This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായം
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
ഉള്ളടക്കം |
ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായം
Binary system
0, 1 എന്നീ രണ്ട് അക്കങ്ങള്‍മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായം. ദശാംശ സമ്പ്രദായത്തില്‍ ആധാരം (base) 10 ആണെങ്കില്‍ ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തില്‍ ആധാരം 2 ആണ്. രണ്ടിന്റെ ഘാതങ്ങളുടെ (powers) തുകയായിട്ടാണ് സംഖ്യ പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നത്. ഘാതങ്ങള്‍ ധനസംഖ്യകളോ ഋണസംഖ്യകളോ ആകാം. ഒരു സംഖ്യയെ ദ്വയാംഗ സംഖ്യ(binary number)യായി അവതരിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ രണ്ടിന്റെ എല്ലാ ഘാതങ്ങളെയും അവരോഹണക്രമത്തില്‍ ഉള്‍ പ്പെടുത്തേണ്ടതാണ്. ഏതെങ്കിലും ഒരു ഘാതത്തിന്റെ അഭാവത്തില്‍, പൂജ്യത്തിന്റെ ഗുണിതമായി ആ ഘാതത്തെ എഴുതിച്ചേര്‍ക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യ ദ്വയാംഗസംഖ്യയാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കാനായി സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്ത്, താഴെ '2' എന്നോ 'യ' എന്നോ എഴുതിച്ചേര്‍ക്കുന്നു. (ഉദാ: 110012). 0,1 എന്നീ രണ്ട് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് ഈ സമ്പ്രദായത്തിലുപയോഗിക്കുന്നത്.
ചരിത്രം
പുരാതനകാലത്തുതന്നെ ചില ഗോത്രവിഭാഗങ്ങള്‍ ദ്വയാംഗരീതി ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകള്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിരുന്നതിന് തെളിവുകളുണ്ട്. തോമസ് ഹാരിയട്ട് (17-ാം ശ.), ലൈബ്നിത്സ് (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) എന്നീ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരും ദ്വയാംഗ രീതിയില്‍ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങള്‍ നിര്‍ധാരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. 20-ാംശ.-ത്തിന്റെ മധ്യത്തില്‍. ആധുനിക ഇലക്ട്രോണിക് കംപ്യൂട്ടറുകളുടെ വികാസത്തോടെയാണ് ഈ സമ്പ്രദായം യഥാര്‍ഥത്തില്‍ പ്രയോജനപ്രദമായിത്തീര്‍ന്നത്. കംപ്യൂട്ടര്‍ സാങ്കേതിക വിദ്യയില്‍ ഈ രീതി വളരെയധികം പ്രയോജനപ്പെടുമെന്ന് ആദ്യമായി മനസ്സിലാക്കിയത് യു.എസ്സ്. ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോണ്‍ ഫോണ്‍ ന്യൂമാനാണ് (John von Newmann). 'ഓണ്‍', 'ഓഫ്' അവസ്ഥകള്‍ ദ്വയാംഗ അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കുവാന്‍ അനായാസേന സാധിക്കുന്നവയാണ് ഇലക്ട്രോണിക് സംവിധാനങ്ങള്‍ എന്ന് ഇദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി.
ചിഹ്നങ്ങള്‍(Symbols)
ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തിലെ അക്കങ്ങളായ 0,1 എന്നിവയെ ദ്വയാംഗ അക്കങ്ങള്‍ (binary digits) എന്നു പറയുന്നു. ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തിലെ പ്രാമാണിക ചിഹ്നങ്ങളായാണ് ഇവയെ കണക്കാക്കുന്നത്.
ദശാംശസംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തില്‍ ഒന്നില്‍ കുറവായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുവാന്‍ ദശാംശ ബിന്ദു ഇടുന്നതുപോലെ, ദ്വയാംഗ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തില്‍ 2-ന്റെ ഘാതങ്ങള്‍ ഋണസംഖ്യകളാണെന്നത് (ഉദാ. 2-1, 2-2, ...) സൂചിപ്പിക്കുവാന്‍ ദ്വയാംഗബിന്ദു (binary point) ഉപയോഗിക്കുന്നു. (ഉദാ. 101.11). ദ്വയാംഗബിന്ദുവിനുശേഷമുള്ള ഓരോ സ്ഥാനവും 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, ... എന്നീ ഘാതങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ചിഹ്നങ്ങളെയും ദ്വയാംഗ ബിന്ദുവിനെയും മാത്രം ഉപയോഗപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടാണ് ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തില്‍ സംഖ്യകളെ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. ദ്വയാംഗ സംഖ്യകളെ (binary numbers) ദ്വയാംഗ സംജ്ഞകള്‍ എന്നും പറയാറുണ്ട്. ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തിലെ സ്ഥാനക്രമനിയമം ദശാംശ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിലേതിനു സമാനമാണ്.
101.1110 എന്ന ദശാംശ സംഖ്യ(Decimal numbers)യെ പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ ഒരു നൂറ് (102), പൂജ്യം പത്ത് (101), ഒരു ഒറ്റ (100), ഒരു പത്തിലൊന്ന് (10-1), ഒരു നൂറിലൊന്ന് (10-2) എന്നിവയുടെ തുകയാണ് 101.11 എന്ന സംഖ്യ. എന്നാല്‍ 101.112 എന്ന ദ്വയാംഗ സംഖ്യയുടെ മൂല്യം 5.75 എന്ന ദശാംശസംഖ്യക്കു തുല്യമാണ്.
101.112 = 1x(22) + 0x(21) + 1 +1x(20)+1x(2-1)+1x(2-2 ) =4+0+1+½+¼ = 5.75
0,1 എന്നീ പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ ദ്വയാംഗ, ദശാംശ രീതികളില്‍ അതേ സംഖ്യകളായിത്തന്നെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ഇവയെ ദ്വയാംഗ രീതിയിലാക്കുമ്പോള്‍ ലഭിക്കുന്ന ദ്വയാംഗ സംഖ്യകളാണ് 102, 112, 1002, 1012, 1102, 1112, . . . എന്നിവ. ഭിന്നസംഖ്യകള്‍, പരിമേയ സംഖ്യകള്‍, വാസ്തവിക സംഖ്യകള്‍ തുടങ്ങിയവയെല്ലാം ദ്വയാംഗ രീതിയില്‍ എഴുതാനാകും.
ക്രിയകള്‍ (Operations)
ദ്വയാംഗ സംജ്ഞകളുപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാനക്രിയകള്‍ അനായാസം ചെയ്യാന്‍ സാധിക്കും. സങ്കലന(addition)ത്തില്‍, തുകയെ അടുത്ത സ്ഥാനത്തേയ്ക്ക് വഹിച്ചുകൊണ്ടു പോകുന്നതിനും വ്യവകലനത്തില്‍ (subtraction), സംഖ്യകളെ കടമെടുക്കുന്നതിനും കഴിയും.
ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തില്‍, സങ്കലനക്രിയയില്‍ 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 എന്ന അടിസ്ഥാനമാണ് പാലിക്കുന്നത്.
ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാവുന്നതാണ്.
1, 101, 010, 000, 101 +
10, 011, 010, 010, 100
100, 000, 100, 011, 001
വ്യവകലന ക്രിയയില്‍ 0-0 = 0, 1-1 = 0, 1-0 = 1, 10-1 = 1 എന്ന അടിസ്ഥാനമാണ് പാലിക്കുന്നത്.
ഗുണനക്രിയയില്‍ ഇത് 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1x 0 = 0, 1 x 1 =1 എന്നാകുന്നു.
ഏതു ദ്വയാംഗ സംഖ്യയുടെയും പൊതുവായ രൂപമാണ് a0a1a2...........an.an+1 an+2........an+mഇവിടെ, a0a1a2...........an എന്നീ n+1 അക്കങ്ങള്‍ ദ്വയാംഗ ബിന്ദുവിന് ഇടതുവശത്തുള്ള അക്കങ്ങളും an+1,an+2,an+3........an+mഎന്നീ m അക്കങ്ങള്‍ ദ്വയാംഗ ബിന്ദുവിന് വലതുവശത്തുള്ള അക്കങ്ങളുമാണ്. a0a1a2...........an.an+1 an+2........an+mന്റെ വികസിത രൂപത്തിന്റെ മൂല്യം
ഇതില്‍, ദ്വയാംഗ ബിന്ദുവിന് ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ n =-1 ആയിരിക്കുമെന്നും ദ്വയാംഗബിന്ദുവിന് വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ m=0 ആയിരിക്കുമെന്നുമുള്ള വ്യവസ്ഥകള്‍ പാലിക്കുന്നു.
ദ്വയാംഗ അക്കങ്ങളായ 1, 0 എന്നിവയെ സാധാരണയായി 'ബിറ്റുകള്‍' (bits) എന്നാണ് വിശേഷിപ്പിക്കാറുള്ളത്. എട്ട് എണ്ണം ബിറ്റുകള്‍ അടങ്ങുന്ന ഒരു സ്ഥിരം ഗ്രൂപ്പിന് ബൈറ്റ് (byte) എന്നു പറയുന്നു.
ദ്വയാംഗരീതിയില്‍നിന്ന് ദശാംശരീതിയിലേക്കുമാറ്റുന്ന വിധം
ഒരു ദ്വയാംഗ സംഖ്യയുടെ വികസിത രൂപമായ രണ്ടിന്റെ ഘാതങ്ങളിലുള്ള ബഹുപദത്തെ ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയായി മാറ്റാന്‍ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാം.
1011102 = 1x(25)+0x(24)+1x(23) +1x(22) +1x(21) +0x(20)
= 32 + 0 + 8 + 4+ 2 + 0
= 46 എന്നു ലഭിക്കുന്നു.
സംശ്ലേഷണഹരണ(Synthetic division)മുപയോഗിച്ചും സംഖ്യ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്.
അതായത്
ദശാംശ രീതിയില്‍നിന്ന് ദ്വയാംഗരീതിയിലേക്കുമാറ്റുന്ന വിധം.
ഉദാ. 72 എന്ന സംഖ്യ പരിഗണിക്കുക
72 ÷ 2 = 36, ശിഷ്ടം = 0 = a6
36 ÷ 2 = 18, ശിഷ്ടം = 0 = a5
18 ÷ 2 = 9, ശിഷ്ടം = 0 = a4
9 ÷ 2 = 4, ശിഷ്ടം = 1 = a3
4 ÷ 2 = 2, ശിഷ്ടം = 0 = a2
2 ÷ 2 = 1, ശിഷ്ടം = 0 = a1
1 ÷ 2 = 0, ശിഷ്ടം = 1 = a0
ഈ ശിഷ്ട ഫലങ്ങളെല്ലാം കൂടി a0a1a2a3a4 a5a6 എന്നു ചേര്‍ ത്തെഴുതിയാല്‍ 72 എന്ന സംഖ്യയുടെ ദ്വയാംഗ രൂപം ലഭിക്കുന്നു.
അതായത്, a0a1a2a3a4 a5a6 = 10010002 .
പ്രയോജനങ്ങള്‍
ആധുനിക ഡിജിറ്റല്‍ കമ്പ്യൂട്ടറുകളില്‍ അടിസ്ഥാന ഭാഷയായി ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായത്തെ അംഗീകരിച്ചു കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. 0,1 എന്നീ രണ്ടു ചിഹ്നങ്ങള്‍ മാത്രം മതി എന്നതിനാലാണിത്. ദ്വയാംഗ സംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് അനായാസേന കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ നടത്തുന്നതിന് വളരെ ലളിതവും വിശ്വാസയോഗ്യവുമായ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പരിപഥങ്ങള്‍ വികസിപ്പിച്ചെടുക്കാന്‍ ശസ്ത്രജ്ഞര്‍ക്ക് സാധിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇത്തരം കമ്പ്യൂട്ടറുകള്‍ ദത്ത(data)ങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കുന്നത് ദശാംശസംഖ്യയുടെ രൂപത്തില്‍ തന്നെയാണ്. ആന്തരിക പ്രോഗ്രാമുകളുടെ സഹായത്താല്‍ ഈ സംഖ്യയെ ദ്വയാംഗ രീതിയിലാക്കി ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുന്നു. എന്നാല്‍ ഒടുവില്‍ ദശാംശസംഖ്യയായിത്തന്നെയായിരിക്കും ഫലം ലഭ്യമാകുന്നത്. ദ്വയാംഗ സംഖ്യകളുപയോഗിക്കാന്‍ പരിശീലനം സിദ്ധിക്കാത്തവര്‍ക്കു പോലും കമ്പ്യൂട്ടറുപയോഗിച്ച് ഗണിതീയ ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുവാന്‍ ഇതുമൂലം സാധ്യമാകുന്നു. വിവര സിദ്ധാന്തത്തിലും (Information theory) ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായം പ്രയോജനപ്പെടുന്നു. പുതിയ പ്രോഗ്രാമുകള്‍ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനും നൂതന കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സംവിധാനങ്ങള്‍ രൂപകല്പന ചെയ്യുന്നതിനും ദ്വയാംഗ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തില്‍ തികഞ്ഞ അവഗാഹം ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് അനിവാര്യമാണ്.
