Current revision as of 09:39, 18 ഡിസംബര്‍ 2008

ടാന്‍ജെന്റ്

Tanget

ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു മാത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രേഖയാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ ടാന്‍ജെന്റ്. ഇത് സ്പര്‍ശകം അഥവാ സ്പര്‍ശരേഖ (tangent line) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. വക്രത്തില്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകം ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ഛേദകരേഖ(secant)യുടെ സീമാന്തസ്ഥാന (limiting position)മായി കരുതാവുന്നതാണ്.

ദ്വിവിമീയ സ്പേസില്‍ y=f (x) എന്ന വക്രത്തിലെ P(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം X-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെ അളവ് θആയാല്‍ tanθ=f '(x).Tan θ യെ സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാന്‍ 'm' എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാല്‍ m = f ' (x) എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ (x₁, y₁) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് y - y₁ = f ' (x₁) (x-x₁).

ഉദാഹരണമായി x² + y² = a² എന്ന വൃത്തത്തിലെ (x₁, y₁) എന്ന ബിന്ദുവില്‍ വരയ്ക്കുന്ന സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് xx₁ + yy₁ = a². പരാബൊളയുടെ മാനക സമീകരണം y² = 4ax. ഇതിലെ (x₁, y₁) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണം yy₁ = 2a (x + x₁) ആണ്.

ഒരു വക്രത്തിലെ P (x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം X അക്ഷത്തെ T എന്ന ബിന്ദുവില്‍ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാല്‍ P യും T യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പര്‍ശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സ്പര്‍ശതലം (tangent plane). ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവില്‍ ഒരു രേഖ സ്പര്‍ശകമാകണമെങ്കില്‍ ആ ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പര്‍ശകമായിരിക്കണം. p യില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പര്‍ശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പര്‍ശതലം എന്നു പറയുന്നു. f (x,y,z) = 0 എന്ന പ്രതലത്തിലെ (x ₁,y₁,z₁) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് f₁(x₁,y₁,z₁) (x - x₁) + f₂ (x₁,y₁,z₁) (y - y₁1) + f₃ (x₁,y₁,z₁) (z-z₁1)=0.

ഇതില്‍f₁,f₂,f₃എന്നിവ(x₁,y₁,z₁)ലെ f ന്റെ x,y,z കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് x² + y² +z² = a² എന്ന ഗോളത്തിന്റെ (x₁y₁z₁) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലമാണ് x x₁ + yy₁ + zz₁ = a².

ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം (tangent function). സമകോണിക കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ തലത്തില്‍ P(x,y) ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും ∠ XOP = A യും ആയാല്‍ അ യുടെ ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം $tan A = \frac{ y}{x}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് tan A യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് tan 0°= 0 ; tan 45° = 1;tan 90°= ∞.ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം ABC യില്‍ കോണങ്ങള്‍ A, B, C യുടെ എതിര്‍വശങ്ങള്‍ a,b,c ആയാല്‍

$tan \frac{B-C}{2} =\frac{b-c}{b+c}Cot\frac{A}{2}$

ത്രികോണമിതിയില്‍ ഇതിനെ ടാന്‍ജെന്റ് നിയമം (tangent law) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിര്‍ധാരണത്തിന് ഈ ഫോര്‍മുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

y = tan x എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാന്‍ജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിന്റെ ശാഖ ഈ രേഖകള്‍ക്ക് അനന്തസ്പര്‍ശരേഖീയ (asymptotic)മാണ് (ചിത്രം നോക്കുക).

(പ്രൊ. കെ.ജയചന്ദ്രന്‍)

@@ വരി 1: / വരി 1: @@
-ടാന്‍ജെന്റ്
+=ടാന്‍ജെന്റ്=
+Tanget
-ഠമിഴലി
+ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു മാത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രേഖയാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ ടാന്‍ജെന്റ്. ഇത് സ്പര്‍ശകം അഥവാ സ്പര്‍ശരേഖ (tangent line) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. വക്രത്തില്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകം ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ഛേദകരേഖ(secant)യുടെ സീമാന്തസ്ഥാന (limiting position)മായി കരുതാവുന്നതാണ്.
-ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു മാത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രേഖയാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ ടാന്‍ജെന്റ്. ഇത് സ്പര്‍ശകം അഥവാ സ്പര്‍ശരേഖ (മിേഴലി ഹശില) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. വക്രത്തില്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകം ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ഛേദകരേഖ(ലെരമി)യുടെ സീമാന്തസ്ഥാന (ഹശാശശിേഴ ുീശെശീിേ)മായി കരുതാവുന്നതാണ്.
+[[Image:pno72TT.png|left]]
-   ദ്വിവിമീയ സ്പേസില്‍ ്യ=ള (ഃ) എന്ന വക്രത്തിലെ ജ(ഃ,്യ) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം ഃഅക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെ അളവ് ? ആയാല്‍
+ദ്വിവിമീയ സ്പേസില്‍ y=f (x) എന്ന വക്രത്തിലെ P(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം X-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെ അളവ് &theta;ആയാല്‍  tan&theta;=f '(x).Tan &theta; യെ സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാന്‍ 'm' എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാല്‍ m = f ' (x) എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് y - y<sub>1</sub> = f ' (x<sub>1</sub>) (x-x<sub>1</sub>).
-മിേ? = ള  (ഃ).  ഠമി ? യെ സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവ് (ഹീുെല) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാന്‍ ാ എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാല്‍ ാ = ള  (ഃ) എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ (ഃ1, ്യ1)
+ഉദാഹരണമായി x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> എന്ന വൃത്തത്തിലെ (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) എന്ന ബിന്ദുവില്‍ വരയ്ക്കുന്ന സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് xx<sub>1</sub> + yy<sub>1</sub> = a<sup>2</sup>. പരാബൊളയുടെ മാനക സമീകരണം y<sup>2</sup> = 4ax. ഇതിലെ (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണം yy<sub>1</sub> = 2a (x + x<sub>1</sub>) ആണ്.
-എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ്
+ഒരു വക്രത്തിലെ P (x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം X അക്ഷത്തെ T എന്ന ബിന്ദുവില്‍ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാല്‍ P യും T യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പര്‍ശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.
-്യ  ്യ1 = ള  (ഃ1) (ഃഃ1).
+'''സ്പര്‍ശതലം (tangent plane).''' ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവില്‍ ഒരു രേഖ സ്പര്‍ശകമാകണമെങ്കില്‍ ആ ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പര്‍ശകമായിരിക്കണം. p യില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പര്‍ശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പര്‍ശതലം എന്നു പറയുന്നു. f (x,y,z) = 0 എന്ന പ്രതലത്തിലെ (x <sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) (x - x<sub>1</sub>) + f<sub>2</sub> (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) (y - y<sub>1</sub>1) + f<sub>3</sub> (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) (z-z<sub>1</sub>1)=0.
-   ഉദാഹരണമായി ഃ2 + ്യ2 = മ2 എന്ന വൃത്തത്തിലെ (ഃ1, ്യ1) എന്ന ബിന്ദുവില്‍ വരയ്ക്കുന്ന സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ്
+ഇതില്‍f<sub>1</sub>,f<sub>2</sub>,f<sub>3</sub>എന്നിവ(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>)ലെ f ന്റെ x,y,z കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> +z<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> എന്ന ഗോളത്തിന്റെ (x<sub>1</sub>y<sub>1</sub>z<sub>1</sub>) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലമാണ് x x<sub>1</sub> + yy<sub>1</sub> + zz<sub>1</sub> = a<sup>2</sup>.
-ഃഃ1 + ്യ്യ1 = മ2. പരാബൊളയുടെ മാനക സമീകരണം ്യ2 = 4മഃ. ഇതിലെ (ഃ1, ്യ1) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ സമീകരണം ്യ്യ1 = 2മ (ഃ + ഃ1) ആണ്.
+'''ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം (tangent function).''' സമകോണിക കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ തലത്തില്‍ P(x,y) ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും
+&ang; XOP = A യും ആയാല്‍ അ യുടെ ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം <math>tan A  = \frac{ y}{x}</math> എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് tan A യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് tan 0&deg;= 0 ;  tan 45&deg; = 1;tan 90&deg;=  &infin;.ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം ABC യില്‍ കോണങ്ങള്‍ A, B, C യുടെ എതിര്‍വശങ്ങള്‍ a,b,c ആയാല്‍
-   ഒരു വക്രത്തിലെ ജ (ഃ,്യ) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശകം
+<math> tan \frac{B-C}{2} =\frac{b-c}{b+c}Cot\frac{A}{2}</math>
-തഅക്ഷത്തെ ഠ എന്ന ബിന്ദുവില്‍ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാല്‍ ജ യും ഠ യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പര്‍ശക ദൂരം (ഹലിഴവേ ീള വേല മിേഴലി) എന്നു പറയുന്നു.
+ത്രികോണമിതിയില്‍ ഇതിനെ ടാന്‍ജെന്റ് നിയമം (tangent law) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിര്‍ധാരണത്തിന് ഈ ഫോര്‍മുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
-   സ്പര്‍ശതലം (മിേഴലി ുഹമില). ഒരു പ്രതല(ൌൃളമരല)ത്തിലുള്ള ജ എന്ന ബിന്ദുവില്‍ ഒരു രേഖ സ്പര്‍ശകമാകണമെങ്കില്‍ ആ
+[[Image:pno72a.png|300px]]
-ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പര്‍ശകമായിരിക്കണം. ജ യില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പര്‍ശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പര്‍ശതലം എന്നു പറയുന്നു. ള (ഃ, ്യ, ്വ) = 0 എന്ന പ്രതലത്തിലെ
+y = tan x എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാന്‍ജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിന്റെ ശാഖ  [[Image:pno72formula2.png]]
+ഈ രേഖകള്‍ക്ക് അനന്തസ്പര്‍ശരേഖീയ (asymptotic)മാണ് (ചിത്രം നോക്കുക).
-(ഃ1, ്യ1, ്വ1) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് ള1(ഃ1, ്യ1, ്വ1) (ഃ  ഃ1) + ള2 (ഃ1, ്യ1, ്വ1) (്യ  ്യ1) + ള3 (ഃ1, ്യ1, ്വ1) (്വ  ്വ1)=0.
+(പ്രൊ. കെ.ജയചന്ദ്രന്‍)
-   ഇതില്‍ ള1, ള2, ള3 എന്നിവ (ഃ1, ്യ1, ്വ1)ലെ ള ന്റെ ഃ, ്യ, ്വ കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (ുമൃശേമഹ) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്
-ഃ2 + ്യ2 + ്വ2 = മ2 എന്ന ഗോളത്തിന്റെ (ഃ1, ്യ1, ്വ1) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പര്‍ശതലമാണ് ഃ ഃ1 + ്യ്യ1 + ്വ്വ1 = മ2.
-   ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം (മിേഴലി ളൌിരശീിേ). സമകോണിക
-കാര്‍ട്ടീഷ്യന്‍ തലത്തില്‍ ജ(ഃ,്യ) ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും
-?തഛജ = അ യും ആയാല്‍ അ യുടെ ടാന്‍ജെന്റ് ഫലനം മിേ അ =  എന്ന് എഴുതുന്നു. അയ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച്
-മിേ അ യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്
-മിേ 0ത്ഥ = 0 ;  മിേ 45ത്ഥ = 1 ;  മിേ 90ത്ഥ= ? ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം അആഇ യില്‍ കോണങ്ങള്‍ അ, ആ, ഇ യുടെ എതിര്‍വശങ്ങള്‍ മ, യ, ര ആയാല്‍
-    മിേ
-   ത്രികോണമിതിയില്‍ ഇതിനെ ടാന്‍ജെന്റ് നിയമം (മിേഴലി ഹമം) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിര്‍ധാരണത്തിന് ഈ ഫോര്‍മുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
-    ്യ = മിേ ഃ എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ആലേഖ(ഴൃമുവ)ത്തെ ടാന്‍ജെന്റ് വക്രം (മിേഴലി ര്ൌൃല) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (രീിശിൌീൌേ) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിന്റെ ശാഖ   ഈ രേഖകള്‍ക്ക് അനന്തസ്പര്‍ശ
-രേഖീയ (മ്യാുീശേര)മാണ് (ചിത്രം നോക്കുക).
-   (പ്രൊ. കെ.ജയചന്ദ്രന്‍)

ടാന്‍ജെന്റ്

സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്

Current revision as of 09:39, 18 ഡിസംബര്‍ 2008

ടാന്‍ജെന്റ്

താളിന്റെ അനുബന്ധങ്ങള്‍

സ്വകാര്യതാളുകള്‍

ഉള്ളടക്കം

തിരയൂ

പണിസഞ്ചി