിരൂപണപ്രതിബലം ഇല്ല; ഇവയെ പ്രസ്‌തുത ബിന്ദുവിലെ മുഖ്യതലങ്ങള്‍ (principal planes)എന്നും ഇവയിലുള്ള ലംബപ്രതിബലങ്ങളെ മുഖ്യപ്രതിബലങ്ങള്‍ (principal stresses)എന്നും വിളിക്കുന്നു. മേല്‌പറഞ്ഞ ആറു ഘടകങ്ങള്‍ തന്നിരുന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് മുഖ്യപ്രതിബലങ്ങളെയും മുഖ്യതലങ്ങളെയും നിർണയിക്കാന്‍ കഴിയും. ഇതിനുവേണ്ട ഒരു സമവാക്യം പട്ടികരൂപത്തിൽ താഴെ കൊടുക്കുന്നു. മുഖ്യപ്രതിബലം σ ആണെങ്കിൽ,
ഈ പട്ടിക σയുടെ ഒരു മൂന്നാം ഘാത സമവാക്യമാകുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് σയുടെ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളും ലഭിക്കും. ഓരോ മൂല്യത്തിനും സംഗതമായ തലത്തിന്റെ ദിശാ കൊസയിനുകള്‍ (direction cosines) l, m, n ആണെങ്കിൽ താഴെ കൊടുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽനിന്ന്‌ l, m, n നിർണയിക്കാം.
ഇലാസ്‌തിക സീമകള്‍ക്കുള്ളിൽ മാത്രമേ ഈ പ്രതിബലവിതരണങ്ങള്‍ ശരിയായിരിക്കൂ.
(പ്രാഫ. കെ.സി. ചാക്കോ)
